趙 晴, 王 威, 王 芃

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 建筑學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150090; 2.寒地城鄉(xiāng)人居環(huán)境科學(xué)與技術(shù)工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 黑龍江 哈爾濱 150001)

1 概述

板式換熱器數(shù)學(xué)模型的建模方法可分為理論建模、實(shí)驗(yàn)建模,兩種建模方法可以互為補(bǔ)充[1]。理論建模方法是通過機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型,首要條件是機(jī)理必須已經(jīng)被人們充分掌握。王書中等人[2]、李珍[3]在考慮了流體沿流動(dòng)方向的軸向擴(kuò)散效應(yīng)、相位滯后效應(yīng)、流量非一致性的前提下建立了機(jī)理模型,利用數(shù)值模擬的方法得到了出水溫度響應(yīng)曲線,但局限于對(duì)響應(yīng)曲線的分析,沒有得到定量的結(jié)果。徐益峰等人[4]、Khan等人[5]從集總參數(shù)模型出發(fā),對(duì)板式換熱器的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)分析,提出了有純滯后的傳遞函數(shù)模型,但模型未考慮流量的不均勻分布和物性參數(shù)的變化。

實(shí)驗(yàn)建模法中數(shù)學(xué)模型是利用測(cè)量數(shù)據(jù)構(gòu)建的[6]。周宴平[7]、王美萍[8]采用時(shí)域?qū)嶒?yàn)建模的方法,從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析和計(jì)算中得出換熱器各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),但受實(shí)驗(yàn)條件所限,輸入量計(jì)算不準(zhǔn)確,輸出量設(shè)為供回水平均溫度,因此得到的結(jié)果誤差比較大。Srihari等人[9-10]利用理論建模和實(shí)驗(yàn)建模方法,研究了流道間流動(dòng)不均對(duì)板式換熱器瞬態(tài)響應(yīng)的影響。結(jié)果表明,在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)條件下瞬態(tài)特征,如初始延遲、時(shí)間常數(shù)、過渡過程時(shí)間嚴(yán)重依賴不均勻分布的程度。但出于簡(jiǎn)化求解的考慮,文獻(xiàn)直接選擇了帶純滯后的一階系統(tǒng)傳遞函數(shù),沒有與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行對(duì)比。

為準(zhǔn)確獲得板式換熱器(簡(jiǎn)稱換熱器,板片材質(zhì)為不銹鋼)進(jìn)水溫度、質(zhì)量流量階躍變化對(duì)出水溫度的影響,本文建立一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型。以分布參數(shù)模型仿真結(jié)果作為真值,分析一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差,尋找具有較高計(jì)算準(zhǔn)確性且建模、仿真效率更高的傳遞函數(shù)模型。

2 分布參數(shù)模型

分布參數(shù)模型依據(jù)控制容積法將換熱器劃分為多個(gè)微元,對(duì)每個(gè)微元建立控制方程。分布參數(shù)模型雖然建模過程復(fù)雜、計(jì)算量大,但具有較高精度。

2.1 設(shè)定條件

① 忽略換熱器向環(huán)境散熱,忽略流體與密封片、墊圈換熱,考慮首端、尾端板片僅與相鄰流道內(nèi)流體換熱。

② 忽略板片寬度方向的導(dǎo)熱。與對(duì)流傳熱相比,沿板片長(zhǎng)度方向?qū)岬碾A數(shù)要低得多[11],因此也忽略沿板片長(zhǎng)度方向的導(dǎo)熱。

