蔣魯佳，辛萬青，張 鳴，王 威，陳紅波

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化是為解決復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì)困難提出的概念,通過實(shí)現(xiàn)多個學(xué)科的自動設(shè)計(jì)和優(yōu)化能夠縮短產(chǎn)品研制周期、提高設(shè)計(jì)質(zhì)量、降低研制成本,具有重要的研究意義和應(yīng)用前景[1],盡管在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用,并不斷向規(guī)范化、商業(yè)化發(fā)展,然而,在多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化過程中,大量的計(jì)算、學(xué)科之間復(fù)雜的數(shù)據(jù)交互以及學(xué)科分析中非線性響應(yīng)都會消耗大量的計(jì)算時(shí)間,從而降低優(yōu)化算法的尋優(yōu)效率以及優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性。

代理模型技術(shù)通過構(gòu)造近似函數(shù)可以將復(fù)雜的學(xué)科分析簡化,從而避免了在優(yōu)化過程中進(jìn)行的極其耗時(shí)的多學(xué)科分析,從而降低了設(shè)計(jì)空間搜索的工作量。目前該技術(shù)已應(yīng)用于風(fēng)力渦輪機(jī)、巡航導(dǎo)彈頭部外形、運(yùn)輸機(jī)機(jī)翼等優(yōu)化設(shè)計(jì)中,并取得了較好的設(shè)計(jì)結(jié)果[2-4],此外,還有人提出了一些基于代理模型技術(shù)的優(yōu)化算法,并驗(yàn)證該方法能夠有效提升優(yōu)化效率[5-6]。文中以飛行器多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化為例,探尋代理模型技術(shù)在其中應(yīng)用的思路和方法。

1 代理模型原理

代理模型主要有多項(xiàng)式響應(yīng)面模型、Kriging模型、徑向基函數(shù)模型以及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等。

1)多項(xiàng)式響應(yīng)面模型

多項(xiàng)式響應(yīng)面的前幾項(xiàng)數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(1)

式中:xi為m維自變量x的第i個分量;β0,βi,βij為待定參數(shù)。

多項(xiàng)式響應(yīng)面模型具有良好的可微性和連續(xù)性,易于實(shí)現(xiàn)優(yōu)化,且可以通過系數(shù)判斷各項(xiàng)對系統(tǒng)影響的大小[7],但是,在處理復(fù)雜程度較高的非線性問題時(shí),多項(xiàng)式響應(yīng)面模型預(yù)測和擬合的結(jié)果相對較差。此外,當(dāng)建立模型的階數(shù)較高時(shí),過擬合的情況也有可能發(fā)生[8]。

2)Kriging模型

Kriging模型一般表示為:

f(x)=g0(x)+z(x)

(2)

式中:g0(x)視作模型中確定的部分,可用多項(xiàng)式來表示;z(x)為漲落,是一個均值為0、方差為σ2的隨機(jī)函數(shù)。

Kriging模型處理復(fù)雜程度較高的非線性問題時(shí),往往能夠取得較好的結(jié)果,但是構(gòu)造模型所消耗的時(shí)間較長,且由于算法復(fù)雜,較難通過軟件實(shí)現(xiàn),因此在實(shí)際使用中會受到一定限制[7,9-11]。

3)徑向基函數(shù)模型

徑向基函數(shù)的基本形式為:

(3)

徑向基函數(shù)模型的基本思路是首先確定一組樣本點(diǎn),然后再以這些樣本點(diǎn)為中心,以徑向函數(shù)作為基函數(shù),通過把這些基函數(shù)線性疊加后計(jì)算待測點(diǎn)處的響應(yīng)值[13],徑向基函數(shù)模型會根據(jù)選取徑向函數(shù)的變化而變化[14]。徑向基函數(shù)模型是一個結(jié)構(gòu)相對簡單且計(jì)算量較小的代理模型[15-16]。

4)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

神經(jīng)元的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。

圖1 神經(jīng)元結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Neuron structural model

其中,wi為神經(jīng)元與輸入xi間的連接權(quán)重;θi為神經(jīng)元的閾值;xi為神經(jīng)元的輸入信號;f為傳遞函數(shù)[17]。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型使用輸入和輸出樣本訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò),通過調(diào)節(jié)各層神經(jīng)元之間的權(quán)系數(shù),實(shí)現(xiàn)模型的構(gòu)建。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立的過程較其他代理模型更為簡單,且可以通過實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算來提高效率[18-20]。

