王晶璇

西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，蘭州 730070

正解的存在性, 其中λ為正參數(shù),均為連續(xù)函數(shù), ω是[0, 1]上的連續(xù)函數(shù)且|ω(t)|≤k, f:[0, ∞)[0, ∞)為連續(xù)函數(shù)且滿足 運用錐上不動點定理證明了: 存在常數(shù)λ*>0, 使得對于λ∈(0, λ*), 該問題至少有一個正解.

近年來, 二階微分方程邊值問題受到許多學者的關注[1-14].特別地, 自然界中存在著大量的周期現(xiàn)象且這些周期現(xiàn)象可以通過二階微分方程周期邊值問題[3-14]來刻畫.比如文獻[5]研究了二階周期邊值問題

(1)

正解的存在性, 其中a>0,λ是一個正參數(shù), 并且滿足條件:

文獻[5]運用錐上不動點定理, 得到了:

值得注意的是, 文獻[5]研究了非線性項f非負的情況下問題(1)正解的存在性, 且a為常數(shù).受上述文獻啟發(fā), 本文考慮比問題(1)更廣泛的問題.具體地, 本文研究二階周期半正問題

(2)

正解的存在性, 其中λ是一個正參數(shù).我們得到如下結論:

定理1假定以下條件成立:

(H4)ω是[0, 1]上的連續(xù)函數(shù), 且|ω(t)|≤k.

則存在常數(shù)λ*>0, 使得當0<λ<λ*時, 問題(2)至少存在一個正解uλ.

注1當ω=0時, 定理1就退化為引理1的結果.然而, 我們所要研究的是允許|ω|≠0的情形, 允許非線性項取負值的情況下正解的存在性結果.因此, 我們所得的結果是對引理1的推廣.

1 預備知識

Lu=-u″+a(t)uu∈D(L)

其中

D(L)={u∈C2[0, 1]:u(0)=u(1),u′(0)=u′(1)}

是全連續(xù)算子, 且滿足

(i)‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω1且‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω2;

或

(ii)‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω1且‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω2.

定義u(x),v(x)是齊次方程

-y″+a(t)y=0 0≤t≤1

滿足初值條件

y(0)=1y′(0)=0

的解.且定義

D=u(1)+v′(1)-2

根據(jù)文獻[6]中的定理2.5, 下述引理成立:

引理3假設條件(H3)成立且h為非負連續(xù)函數(shù), 則線性問題

存在唯一解

其中

且G(t,s)>0, ?t,s∈[0, 1].

令

則m>0,M>0.

由于g(t)是[0, 1]上的連續(xù)函數(shù), 則g(t)在[0, 1]上有上界, 記為T, 即0

引理4令w是

證由引理3知

則

引理5令u∈C1[0, 1]∩C2(0, 1), 滿足

證令v0(t)是微分方程

的唯一解, 則

即-v0(t)≤MkT, 則v0(t)≥-MkT.

令y(t)=u(t)-v0(t), 則

2 主要結果的證明

定理1的證明問題(2)的等價積分形式為

(3)

定義E中的集合

其中

則K為E中的一個正錐.

若u∈K, 結合引理5和(3)式可知

令a>1, 有

f(z)+ω(t)>0z≥a,t∈(0, 1)

(4)

即

因此, 如果u∈K且‖u‖=H1, 則由(3),(4)式得

令

Ω1={u∈E: ‖u‖

則有

‖Au‖≤‖u‖u∈K∩?Ω1

(5)

(6)

令

Ω2={u∈E: ‖u‖

則有u∈K且‖u‖=H2, 則

(7)

因此, 由(6)式和(7)式得

因此

‖Au‖≥‖u‖u∈K∩?Ω2

(8)

3 應用

例1考慮問題

(9)

解的存在性, 其中λ>0.

解這里取

a(t)=t+1g(t)=tf(u)=u2ω(t)=sin 2πt

對于問題(9)而言, 顯然f是連續(xù)的非負函數(shù), 且有

根據(jù)定理1可得, 存在常數(shù)λ*>0, 使得當0<λ<λ*時, 問題(9)至少存在一個正解uλ.