③ 流體(水)的物性參數(shù)按可變參數(shù)[12]考慮,避免常物性參數(shù)帶來的較大仿真誤差[13]。

④ 忽略換熱器內(nèi)壓降對(duì)傳熱的影響。

⑤ 在能量方程中引入導(dǎo)熱擴(kuò)散項(xiàng)來描述流道中流量的不均勻分布。

⑥ 相同時(shí)間、同一流道內(nèi)各處流體流速、平均傳熱系數(shù)相等。

以單流程逆流換熱器作為建模對(duì)象(見圖1)。將板片、流道連續(xù)編號(hào):板片編號(hào)為1,3,…,2N+1,流道編號(hào)為2,4,…,2N。以第1條流道的流體流動(dòng)方向?yàn)閤軸正方向,流道編號(hào)遞增的方向?yàn)閥軸正方向。在x軸正方向上,將流道內(nèi)流體及板片均分成M段微元。對(duì)于上下貫穿各板片的冷熱流體分配管、匯集管所在行分別記為j=0、j=M+1。N、M均為正整數(shù)。圖中L為板片長(zhǎng)度。

2.2 數(shù)學(xué)模型

① 數(shù)學(xué)模型

各流道內(nèi)流體微元質(zhì)量控制方程為:

式中ρ——流體密度,kg/m3

v——y軸方向流速,m/s

y——y軸坐標(biāo),m

各流道內(nèi)流體微元能量控制方程為:

式中θ——流體溫度,℃

t——時(shí)間,s

div——散度算子

u——x軸方向流速,m/s

λ——水的熱導(dǎo)率,W/(m·K)

cp——水的比定壓熱容,J/(kg·K)

grad——梯度

S——流體黏性耗散項(xiàng)

板片微元能量控制方程為:

式中ρw——板片密度,kg/m3

θw——板片溫度,℃

h——板片表面?zhèn)鳠嵯禂?shù),W/(m2·K)

cw——板片比熱容,J/(kg·K)

本文采用有限差分法求解上述微分方程組,將溫度關(guān)于空間的一階導(dǎo)數(shù)向后差分,二階導(dǎo)數(shù)中心差分,溫度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)采用隱式差分格式的向后差分。隱式差分格式中截?cái)嗾`差為o(Δt),當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)Δt趨近0時(shí),截?cái)嗾`差o(Δt)趨近0,隱式差分方程與微分方程相容[14]。隱式離散格式無條件穩(wěn)定[15],而相容離散格式的穩(wěn)定性與收斂性等價(jià)[16],因此本文中的隱式差分方程無條件收斂。將微分方程組轉(zhuǎn)化為各迭代時(shí)間內(nèi)的差分方程組,采用高斯-賽德爾方法求解[14]。利用MATLAB軟件編程,實(shí)現(xiàn)數(shù)值模擬功能。

② 初始條件和邊界條件

初始條件:各流道流體及板片溫度均等于二級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度。

沿y軸方向,首端、尾端板片外表面為絕熱邊界條件。一級(jí)側(cè)流體邊界條件為:x=0處一級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度恒定,x=L處為絕熱邊界條件。二級(jí)側(cè)流體邊界條件:x=0處為絕熱邊界條件,x=L處二級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度恒定。

2.3 分布參數(shù)模型驗(yàn)證

采用文獻(xiàn)[17]中的實(shí)驗(yàn)換熱器作為模型驗(yàn)證的參照對(duì)象。初始時(shí)刻一、二級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度分別為10、9 ℃,質(zhì)量流量分別為0.038、0.035 kg/s。當(dāng)一級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度由10 ℃階躍至56 ℃時(shí),一二級(jí)側(cè)出水溫度分布參數(shù)模型仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果隨時(shí)間的變化見圖2。與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比,一、二級(jí)側(cè)出水溫度分布參數(shù)模型仿真結(jié)果的平均相對(duì)誤差分別為5.3%、4.1%。因此,可認(rèn)為分布參數(shù)模型的仿真結(jié)果可信。

圖2 一級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度由10 ℃階躍至56 ℃時(shí)一二級(jí)側(cè)出水溫度分布參數(shù)模型仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果隨時(shí)間的變化

2.4 換熱器結(jié)構(gòu)參數(shù)與流體參數(shù)

換熱器結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。換熱器一二級(jí)側(cè)均為單流程,每個(gè)流程內(nèi)的流道數(shù)均為16個(gè)。

