呼 斌 李 飛 王 偉 杜自成

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

時(shí)間反轉(zhuǎn)(TR)是一種可以對(duì)目標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)和定位的自適應(yīng)傳輸技術(shù),其廣泛應(yīng)用于聲學(xué)[1]、超聲波[2]和電磁領(lǐng)域[3-4]。TR技術(shù)將目標(biāo)的回波信號(hào)進(jìn)行時(shí)間反轉(zhuǎn)操作后重新回傳到原物理介質(zhì)中,可以通過物理或者合成模式使得信號(hào)自動(dòng)聚焦源的位置[5]。合成模式(計(jì)算TR)通過傳播介質(zhì)的格林函數(shù)來數(shù)值合成反向傳播場(chǎng)的數(shù)據(jù)[6]。

兩種主要的TR成像方法分別是TR算子分解算法[7](DORT)和TR多信號(hào)分類算法[8](TR-MUSIC)。DORT算法通過TR算子的信號(hào)子空間對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)造成像函數(shù),TR-MUSIC類的方法則是依靠噪聲子空間對(duì)應(yīng)的特征向量。這類算法都是基于對(duì)多站數(shù)據(jù)矩陣(MDM)的奇異值分解(SVD)。成像結(jié)果受MDM的秩(與散射點(diǎn)個(gè)數(shù)相關(guān))的影響較大,尤其是當(dāng)天線陣元數(shù)量較少時(shí),成像結(jié)果對(duì)選取的噪聲子空間向量的數(shù)量更為敏感。因此,對(duì)數(shù)據(jù)SVD后并根據(jù)矩陣的秩來適當(dāng)?shù)貏澐中盘?hào)子空間和噪聲子空間顯得尤為重要。這兩種方法都需要知道散射體的數(shù)量,這通常是通過文獻(xiàn)[13-14]中的方法獲得的?；蛘?TR成像函數(shù)可以通過統(tǒng)計(jì)測(cè)試[15]的方式來設(shè)計(jì),因此可以不需要精確的目標(biāo)數(shù)。類似的方法[16-17]在雷達(dá)相關(guān)應(yīng)用中有著廣泛應(yīng)用。

本文中,提出了一種簡單的近場(chǎng)成像方法,它對(duì)基于傳統(tǒng)的計(jì)算TR成像方法中需要的目標(biāo)確切數(shù)量不敏感。同時(shí),研究了在成像中數(shù)據(jù)矩陣秩的確定(通過對(duì)MDM進(jìn)行SVD獲得)對(duì)成像結(jié)果的影響。本文提出的方法采用MDM的奇異值來加權(quán)TR成像函數(shù),并確定了初始目標(biāo)的數(shù)量。然后,提出了一種被改進(jìn)的SF-TR,即W-SF-TR算法,獲得穩(wěn)定的 TR成像結(jié)果,并從理論分析了提高成像性能的原因。最后,給出了一些簡單散射場(chǎng)景的數(shù)值算例驗(yàn)證了導(dǎo)出的結(jié)果。所有的結(jié)果都是基于自由空間背景假設(shè),忽略了天線間的相互耦合、極化等影響。

本文的其余部分安排為:第二部分簡要介紹了SF-MDM和SF-TR成像方法。提出了一種新的W-SF-TR成像算法。然后,第三部分給出了W-SF-TR算法的理論性能分析,并通過數(shù)值模擬對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證。最后,第四部分總結(jié)得出了結(jié)論。

符號(hào)表示:大寫或小寫的黑體字母表示向量或者矩陣;(·)H、(·)T, |·|以及Σ表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置、轉(zhuǎn)置、絕對(duì)值和求和。

1 W-SF-TR成像算法

1.1 SF-TR算法

假設(shè)TR陣列包含N個(gè)天線陣元,TR陣列的第一個(gè)陣元發(fā)射所需的寬帶信號(hào),陣列記錄下目標(biāo)的回波數(shù)據(jù),具體模型如圖1所示。

圖1 多目標(biāo)成像場(chǎng)景示意圖

然后,將回波信號(hào)經(jīng)過傅里葉變換轉(zhuǎn)換到頻域表示。設(shè)置采樣頻點(diǎn)個(gè)數(shù)為L。因此,空頻多站數(shù)據(jù)矩陣(SF-MDM)可以表示為式(1)所示。

