賀承明，張根廣，許曉陽

（西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100）

0 引 言

水流阻力是河流運(yùn)動力學(xué)領(lǐng)域重點(diǎn)研究的問題之一，對于研究水流結(jié)構(gòu)和泥沙運(yùn)動問題具有重要意義。影響水流阻力的因素較多，主要包括泥沙級配、水流條件、床面形態(tài)及邊界條件等。通常學(xué)者將水流阻力劃分為沙粒阻力、沙波阻力和邊壁阻力［1］，并建立了相應(yīng)的阻力計算公式。對于明渠水流，床面阻力是水流阻力的主要組成部分，包括沙粒阻力和沙波阻力。當(dāng)床面平整或是沙波發(fā)育不明顯時，沙波阻力可忽略不計。

在研究床面阻力時，許多學(xué)者常常采用床面粗糙高度Ks來表示床面粗糙程度。例如，尼古拉茲在研究管道壁面阻力時，通過在管道內(nèi)壁黏附均勻沙粒得到了圓管中水流阻力系數(shù)與雷諾數(shù)的關(guān)系［1］；Engelund［2］取2.5 倍的均勻沙粒徑作為床面粗糙高度，即Ks=2.5d；Van Rijn［3］取3倍的d90作為非均勻床面的粗糙高度。趙連白［4］認(rèn)為，對于非均勻沙而言，粗細(xì)泥沙顆粒對阻力的貢獻(xiàn)不同，粗顆粒的貢獻(xiàn)大于細(xì)顆粒。當(dāng)d50≤0.2 mm時，取Ks=0.5d50；當(dāng)0.2 mm＜d50＜6 mm 時，取Ks=d50；當(dāng)d50≥6 mm 時，取Ks=2d50。喻國良［5］認(rèn)為床面粗糙高度與泥沙不均勻性有關(guān)，并分析得到Ks=σg2d50，σg為床沙級配的非均勻性。還有一些學(xué)者研究了沙粒阻力與水流條件的關(guān)系。例如，黃才安［6］利用泥沙起動的Shields曲線與明渠阻力特性之間的相似性，結(jié)合實(shí)測泥沙起動資料得到了沙粒阻力系數(shù)只與床面坡度有關(guān)的結(jié)論。何文社［7］通過理論分析，提出了與泥沙起動水力條件及泥沙重度有關(guān)的泥沙等效粒徑的概念及其計算方法，并在此基礎(chǔ)上得到了粗化穩(wěn)定床面的粗糙高度計算公式。陳學(xué)彪［8］基于阻力特性，綜合考慮水沙條件，建立了以泥沙中值粒徑、非均勻系數(shù)、水力半徑和床面坡度為變量的床面粗糙度計算公式。

在可動床面上，水流運(yùn)動往往會引起泥沙輸移，因此將消耗水流的能量。推移質(zhì)輸沙率越大，水流搬運(yùn)泥沙所消耗的能量越多，水流受到的阻力也越大。Song［9］、Gao［10］通過定床清水和定床輸沙試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在推移質(zhì)輸沙率較大時，輸沙阻力系數(shù)與床面總阻力系數(shù)的比值超過了0.3，可見推移質(zhì)輸移引起的水流阻力增大比較顯著，不可忽略。bagnold［11，12］基于能量平衡原理在推導(dǎo)推移質(zhì)輸沙率時認(rèn)為，泥沙顆粒在運(yùn)動過程中，因其重力作用及相互碰撞消耗一定能量，將使泥沙保持下沉，因此需要水流提供一定作用力維持其運(yùn)動；并通過旋轉(zhuǎn)圓筒的顆粒碰撞剪切試驗(yàn)，得到了水流搬運(yùn)推移質(zhì)泥沙所需做功的計算公式。黃才安［13］從挾沙水流的能量平衡原理出發(fā)，考慮泥沙運(yùn)動對水流阻力的影響，結(jié)合bagnold 水流功率理論，給出了動平整床面挾沙水流阻力的計算公式。

綜上分析，平整床面水流阻力與床面泥沙條件、水流條件及輸沙情況等因素有關(guān)，前人的阻力計算公式較少考慮床面結(jié)構(gòu)及輸沙阻力，且輸沙阻力計算公式大多是基于實(shí)驗(yàn)資料的經(jīng)驗(yàn)公式或未對水流阻力進(jìn)行劃分。因此，本文將動床阻力進(jìn)行分割，擬討論床面粗化過程中床面粗化對床面沙粒阻力的影響，結(jié)合水流條件分析計算床面沙粒阻力，并通過分析滾動顆粒的運(yùn)動特征，探討推移質(zhì)能量消耗規(guī)律，最后建立平整輸沙床面的水流阻力公式。

1 阻力系數(shù)