表1 換熱器結(jié)構(gòu)參數(shù)

換熱器準(zhǔn)則關(guān)聯(lián)式為:

Nu=0.101 4Re0.792 8Prβ

Eu1=1 398Re-0.212 7

Eu2=933Re-0.168 9

式中Nu——流體努塞爾數(shù)

Re——流體雷諾數(shù)

Pr——流體普朗特?cái)?shù)

β——指數(shù),計(jì)算一級(jí)側(cè)流體時(shí)取0.3,計(jì)算二級(jí)側(cè)流體時(shí)取0.4

Eu1、Eu2——一、二級(jí)側(cè)流體歐拉數(shù)

2.5 微元數(shù)與時(shí)間步長(zhǎng)

根據(jù)多組微元數(shù)M、時(shí)間步長(zhǎng)Δt的仿真結(jié)果,當(dāng)微元數(shù)M為30、時(shí)間步長(zhǎng)Δt為0.1 s時(shí)的精度和計(jì)算時(shí)間均在可接受范圍。因此,微元數(shù)M取30,時(shí)間步長(zhǎng)Δt取0.1 s。

3 基于傳遞函數(shù)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)法建模

3.1 換熱器輸入與輸出關(guān)系

圖2反映了換熱器一級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度的階躍變化對(duì)一、二級(jí)側(cè)出水溫度的影響,即以一級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度為輸入量、一級(jí)側(cè)出水溫度為輸出量,以及一級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度為輸入量、二級(jí)側(cè)出水溫度為輸出量的2個(gè)SISO系統(tǒng)(將關(guān)聯(lián)了一二級(jí)側(cè)多參數(shù)的換熱器分解為多個(gè)單輸入單輸出的系統(tǒng),稱為SISO系統(tǒng))。若分別以換熱器一二級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度、質(zhì)量流量為輸入量,一二級(jí)側(cè)出水溫度為輸出量,則可以排列組合出8個(gè)SISO系統(tǒng),分別描述換熱器兩兩物理量間的關(guān)系。

經(jīng)典控制理論是以傳遞函數(shù)為數(shù)學(xué)模型,研究SISO系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的理論方法。本文采用傳遞函數(shù)模型來描述換熱器的8個(gè)SISO系統(tǒng)。傳遞函數(shù)可以通過實(shí)驗(yàn)法建模求解,其中階躍輸入得到的響應(yīng)曲線動(dòng)態(tài)特征明顯,是實(shí)驗(yàn)法建模的首選輸入信號(hào)。由階躍響應(yīng)曲線(即階躍輸入得到的響應(yīng)曲線)確定傳遞函數(shù),先要根據(jù)曲線的形狀,選定傳遞函數(shù)的基本形式。根據(jù)階躍激勵(lì)-響應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果,可選取一階或二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型,并考慮將容量滯后按純滯后處理[18]。

3.2 傳遞函數(shù)模型

一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型建立方法見文獻(xiàn)[18]。

① 一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型

具有純滯后的一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)可表示為[18]:

式中G(s)——傳遞函數(shù)

s——復(fù)變量

K——增益

tp——時(shí)間常數(shù),s

td——滯后時(shí)間,s

② 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型

具有純滯后的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)由兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)與純滯后環(huán)節(jié)組成,表達(dá)式為[18]:

式中tp1、tp2——二階系統(tǒng)的特征參數(shù),也是組成二階系統(tǒng)的各慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)

當(dāng)滯后時(shí)間為0時(shí),一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)無純滯后環(huán)節(jié)。

4 階躍激勵(lì)-響應(yīng)仿真實(shí)驗(yàn)

利用換熱器分布參數(shù)模型開展一二級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度、質(zhì)量流量的階躍激勵(lì)-響應(yīng)仿真實(shí)驗(yàn),以獲得一二級(jí)側(cè)出水溫度的階躍響應(yīng)曲線。