(1)

其中:ki(ωj), (i=1, 2, … ,N;j=1, 2, … ,L),表示第i個(gè)陣元接收到的回波信號(hào)在頻域?qū)?yīng)的第j個(gè)頻點(diǎn)的均勻采樣;ωL-ω1表示信號(hào)的帶寬。

對(duì)K進(jìn)行奇異值分解可得

K=UΛVH

(2)

其中:U是一個(gè)N×N的酉矩陣,其中的列向量為左奇異向量;V是一個(gè)L×L的酉矩陣,其中的列向量表示右奇異向量;Λ是一個(gè)N×L矩陣,其對(duì)角線元素表示相應(yīng)的奇異值,這里U可以表示為

(3)

其中:ui表示第i個(gè)N×1的左奇異向量包含著空間(位置)信息[11]。其中,P-1個(gè)較大的奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異向量ui(i=1, 2, …,P-1)表示有P-1個(gè)較強(qiáng)的散射點(diǎn),并構(gòu)成了信號(hào)子空間;其余的左奇異向量ui(i=P, 2, …,N)對(duì)應(yīng)U矩陣中較小的奇異值,并構(gòu)成了噪聲子空間。這里采用文獻(xiàn)[12]中的方法,通過選擇連續(xù)奇異值比值中的最大值確定P值,即通過公式(4)確定P值為

(4)

其中λn表示第n個(gè)奇異值。

SF-TR算法利用噪聲子空間對(duì)目標(biāo)進(jìn)行成像,其成像公式可以表示為

(5)

其中,g(rs,ω)表示在探測(cè)區(qū)域的每個(gè)搜索位置rs處的背景格林函數(shù)向量,表示為

g(rs,ω)=[G(rs,r1,ω),G(rs,r2,ω),…,G(rs,rN,ω)]T

(6)

其中的每個(gè)元素G(rs,rN,ω)表示一個(gè)背景格林函數(shù);rN表示第N個(gè)天線陣元的位置;ω表示角頻率。

1.2 加權(quán)SF-TR算法(W-SF-TR)

在多目標(biāo)成像場(chǎng)景中,P值的選取可能會(huì)影響成像的質(zhì)量。因?yàn)镻的大小決定了信號(hào)子空間或噪聲子空間的大小,特別是當(dāng)陣列中陣元數(shù)量較小時(shí),P的不同值可能會(huì)嚴(yán)重影響了成像結(jié)果。因此,在所提出的W-SF-TR算法中,奇異值用于加權(quán)對(duì)應(yīng)的左奇異向量,然后重新構(gòu)造噪聲子空間以減少噪聲子空間大小對(duì)圖像質(zhì)量的影響。參考SF-TR成像公式(5),提出的W-SF-TR成像算法可以描述為

(7)

其中,λi(i=P,P+1, …,N)表示對(duì)應(yīng)的奇異值。

2 W-SF-TR成像結(jié)果與討論

通過矩量法(MOM)獲得了自由空間中目標(biāo)的SF-MDM。圖1所示的即為多目標(biāo)近場(chǎng)TR成像場(chǎng)景,構(gòu)成一個(gè)3m×3m的探測(cè)區(qū)域。均勻間隔的線陣由9個(gè)偶極子天線構(gòu)成,沿著x軸分布,間距為λc/2,其中λc為自由空間中心頻率對(duì)應(yīng)的波長。發(fā)射信號(hào)的中心頻率fc=3GHz,帶寬為400MHz,變換到頻域的頻率采樣點(diǎn)數(shù)L=101。陣列的幾何中心位于(0.1m,1.5m,0m)處。兩個(gè)半徑為5cm的理想導(dǎo)體金屬球分別位于(1.8m,1.2m,0m)和(0.8m,2.4m,0m)處。

2.1 W-SF-TR算法成像穩(wěn)健性分析

在本小節(jié)中,我們分析了W-SF-TR算法在成像性能中的優(yōu)越性。

首先,我們計(jì)算得出了在不同的SNR條件下的奇異值分布,如圖2所示。在理想情況下(無噪聲的情況),奇異值的分布曲線顯示前兩個(gè)奇異值較大,第三、第四、第五個(gè)奇異值大于0,其余奇異值較小。然而,隨著SNR的降低,與噪聲子空間相對(duì)應(yīng)的奇異值逐漸增大,因此很難直接通過奇異值的相對(duì)大小區(qū)分信號(hào)子空間和噪聲子空間。