床面阻力常常通過床面阻力系數(shù)或床面粗糙高度來反映［1］，其與水流結(jié)構(gòu)的關(guān)系可表示為：

式中：f為床面阻力系數(shù)；U為斷面平均流速，m∕s；u*為摩阻流速，m∕s；R為水力半徑，m；χ為流態(tài)校正系數(shù)，在床面粗糙時，取χ= 1；Ks為床面粗糙高度，m。

在平整或沙波發(fā)育不明顯河床上，床面阻力可以劃分為沙粒阻力與輸沙阻力，沙粒阻力為床面上的泥沙顆粒對水流產(chǎn)生的表面阻力；輸沙阻力為水流為維持推移質(zhì)運(yùn)動所消耗能量對應(yīng)的阻力，即：

式中：f0為沙粒阻力系數(shù)；fs為輸沙阻力系數(shù)。

1.1 沙粒阻力系數(shù)

由式（1）和式（2）可得床面沙粒阻力系數(shù)與床面沙粒阻力對應(yīng)的床面粗糙高度的關(guān)系為：

式中：R'為床面沙粒阻力對應(yīng)的水力半徑，m；Ks0為床面沙粒阻力對應(yīng)的床面粗糙高度，m。

何文社［7］認(rèn)為非均勻沙床面粗化穩(wěn)定后，其粗糙高度可由起動粒徑dc計算：

式中：m為粗糙高度系數(shù)，當(dāng)床面粗化穩(wěn)定時，；γs為泥沙顆粒的容重，N∕m3；γ為水的容重，N∕m3；ρ為水的密度，kg∕m3；u'*為床面沙粒阻力對應(yīng)的摩阻流速，；g為重力加速度，取9.8 m∕s2；J為床面坡度；θc為臨界Shields數(shù)。

黃才安［6］利用泥沙起動的Shields 曲線與明渠阻力特性之間的相似性，得到了均勻沙床面沙粒阻力系數(shù)計算公式，為：

聯(lián)立式（4）和式（7）可得均勻沙床面沙粒阻力對應(yīng)的粗糙高度為：

式中：當(dāng)過水?dāng)嗝鎸捝畋容^大時，可取R'=h'。

由式（5）與式（8）可見，床面粗糙高度可由床面上泥沙的起動粒徑dc表示，起動粒徑反映了水流作用在床面上的剪切力。兩式不同之處僅為系數(shù)的差異，究其原因是兩式適用的床面條件不同，公式（5）適用于粗化完成后的非均勻沙床面，公式（8）適用于均勻沙床面。

在非均勻沙床面粗化完成前，床面粗化層伴隨著泥沙輸移而逐漸發(fā)展變化；在完成粗化后，床面粗細(xì)泥沙顆粒通過有規(guī)律的排列形成尺寸較大的局部穩(wěn)定結(jié)構(gòu)或顆粒簇［14］，增大了床面的粗糙度。而在均勻沙床面上，床面泥沙均勻，不能形成粗化結(jié)構(gòu)。因此可見，在非均勻沙床面粗化過程中，床面泥沙粗化層結(jié)構(gòu)伴隨著泥沙輸移逐漸形成，相應(yīng)床面的粗糙高度是變化的，因此假定床面粗化過程中的床面粗糙高度可表示為：

式中：c為床面粗化程度系數(shù)；c與m的區(qū)別是，c為變量而非常數(shù)；其他符號意義同前。

為了確定床面粗糙高度系數(shù)c，作者對床面粗化過程進(jìn)行分析認(rèn)為，天然河流的床面往往是由非均勻沙組成，非均勻沙床面的輸沙過程也是床面的粗化過程，不同的水流條件塑造的床面粗化層也各不相同，其具體過程可簡述為，在水流條件變化之前，河道流量較小，床面表層已完成粗化，床面泥沙基本上處于個別起動狀態(tài)或靜止?fàn)顟B(tài)，河流輸沙率接近于0；當(dāng)河道流量增大，床面切應(yīng)力也隨之增大，床面原有的粗化層被破壞，床面上可動泥沙逐漸增多，當(dāng)粗化層被完全破壞時，床面泥沙近似松散排列，輸沙率達(dá)到最大，可以認(rèn)為此時的河流輸沙率處于平衡狀態(tài)，其單寬推移質(zhì)輸沙率為g'b0；隨著時間的推移，床面逐漸粗化，床面上聚集體結(jié)構(gòu)增多，并對細(xì)顆粒泥沙產(chǎn)生隱蔽作用［15］，床面上可動泥沙減少，床面單寬推移質(zhì)輸沙率g'b隨之減少；當(dāng)床面條件與來流量完全匹配時，床面粗化完成，床面上基本沒有泥沙起動輸移，輸沙率接近于0。由此可見，床面粗化程度與輸沙率高度匹配，因此可由輸沙率相對變化過程來反映床面粗化程度，則床面粗化程度系數(shù)c可表示為：