在輸入條件下(一級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度為110 ℃,質(zhì)量流量為7.78 kg/s;二級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度60 ℃,質(zhì)量流量12.48 kg/s),利用分布參數(shù)模型模擬非穩(wěn)定狀態(tài),當(dāng)一、二級(jí)側(cè)出水溫度相鄰時(shí)間的相對(duì)誤差均小于10-6時(shí),認(rèn)為模型穩(wěn)定。以分布參數(shù)模型非穩(wěn)定狀態(tài)結(jié)束時(shí)各節(jié)點(diǎn)的溫度作為階躍激勵(lì)-響應(yīng)實(shí)驗(yàn)的初始條件,輸入量(一、二級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度、質(zhì)量流量)階躍變化率分別設(shè)為±10%、±15%。

可以定性地將響應(yīng)曲線分為3個(gè)階段:滯后段:輸出量未發(fā)生明顯變化,持續(xù)時(shí)間稱為滯后時(shí)間。過渡段:輸出量顯著變化,達(dá)到穩(wěn)定(響應(yīng)曲線值與穩(wěn)態(tài)輸出值的相對(duì)誤差絕對(duì)值為5%)前的階段,持續(xù)時(shí)間稱為過渡時(shí)間。穩(wěn)定段:響應(yīng)曲線值與穩(wěn)態(tài)輸出值的相對(duì)誤差絕對(duì)值小于5%。

一級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度、質(zhì)量流量階躍變化率分別為±10%、±15%時(shí),一、二級(jí)側(cè)出水溫度的階躍響應(yīng)曲線分別見圖3、4。由于各響應(yīng)曲線3個(gè)階段的分界點(diǎn)存在微小差異,因此圖中兩階段的分界點(diǎn)為各階躍響應(yīng)曲線分界點(diǎn)變化范圍的中間值,以下相同。

圖3 一級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度階躍變化率分別為±10%、±15%時(shí)一、二級(jí)側(cè)出水溫度的階躍響應(yīng)曲線

由圖3可知,在一級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度的階躍激勵(lì)下,二級(jí)側(cè)出水溫度響應(yīng)無明顯滯后,而一級(jí)側(cè)出水溫度響應(yīng)滯后時(shí)間約4.06 s。這說明換熱器的熱惰性主要體現(xiàn)在一級(jí)側(cè)出水溫度響應(yīng)的滯后。一級(jí)側(cè)出水溫度的變化幅度明顯小于二級(jí)側(cè)出水溫度,達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間(滯后時(shí)間與過渡時(shí)間的和)也更長(zhǎng)。對(duì)于二級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度的階躍激勵(lì)-響應(yīng)仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)論為:二級(jí)側(cè)出水溫度響應(yīng)有明顯滯后,溫度變化幅度更小,達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間更長(zhǎng)。

由圖4可知,在一級(jí)側(cè)質(zhì)量流量的階躍激勵(lì)下,一級(jí)側(cè)出水溫度響應(yīng)滯后時(shí)間約1.02 s,二級(jí)側(cè)出水溫度響應(yīng)滯后時(shí)間約0.33 s。一二級(jí)側(cè)出水溫度響應(yīng)滯后時(shí)間均比較短。二級(jí)側(cè)出水溫度的響應(yīng)比一級(jí)側(cè)出水溫度快,說明二級(jí)側(cè)的出水溫度對(duì)質(zhì)量流量的變化更敏感。一級(jí)側(cè)出水溫度的變化幅度小于二級(jí)側(cè)出水溫度,達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間也更長(zhǎng)。對(duì)于二級(jí)側(cè)質(zhì)量流量的階躍激勵(lì)-響應(yīng)仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)論為:二級(jí)側(cè)出水溫度的響應(yīng)比一級(jí)側(cè)出水溫度快,一級(jí)側(cè)出水溫度的變化幅度小于二級(jí)側(cè)出水溫度,達(dá)到穩(wěn)定所需的時(shí)間更長(zhǎng)。