2 飛行器多學(xué)科設(shè)計(jì)建模

文中以飛行器為背景,采用由最小起飛質(zhì)量和最大射程組成的多目標(biāo)函數(shù)作為飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù),并將影響該目標(biāo)函數(shù)以及設(shè)計(jì)方案可行性的幾個專業(yè),包括發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)及內(nèi)彈道設(shè)計(jì)、飛行器外形設(shè)計(jì)、飛行氣動設(shè)計(jì)、飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、質(zhì)量參數(shù)分析、飛行軌跡設(shè)計(jì)、姿控設(shè)計(jì)以及飛行載荷設(shè)計(jì)作為實(shí)現(xiàn)飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化集成的學(xué)科[21]。各學(xué)科使用方案論證階段的設(shè)計(jì)方法或能夠滿足該階段要求的工程計(jì)算方法建立各學(xué)科設(shè)計(jì)模型。通過封裝每個學(xué)科模型,使各學(xué)科成為具備獨(dú)立分析和設(shè)計(jì)能力的模塊。對建立的各學(xué)科設(shè)計(jì)模型的輸入、輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,根據(jù)分析結(jié)果建立的飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)關(guān)系如圖2所示。

圖2 飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)關(guān)系Fig.2 Relationship of aircraft system design subjects

從圖2中可以看出多學(xué)科設(shè)計(jì)模型之間數(shù)據(jù)傳遞關(guān)系復(fù)雜,且存在多個反饋回路,而反饋回路會為飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)系統(tǒng)分析和優(yōu)化帶來較大的困難,為此,采用多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化耦合關(guān)系處理方法[22]進(jìn)行解耦,解耦后的飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)關(guān)系消除了原系統(tǒng)中存在的反饋回路,如圖3所示,系統(tǒng)在進(jìn)行多學(xué)科分析時(shí),只需由設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣左上角的學(xué)科開始,依次進(jìn)行分析即可[23]。

圖3 調(diào)整后的飛行器總體設(shè)計(jì)DSMFig.3 DSM of aircraft system design after adjustment

使用iSIGHT-FD軟件平臺對飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)進(jìn)行集成,集成的流程圖和數(shù)據(jù)關(guān)系分別如圖4和圖5所示[24]。

圖4 飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)集成的流程圖Fig.4 Flow chart of integrated aircraft system multidisciplinary design

圖5 飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)集成數(shù)據(jù)關(guān)系Fig.5 Relationship of integrated aircraft system multidisciplinary design

3 飛行器多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化

采用非支配遺傳算法對建立的飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)空間進(jìn)行搜索,設(shè)置的種群數(shù)量為50,迭代次數(shù)為50,交叉概率為0.9,模型運(yùn)行共耗時(shí)91 h9 min51 s,平均每次迭代用時(shí)約2 min11 s,得到的優(yōu)化結(jié)果如圖6所示,其中,縱坐標(biāo)代表飛行器航程,橫坐標(biāo)代表飛行器起飛質(zhì)量,圖中隱去各坐標(biāo)軸的度量(下同),圖中藍(lán)色的點(diǎn)即為Pareto解集,紅色的點(diǎn)為滿足各種約束條件的可行解集。

圖6 優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Result of optimization

由以上優(yōu)化結(jié)果可以看出,Pareto解集大致形成了一個Pareto面,由于Pareto解集中的點(diǎn)是由優(yōu)化迭代范圍內(nèi)的非劣解集組成,因此,所有可行解包括優(yōu)化的初始點(diǎn)都在這個Pareto面的右下方。在縱軸或橫軸的任意位置畫一條與橫坐標(biāo)軸或縱坐標(biāo)軸平行的直線,該直線與Pareto面的交點(diǎn)就是在射程一定的條件下起飛質(zhì)量最小的單目標(biāo)優(yōu)化問題或在起飛質(zhì)量一定的條件下射程最大的單目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)解,Pareto解集也正是由這些“起飛質(zhì)量一定的最大射程”或“射程一定的最小起飛質(zhì)量”單目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)解組成。

通過對優(yōu)化結(jié)果分析發(fā)現(xiàn),飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化Pareto解集中兩個端點(diǎn)設(shè)計(jì)變量的變化非常小,特別是一些外形參數(shù)變化都是在1～5 mm左右,這對于工程設(shè)計(jì)來說,只相當(dāng)于在實(shí)際生產(chǎn)制造過程中產(chǎn)生的誤差,最終得到的起飛質(zhì)量和射程目標(biāo)函數(shù)也非常的接近。經(jīng)進(jìn)一步分析可知,雖然耗費(fèi)了大量的計(jì)算時(shí)間,進(jìn)行了2 500次迭代計(jì)算,也得到了Pareto解集,但這僅是在2 500次迭代結(jié)果中得到的Pareto解集,迭代次數(shù)與設(shè)計(jì)空間上的可行解集相比還是非常有限的,盡管選擇的非支配排序遺傳算法在設(shè)計(jì)空間上具有全局搜索的能力,即理論上只要有充足的時(shí)間一定可以得到最優(yōu)的Pareto解集,但是平均每次迭代需要耗費(fèi)2 min11 s的模型,要進(jìn)行全局搜索消耗的計(jì)算時(shí)間是非常巨大的。

對于建立的飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化模型存在的分析時(shí)間長、計(jì)算量大的問題,在當(dāng)前計(jì)算機(jī)發(fā)展水平下,采用直接優(yōu)化的方法獲得全局最優(yōu)解還存在一定的困難。為此,提出使用代理模型對復(fù)雜的多學(xué)科設(shè)計(jì)模型進(jìn)行近似,并基于此開展優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。