式中：g'b0為以水下重量計的單寬推移質(zhì)平衡輸沙率，N∕（m·s）；g'b為以水下重量計的單寬推移質(zhì)輸沙率，N∕（m·s）。

g'b0可采用Meyer-Peter和Muller公式［1］計算

式中：θ為Shields 數(shù)；d50為床沙的中值粒徑，m；其他符號意義同前。

有關(guān)泥沙起動條件θc的取值。何文社［16］取顆粒完全暴露時的θc為0.02，適合于床面上沒有泥沙起動的臨界情況。孟震［17］在研究推移質(zhì)輸沙率時建議，泥沙顆粒處于運(yùn)動狀態(tài)，泥沙起動條件θc應(yīng)取對應(yīng)泥沙“個別動”起動條件的值，即θc=0.031。此外，其他一些學(xué)者采用的“個別”起動條件θc基本都在0.03 左右，如樂培九［18］取0.03、周雙［19］取0.032 等。因此，本文選取泥沙“個別”起動條件θc= 0.031。

聯(lián)立式（4）、式（9）及式（10）可得床面沙粒阻力系數(shù)f0為：

1.2 輸沙阻力系數(shù)

推移質(zhì)泥沙在運(yùn)動過程中會受到水流的剪切作用，使水流的部分能量轉(zhuǎn)化為推移質(zhì)顆粒的動能，推移質(zhì)輸沙率越大，消耗的水流能量越多。推移質(zhì)受到的水流作用力與推移質(zhì)泥沙顆粒在水流中的運(yùn)動特征有關(guān)，而根據(jù)推移質(zhì)運(yùn)動形式的不同，推移質(zhì)可以分為滾動推移質(zhì)和躍移推移質(zhì)［1］，其運(yùn)動軌跡如圖1所示。

圖1 滾動和躍移推移質(zhì)運(yùn)動過程Fig.1 The movement of rolling and saltating bedload

由圖1可見，滾動泥沙顆粒始終在床面附近運(yùn)動，軌跡幾乎為一條與床面平行的直線；躍移顆粒的運(yùn)動軌跡為曲線，在垂直于水流方向，顆粒的運(yùn)動范圍相對較大，躍高可達(dá)（4～5）d［20］。推移質(zhì)顆粒在滾動和躍移運(yùn)動時都會受到水下有效重力、水流拖曳力及上舉力：

泥沙顆粒水下有效重力G0：

水流拖曳力FD：

上舉力FL：

式中：CD為拖曳力系數(shù)；CL為上舉力系數(shù)；d為泥沙顆粒粒徑，m；u為水流作用流速，m∕s；us為推移質(zhì)運(yùn)動速度，m∕s。

根據(jù)周雙［19］的研究，水流作用在滾動推移質(zhì)顆粒的作用流速可取為5.58u*，滾動推移質(zhì)的運(yùn)動速度為：

躍移推移質(zhì)顆粒的運(yùn)動軌跡為曲線，在垂直于水流方向，水流作用在顆粒上的流速與顆粒運(yùn)動高度有關(guān)，因此，顆粒所受的上舉力和拖曳力不斷變化，bagnold［12］由躍移顆粒運(yùn)動過程中的動量守恒得到躍移顆粒在沿水流運(yùn)動方向受到的平均作用力為：

式中：α為摩擦角；對于天然泥沙，tanα可取為0.63［11］；其他符號意義同前。

然后基于水流功率理論推導(dǎo)得到單位時間水流搬運(yùn)躍移推移質(zhì)泥沙所需做的功為：

而滾動推移質(zhì)顆粒在運(yùn)動過程中還受到床面的滾動摩擦力：

式中：η為滾動摩擦系數(shù)，對于天然泥沙，通常取為0.63。

假定在水流運(yùn)動方向，滾動推移質(zhì)顆粒做勻速運(yùn)動，則其在水流方向的受力平衡條件為：

綜上可知，由于滾動推移質(zhì)和躍移推移質(zhì)的運(yùn)動軌跡不同，導(dǎo)致其受到的水流拖曳力和上舉力不同，在沿水流運(yùn)動方向，滾動和躍移推移質(zhì)顆粒受到的水流作用力分別為ˉFx和FD，因此，水流搬運(yùn)滾動推移質(zhì)和躍移推移質(zhì)消耗的能量也應(yīng)有所差異。

惠遇甲［20］利用高速攝影，通過水槽泥沙運(yùn)動試驗(yàn)，得到了推移質(zhì)中滾動和躍移顆粒所占百分比與水流強(qiáng)度θ的關(guān)系式：

