劉樹穎

（福州大學梅努斯國際工程學院，福建 福州 350108）

0 引言

新型冠狀病毒的爆發(fā)對全球公共衛(wèi)生造成了巨大的破壞性影響。通過構建隔室模型預測重要指標，例如感染病例、解釋疫情的動態(tài)變化和爆發(fā)機制，使衛(wèi)生保健系統能及時采取有效措施應對相關問題。

新冠肺炎（COVID-19）疾病符合流行病在不同隔室的物理傳播機制。彭源源[1]定性分析了多種傳染病模型在COVID-19 的應用。考慮政府可能采取管控措施，例如封鎖政策，各學者對模型進行優(yōu)化。劉擁民等[2]使用Elman神經網絡預測COVID-19 的傳播特性，以了解疫情的關鍵節(jié)點。

基于上述分析，該文結合隔室模型的可解釋性和神經網絡的準確性，考慮疫苗對疫情的影響，增加疫苗接種隔室，以優(yōu)化隔室模型，將基礎的SEIRD 和優(yōu)化的SEIRDV的隔室模型作為主干網絡，通過PINN 神經網絡對微分方程參數進行學習。重點關注感染隔室的數據，應用4 種評估指標（平均絕對誤差、均方誤差、均方根誤差和決定系數）驗證模型的準確性，并對神經網絡得到的參數進行合理性檢驗。

1 方法

采用基礎的SERID、優(yōu)化的SERIDV 隔室模型以及PINN 神經網絡結合隔室的模型。

1.1 隔室模型

隔室模型常應用于傳染病動力學，包括隔室：易感者（S）、暴露者（E）、傳染者（I）、康復者（R）和死亡者（D）。易感者指未感染病毒且可能被感染的人群；暴露者指已感染病毒但還不具有傳染性的人群，這意味他們處于病毒的潛伏期；感染者指已感染病毒且具有傳染性的人群；康復者指已恢復、因體內有抗體而不易被病毒再次感染的人群；死者指死于病毒的人群。

以廣泛被研究的SEIRD 隔室模型為基礎，其微分方程如公式（1）~公式（5）所示。

式中：S（t）為易感者數量；t為時間；I（t）為傳染者數量；E（t）為暴露者數量；R（t）為康復者數量；D（t）為死亡者數量；β為感染率；γ為潛伏期倒數；λ為恢復期倒數；ρ為死亡期倒數；κ為死亡率。

在SEIRD 隔室模型的基礎上，考慮疫苗對疫情的影響，該文創(chuàng)新性地加入了疫苗接種（V）隔室。這個隔室指已經完全接種疫苗的人群，當疫苗有效時，他們因獲得病毒抗體而不易被感染；當疫苗無效時，認為他們成為感染者。SEIRD 隔室模型的微分方程如公式（6）~公式（11）所示。

式中：V（t）為接種疫苗者數量；σ為疫苗無效率。

1.2 基于物理信息的神經網絡模型（PINN）

PINN 利用先驗知識來指導學習，其由2 個部分組成，一部分是負責輸出預期結果的網絡，另一部分是計算導數的殘差模塊，殘差由物理定律定義的預期導數與獲得的導數生成，先驗知識是不同隔室之間的傳輸流。PINN 與SEIRD 隔室模型組合形成的結構如圖1 所示，與SEIRDV隔室模型組合形成的結構與其類似。

圖1 PINN+SEIRD 模型的結構（包括1 個神經網絡和1 個微分方程系統）

該文采用一個密集連接的神經網絡，它有2 層16 個隱藏單元，以時間t為輸入，產生SEIRD 和SEIRDV 隔室模型的所有組成部分（S、E、I、R、D 和V）。殘差模塊對這些成分進行自動微分，以獲得計算殘差的導數，這個模型的損失函數是由第一部分的回歸損失和微分模塊的殘差損失組成的。

1.3 數據集

主要數據來自世衛(wèi)組織COVID-19 儀表板，包括美國每日病例、死亡和疫苗使用的官方計數以及世界實時統計數據的美國每日確診病例數據。將2 個數據集的數據合并，采用7 d 移動平均過濾器來平滑數據。選擇確診病例的3個上升趨勢作為3 個獨立的訓練期，3 個數據集在選定時間的數據變化趨勢如圖2 所示。

圖2 3 個階段的感染者、恢復者、死亡者和疫苗接種者數據圖

1.4 評估指標

該文使用4 個評估指標（平均絕對誤差（MAE）、均方誤差（MSE）、均方根誤差（RMSE）和決定系數（R2_score））來定量評估所提出的模型的性能。當MAE、MSE和RMSE越接近于0、R2_score越接近1 時，模型表現越好。其中，MSE和RMSE是在MAE的基礎上進行改進的，如公式（12）~公式（14）所示。