圖4 一級(jí)側(cè)質(zhì)量流量階躍變化率分別為±10%、±15%時(shí)一、二級(jí)側(cè)出水溫度的階躍響應(yīng)曲線

5 傳遞函數(shù)模型對(duì)比

在基于換熱器分布參數(shù)模型的仿真實(shí)驗(yàn)中,針對(duì)每一對(duì)輸入量和輸出量構(gòu)成的SISO系統(tǒng),設(shè)計(jì)4個(gè)階躍激勵(lì)-響應(yīng)仿真實(shí)驗(yàn),輸入量的階躍變化率分別為±10%、±15%,記錄各次仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。根據(jù)傳遞函數(shù)模型建立方法,求解各SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)。其中,時(shí)間常數(shù)、滯后時(shí)間、增益取4個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值。

5.1 SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)

① 以進(jìn)水溫度為輸入量

以進(jìn)水溫度為輸入量的SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)見表2。其中一級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度-二級(jí)側(cè)出水溫度、二級(jí)側(cè)進(jìn)水溫度-一級(jí)側(cè)出水溫度在二階系統(tǒng)建模時(shí),退化為一階系統(tǒng)。

表2 以進(jìn)水溫度為輸入量的SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)

② 以質(zhì)量流量為輸入量

以質(zhì)量流量為輸入量的SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)見表3。其中一級(jí)側(cè)質(zhì)量流量-二級(jí)側(cè)出水溫度、二級(jí)側(cè)質(zhì)量流量-二級(jí)側(cè)出水溫度在二階系統(tǒng)建模時(shí),退化為一階系統(tǒng)。

表3 以質(zhì)量流量為輸入量的SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)

5.2 傳遞函數(shù)的驗(yàn)證

以一級(jí)側(cè)質(zhì)量流量-一級(jí)側(cè)出水溫度SISO系統(tǒng)為例,根據(jù)表3一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)分別計(jì)算一級(jí)側(cè)質(zhì)量流量階躍變化率為±10%、±15%時(shí)一級(jí)側(cè)出水溫度的響應(yīng)。以換熱器分布參數(shù)模型得到的仿真結(jié)果為真值,各時(shí)刻傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差曲線見圖5、6。

圖5 一級(jí)側(cè)質(zhì)量流量-一級(jí)側(cè)出水溫度SISO系統(tǒng)一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差

圖6 一級(jí)側(cè)質(zhì)量流量-一級(jí)側(cè)出水溫度SISO系統(tǒng)二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差

由圖5、6可知,與分布參數(shù)模型仿真結(jié)果相比,一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差均在±0.3%范圍內(nèi),且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)相當(dāng)。

將既得一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型應(yīng)用于輸入量階躍變化率為-25%的激勵(lì)-響應(yīng)實(shí)驗(yàn),以分布參數(shù)模型仿真結(jié)果為真值,對(duì)比傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果與分布參數(shù)模型仿真結(jié)果。輸入量階躍變化率為-25%時(shí),一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果的最大、平均相對(duì)誤差絕對(duì)值分別見表4、5。

表4 輸入量階躍變化率為-25%時(shí)一階傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果的最大、平均相對(duì)誤差絕對(duì)值

表5 輸入量階躍變化率為-25%時(shí)二階傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果的最大、平均相對(duì)誤差絕對(duì)值

由表4、5可知,與分布參數(shù)模型仿真結(jié)果相比,在響應(yīng)過程的過渡段和穩(wěn)定段,一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的計(jì)算結(jié)果平均相對(duì)誤差絕對(duì)值均小于3%。輸入量、輸出量相同條件下,一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果的最大誤差絕對(duì)值小于等于二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)。因此,在換熱器動(dòng)態(tài)特性建模中,宜選擇建模、仿真效率更高的一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

6 結(jié)論

① 與分布參數(shù)模型仿真結(jié)果相比,一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差均在±0.3%范圍內(nèi),兩種傳遞函數(shù)計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差相當(dāng)。

② 在換熱器動(dòng)態(tài)特性研究中,宜選擇一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)。