式中：P1、P2分別為滾動和躍移顆粒百分?jǐn)?shù)；其他符號意義同前。

一些學(xué)者將躍移作為推移質(zhì)運(yùn)動的基本形式［1］，但由式（21）可見，在水流強(qiáng)度較低時，水流強(qiáng)度不足以使顆粒起躍，推移質(zhì)以滾動為主；隨著水流強(qiáng)度的增大，滾動顆粒逐漸減少；當(dāng)θ=0.6 時，推移質(zhì)中滾動顆粒所占百分比為25%，滾動推移質(zhì)對總的推移質(zhì)能量消耗的影響不可忽略。因此，在計算水流搬運(yùn)推移質(zhì)所做的功時，需要分別考慮水流搬運(yùn)滾動推移質(zhì)和躍移推移質(zhì)所做的功，則單位時間水流搬運(yùn)推移質(zhì)消耗的總能量可表示為：

式中：Es2為水流搬運(yùn)滾動推移質(zhì)所消耗的能量。

在水流泥沙運(yùn)動方向，水流通過水流拖曳力對滾動泥沙做功，則單位時間單位面積床面上水流搬運(yùn)滾動推移質(zhì)泥沙所做的功可表示為：

式中：N為單位床面面積上滾動推移質(zhì)顆粒數(shù)量；FDi、usi分別為第i顆滾動泥沙受到的水流拖曳力和顆粒的運(yùn)動速度；其他符號意義同前。

將式（14）及式（16）代入式（24）可得：

因式中：

則式（25）可簡化為：

式中：滾動推移質(zhì)在運(yùn)動過程中受到床面的遮蔽作用較小，其拖曳力系數(shù)CD可取為1.306［21］；其他符號意義同前。

將式（15）、式（16）及式（20）代入式（24）可得單位時間單位面積床面上水流搬運(yùn)滾動推移質(zhì)泥沙所做的功也可表示為：

對比式（18）和式（28）可知，搬運(yùn)滾動推移質(zhì)消耗的能量還與水流上舉力有關(guān)，水流搬運(yùn)滾動推移質(zhì)和躍移推移質(zhì)消耗的能量有所差異，因此，式（18）并不適用于計算搬運(yùn)滾動推移質(zhì)消耗的能量，水流搬運(yùn)滾動推移質(zhì)消耗的能量可由式（27）或式（28）計算。

將式（18）和式（27）代入式（23）可得水流搬運(yùn)推移質(zhì)消耗的能量為：

黃才安［13］根據(jù)能量平衡原理得到輸沙阻力系數(shù)為：

將式（29）代入式（30）可得輸沙阻力系數(shù)為：

將式（12）和式（31）代入式（3）可得床面總阻力系數(shù)為：

采用陸永軍［22-26］等人共136組非均勻沙推移質(zhì)輸移試驗(yàn)資料對式（32）做擬合處理，得到f(g'b∕g'b0) = 2.04g'b∕g'b0+ 0.42，其相關(guān)系數(shù)為0.83，則床面總阻力系數(shù)為：

2 公式驗(yàn)證

采用William［27］整理的Casey、Chyn S D、Ho P 等人的286 組非均勻沙試驗(yàn)資料分別按式（33）、黃才安公式［13］及何文社公式［7］計算床面阻力系數(shù)，并將計算結(jié)果代入阻力變換公式［式（1）］計算斷面平均流速，結(jié)果如圖2所示。可以看出，相比黃才安公式和何文社公式，本文公式與實(shí)測資料符合的更好。

圖2 計算結(jié)果驗(yàn)證與對比Fig.2 Verification and comparison of calculation results

為分析上述公式的計算精度，采用均方根相對誤差（RMSRE）來評價公式的計算精度：

式中：RMSRE為實(shí)測值與計算值的均方根相對誤差；n為流速的樣本個數(shù)；Xi為流速的計算值；Yi為流速的實(shí)測值；RMSRE的值越小，說明計算公式的精度越高。

經(jīng)過計算，本文公式的RMSRE為0.094，黃才安公式的RMSRE為0.151，何文社公式的RMSRE為0.124，本文公式的計算精度明顯更高。

3 結(jié) 論

研究綜合考慮床面泥沙、水流條件和輸沙情況，將水流阻力劃分為沙粒阻力和輸沙阻力，基于床面粗化過程中床面表層結(jié)構(gòu)變化對水流阻力的影響，分析了推移質(zhì)運(yùn)動特征，得到了床面粗化程度與相對輸沙率的關(guān)系，完善了推移質(zhì)輸移所消耗能量的計算公式，建立了平整輸沙床面的水流阻力計算公式。經(jīng)實(shí)測資料驗(yàn)證，并與其他學(xué)者的阻力計算公式分析對比表明，本文公式具有較高的精度，適用于有泥沙輸移的平整或沙波發(fā)育不明顯的天然沙非均勻床面。