4 基于代理模型的飛行器多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化

將飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化模型中各學(xué)科分析模型作為一個整體建立代理模型,即在不考慮其內(nèi)部各學(xué)科設(shè)計(jì)模型的輸入輸出以及各學(xué)科之間數(shù)據(jù)傳遞關(guān)系的條件下,建立飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)模型的代理模型。

首先使用了典型樣本點(diǎn)分別采用響應(yīng)面代理模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型對飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)模型進(jìn)行近似。構(gòu)造的四階響應(yīng)面代理模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型誤差分析部分結(jié)果分別如圖7、圖8所示,其中,左側(cè)“Total Error”列為構(gòu)造代理模型所有對應(yīng)的樣本點(diǎn)平均誤差歸一化后的數(shù)值,右側(cè)響應(yīng)圖則清晰的表達(dá)了代理模型響應(yīng)變量偏離實(shí)際值的情況。

圖7 四階響應(yīng)面代理模型誤差分析Fig.7 Error analysis of quartic RSM

圖8 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型誤差分析Fig.8 Error analysis of RBF model

由以上誤差分析對比可以看出,由于建立的飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)模型較為復(fù)雜,采用響應(yīng)面法構(gòu)造的代理模型誤差較大,已經(jīng)不能很好的反映原模型的真實(shí)情況;而采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造的代理模型,雖然模型文件規(guī)模較大,但能夠?qū)颖军c(diǎn)實(shí)現(xiàn)較好的近似,為此,選擇神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型實(shí)現(xiàn)對原模型的近似。

為了使樣本點(diǎn)集具有良好的散布均勻性,并在取值范圍內(nèi)能夠以較少的組合方式獲得設(shè)計(jì)空間較全面的認(rèn)識,使用最優(yōu)拉丁超方設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了DOE(design of experiment)實(shí)驗(yàn)[25],并將該實(shí)驗(yàn)結(jié)果作為構(gòu)造代理模型的樣本點(diǎn),并通過訓(xùn)練完成飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型的構(gòu)造。然后,再對構(gòu)造的代理模型進(jìn)行優(yōu)化,共耗時(shí)約2 h,進(jìn)行了40 000次迭代,得到的Pareto解集如圖9所示。從圖中可以明顯的看出起飛質(zhì)量與射程的變化趨勢,即隨著裝藥量的增加,獲得的射程也越大。其中,起飛質(zhì)量在變化的過程中存在一個跳變,這可能是由于在構(gòu)造代理模型樣本點(diǎn)不夠充分引起的。

圖9 代理模型優(yōu)化結(jié)果Fig.9 Result of surrogate model optimization

在Pareto解集中選取了某起飛質(zhì)量下的設(shè)計(jì)結(jié)果,并將該結(jié)果重新在飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)模型中進(jìn)行分析計(jì)算,得到該起飛質(zhì)量下的最大射程設(shè)計(jì)結(jié)果。通過比對發(fā)現(xiàn),基于代理模型的飛行器多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化結(jié)果較原來的設(shè)計(jì)結(jié)果將最大射程提高了約6%,較好的說明基于代理模型的飛行器多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化在大幅提升優(yōu)化效率的同時(shí),還能夠充分利用各學(xué)科模型相互作用產(chǎn)生出來的協(xié)同效應(yīng),進(jìn)一步挖掘設(shè)計(jì)潛力[26-27]。

5 結(jié)論

文中針對飛行器總體多學(xué)科、多目標(biāo)、多約束優(yōu)化設(shè)計(jì)帶來的計(jì)算困難問題,首先對復(fù)雜多學(xué)科優(yōu)化問題計(jì)算困難進(jìn)行了分析;其次提出一套使用代理模型技術(shù)實(shí)現(xiàn)飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化的思路和方法;然后提出使用代理模型將飛行器總體多學(xué)科設(shè)計(jì)模型作為一個整體進(jìn)行近似的方法;最后提出了使用最優(yōu)拉丁超方設(shè)計(jì)方法對設(shè)計(jì)空間進(jìn)行DOE實(shí)驗(yàn),并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果作為建立代理模型的樣本點(diǎn)的方法。優(yōu)化結(jié)果表明,該方法可以有效降低多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題的復(fù)雜性,提高優(yōu)化效率。

構(gòu)造代理模型進(jìn)行優(yōu)化能夠縮短計(jì)算需要的時(shí)間,雖然優(yōu)化結(jié)果與原優(yōu)化模型存在一定差距,但是隨著構(gòu)造代理模型的樣本點(diǎn)增加,理論上能夠在一定精度范圍內(nèi)反映設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)函數(shù)之間的大致關(guān)系,為設(shè)計(jì)人員權(quán)衡折衷、初步選擇初始設(shè)計(jì)參數(shù)提供參考。此外,將代理模型的優(yōu)化結(jié)果作為精確模型的初始設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化,也能夠加快整個優(yōu)化過程的收斂速度。