圖2 不同信噪比條件下的奇異值分布對(duì)比

圖3展示了不同SNR條件下連續(xù)奇異值的比值。根據(jù)式(4)和圖3給出的結(jié)果可以看出,當(dāng)SNR逐漸降低時(shí),P在不同SNR條件下的對(duì)應(yīng)值分別為9、6、6和2,對(duì)P值有顯著影響。

圖3 不同信噪比條件下的連續(xù)奇異值比值

為了更直觀地說明這個(gè)問題,當(dāng)P的取值從3～8變化時(shí),分別獲得2個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的SF-TR成像結(jié)果。圖4為SNR=0dB時(shí)P取不同值時(shí)的SF-TR成像結(jié)果(在圖4和圖5中,符號(hào)×代表了兩個(gè)目標(biāo)的實(shí)際位置)。當(dāng)P=3和P=4時(shí),目標(biāo)位置的能量不能較好的聚焦,目標(biāo)的位置難以確定。能量散布在如圖4(a)所示的較大范圍面積上。隨著P的增加,對(duì)目標(biāo)的聚焦效果逐漸變得更好。從圖4的結(jié)果可以得出結(jié)論:噪聲子空間的選擇對(duì)多個(gè)目標(biāo)的SF-TR成像結(jié)果影響非常大。P的值決定了如何區(qū)分信號(hào)子空間和噪聲子空間,極大地影響了成像結(jié)果,并隨著SNR的變化而變得不穩(wěn)定。

圖4 多目標(biāo)SF-TR成像結(jié)果(SNR=0dB)

圖5 多目標(biāo)W-SF-TR成像結(jié)果(SNR=0dB)

其次,分析了W-SF-TR的成像穩(wěn)定性和分辨率。假設(shè)我們已經(jīng)劃分的噪聲子空間有N-P+1個(gè)向量構(gòu)成,對(duì)應(yīng)的奇異值符合式(8)形式。

λP≥λP+1≥…≥λQ≥λQ+1≥…≥λN≥0

(8)

假設(shè)噪聲子空間中包含的Q-P-1個(gè)向量(Q≥P-1)本應(yīng)屬于信號(hào)子空間,卻被誤劃分到噪聲子空間。因此,式(7)的分母可以分為兩部分,進(jìn)一步表示為

(9)

這里應(yīng)該注意到當(dāng)Q=P-1時(shí),式(9)右側(cè)的第一項(xiàng)為0。

類似的,我們可以將式(5)重新表示為

(10)

根據(jù)式(8)、式(9)和式(10)可得

(11)

經(jīng)過進(jìn)一步運(yùn)算,可得

(12)

式(12)中,第一項(xiàng)表示使用W-SF-TR算法后,噪聲子空間部分與信號(hào)子空間部分(被錯(cuò)誤分類到噪聲子空間的部分)的比值;最后一項(xiàng)表示,在SF-TR中噪聲子空間部分與信號(hào)子空間部分(被錯(cuò)誤分類到噪聲子空間的部分)的比值。這表明,奇異值向量的加權(quán)使在分母上的真實(shí)噪聲子空間向量的比例增加,而一些被錯(cuò)誤分類為噪聲子空間的信號(hào)子空間向量的比例減小。因此,這些信號(hào)子空間向量被意外分配噪聲子空間中造成的影響降低。

2.2 多目標(biāo)W-SF-TR成像

在W-SF-TR成像過程中,式(7)被用于對(duì)兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行成像。在圖5(a)、圖5(b)和圖5(f)中,可以清楚地看到在使用W-SF-TR算法后,目標(biāo)的成像結(jié)果優(yōu)于圖4中的相應(yīng)未使用該算法時(shí)的結(jié)果。W-SF-TR算法對(duì)兩個(gè)目標(biāo)的成像位置與相應(yīng)目標(biāo)的實(shí)際位置相匹配。因此,隨著P的變化,我們提出的成像方法將更多的能量集中在兩個(gè)目標(biāo)上,并且在低SNR情況下成像結(jié)果更加穩(wěn)定。同時(shí),在使用W-SF-TR后,P值的可選范圍變得比SF-TR算法更大,成像結(jié)果對(duì)噪聲子空間的選擇變得不那么敏感。