式中：y為需要進行評估的結果；為原始的數據；m為數據的大小。

以上3 種評估指標容易受變量量綱大小的影響，當人數較多時，指標數值較大，不易看出效果，因此引入R2_score進行評估，如公式（15）所示。

式中：y為需要進行評估的結果；N為數據的大小。

2 試驗

展示PINN 神經網絡和隔室模型的試驗設置、試驗過程、結果數據、對結果的評估以及對結果的合理性解釋。

2.1 試驗設置

設置PINN 神經網絡的迭代次數為5 000，有1 層輸入層、4 層隱含層和1 層輸出層。其中輸入層輸入數據集的感染者、恢復者、死亡者和疫苗接種者數據，4 層隱含層每層有32 個節(jié)點用于學習隔室模型的微分方程參數，最后的輸出層輸出隔室模型中各隔室的數據。因為暴露者（E）隔室的數據不易從數據集中獲取，所以在對其他隔室的數量進行學習后，從總人數中減去其他隔室，得到E 隔室數據。

2.2 試驗過程

在3 個階段的數據集上分別進行PINN+SERID 組合模型和PINN+SEIRDV 組合模型的試驗，因為第一階段缺失疫苗接種人數的數據，所以只應用PINN+SERID 組合模型。數據集中80%的數據用于學習，剩下20%的數據用于預測。

首先，對神經網絡的輸出來說，分時間階段呈現感染者的數據，以大致觀察輸出結果對其增長趨勢的學習效果。其次，用4 個評估指標對學習和預測的感染者數據與原始感染者數據進行誤差分析，以驗證組合模型的準確性。最后，對神經網絡學習的參數進行合理性分析，驗證用隔室模型補充神經網絡的可解釋性。

2.3 試驗結果

3 個階段的感染者人數的試驗結果如圖3 所示，PINN+SEIRD 組合模型可以很好地擬合和預測數據，還可以較準確地判斷峰值，說明SEIRD 隔室模型可以反應疫情的基本情況，PINN+SEIRDV 組合模型也可以很好地擬合和預測數據，較準確地判斷峰值，但是效果比PINN+SEIRD 組合模型的效果差，應用4 個評估指標可以得到更準確的判斷結果。

圖3 PINN+SEIRD 和PINN+SEIRDV 組合模型在3 個數據集上擬合和預測的感染者結果

由表1 可知，PINN 神經網絡學習的SEIRD 隔室模型的效果普遍比SEIRDV 隔室模型的效果好，其原因可能是隨著隔室增加，微分方程更復雜，需要神經網絡學習的參數增加了2 個，在相同的神經網絡下，學習效果會減弱。但是R2_score的值均大于0.9，可以認為2 種組合模型有良好的效果。

表1 PINN+SEIRD 和PINN+SEIRDV 組合模型在3 個數據集上擬合和預測的感染者的評估指標

對PINN 神經網絡學習得到的隔室模型微分方程參數進行合理性判斷。PINN 神經網絡對2 種隔室模型學習的參數見表2。由表2 可知，階段一是疫情初期，染率較高，為0.997，在6 d 左右被感染的人就開始存在感染性，且死亡率較高，被感染的人情況嚴重。因為缺失部分疫苗接種者的數據，所以得到的死亡率參數值較大，一般認為死亡率為0.15。緩解這一問題的方法可能是將參數κ的學習與其他的學習分開，根據參數κ的圖表可知，它的值相當小，而且隨著時間變化得很穩(wěn)定。由于該文PINN+SEIRDV 模型引入了更多的參數，因此會導致欠擬合，可能需要一個更大的數據集或增加優(yōu)化器來找到其最佳參數。對階段二和階段三來說，在考慮疫苗接種的情況下，2 種隔室模型的感染率均降低，新增加的疫苗接種率較高，且疫苗無效率較低。一般認為疫苗接種率為0.6，疫苗無效率為0.1，疫苗接種的參數不太準確，考慮為疫情后期，大部分人已接種疫苗，新增的接種疫苗人數不高。因此通過PINN 神經網絡學習的參數較合理，模型有良好的可解釋性。

表2 PINN 神經網絡學習得到的隔室模型微分方程參數值

3 結語

綜上所述，在3 個數據集上通過PINN 學習SEIRD 和SEIRDV 隔室模型的微分方程參數得到的感染隔室的擬合和預測結果良好，對峰值的動態(tài)性預測良好，驗證了疫苗接種隔室的有效性，且神經網絡學習的參數有一定合理性，針對有偏差的參數提出了可能的原因和解決方法，驗證了隔室和神經網絡組合模型具有良好的解釋性。

上述試驗是在美國的COVID-19 數據集上進行的，未來可以專注于不同國家的、更廣泛的數據集。