2.3 W-SF-TR算法目標(biāo)分辨率

為了進(jìn)一步比較SF-TR算法和W-SF-TR算法的性能,圖6和圖7分別給出了兩種算法的歸一化橫向和縱向分辨率對(duì)比。SF-TR算法的橫向和縱向分辨率隨著P值的變化產(chǎn)生明顯變化。通過將W-SF-TR算法應(yīng)用到SF-MDM中,當(dāng)噪聲子空間如圖6所示時(shí),我們實(shí)現(xiàn)了對(duì)多目標(biāo)穩(wěn)定的橫向和縱向分辨。從圖6(a)可以看出,當(dāng)選擇了不同的P值時(shí),能量集中在SF-TR算法的兩個(gè)目標(biāo)上發(fā)生了顯著的變化。當(dāng)P的值為3和4時(shí),橫向分辨率非常差,能量很難集中在兩個(gè)目標(biāo)上。當(dāng)P的值在3～8范圍內(nèi)變化時(shí),在X=0.8m和X=1.8m的兩個(gè)目標(biāo)位置處的聚焦能量差分別達(dá)到28.9dB和24.5dB。

圖6 兩目標(biāo)TR成像的橫向分辨結(jié)果對(duì)比(SNR=0dB)

圖7 兩目標(biāo)TR成像的距離向分辨結(jié)果對(duì)比(SNR=0dB)

圖6和圖7的對(duì)比結(jié)果表明,SF-TR成像算法對(duì)P值的選取非常敏感,即噪聲子空間的大小。在使用本文提出的W-SF-TR算法后,如圖6(b)所示,在X=0.8m和X=1.8 m處的兩個(gè)目標(biāo)的聚焦能量差值分別顯著降低到10.0dB和5.3dB。類似地,圖7中的對(duì)比結(jié)果也表明,W-SF-TR算法的距離分辨效果也優(yōu)于SF-TR算法。當(dāng)P的值變化時(shí),在Y=1.2 m和Y=2.4m處的兩個(gè)目標(biāo)的聚焦能量波動(dòng)范圍分別達(dá)到了30.6dB和29.5dB。通過采用W-SF-TR算法,其波動(dòng)范圍減少到11.0dB和10.1dB。

總的來說,給出的成像結(jié)果表明W-SF-TR算法可以在橫向和距離向?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)的高分辨成像,并在低信噪比、P值變化的情況下獲得穩(wěn)定的成像結(jié)果。因此可以從W-SF-TR成像結(jié)果中得出結(jié)論:該方法可以自適應(yīng)的調(diào)整TR成像的負(fù)面影響,并在P變化時(shí)進(jìn)行穩(wěn)定成像。

3 結(jié)束語

本文提出了多目標(biāo)近場(chǎng)W-SF-TR成像算法,該算法克服了傳統(tǒng)SF-TR成像算法在選擇不同P值時(shí)造成的潛在不穩(wěn)定成像結(jié)果。新算法通過引入噪聲子空間向量加權(quán)因子(對(duì)應(yīng)的奇異值),使得確定噪聲子空間大小的P值的選擇范圍擴(kuò)展到一個(gè)較大的動(dòng)態(tài)范圍。當(dāng)P在大范圍內(nèi)波動(dòng)選取時(shí),W-SF-TR算法仍然可以取得優(yōu)異的成像結(jié)果,這也有利于移動(dòng)目標(biāo)成像。在低SNR的情況下,通過兩個(gè)近場(chǎng)PEC目標(biāo)驗(yàn)證了W-SF-TR算法的有效性。結(jié)果顯示,在對(duì)多目標(biāo)進(jìn)行TR成像時(shí),提出的W-SF-TR算法表現(xiàn)優(yōu)異,顯示出了穩(wěn)定的成像效果。此外,W-SF-TR算法對(duì)多目標(biāo)的成像分辨穩(wěn)健能力也優(yōu)于SF-TR算法。