馬娟娟

三角函數(shù)求值問題的難度一般不大，側(cè)重于考查三角函數(shù)的基本公式和性質(zhì)的應(yīng)用.常見的命題形式有：（1）根據(jù)已知角，求三角函數(shù)式的值；（2）根據(jù)已知三角函數(shù)式，求某個(gè)角的大??；（3）根據(jù)已知角的關(guān)系式，求三角函數(shù)式的值.下面結(jié)合一道題目，談一談三角函數(shù)求值問題的解法.

例題：已知α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，若 sinα- ，求 tanα的值.

題目中給出的條件較少，卻涉及了正弦、余弦、正切三種函數(shù).要求得 tanα的值，需將正弦、余弦化為正切，或求得角α的三角函數(shù)值.主要有以下三種方法.

一、利用三角函數(shù)的定義

若α是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑為r 的圓交于點(diǎn)P（x，y），其中r=√x?+y?， 則α的正弦為sinα，余弦為 ，正切為 ，這是三角函數(shù)的定義.在求某個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)，我們可以先根據(jù)三角函數(shù)的定義構(gòu)造圓，設(shè)出角的終邊與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)，并用其坐標(biāo)和圓的半徑表示角的正弦、余弦、正切；然后根據(jù)已知關(guān)系式建立關(guān)于x、y、r 的新關(guān)系式，通過化簡(jiǎn)、消元，求得三角函數(shù)的值.

解：

根據(jù)三角函數(shù)的定義解題，需構(gòu)造圓，將角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)與圓的方程關(guān)聯(lián)起來(lái)，借助角與圓、交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系來(lái)建立新關(guān)系式.

二、構(gòu)建方程（組）

構(gòu)造方程（組）是解答求值問題的重要方法.在求三角函數(shù)的值時(shí)，往往要根據(jù)題意和已知關(guān)系式建立關(guān)于所求角、函數(shù)式的方程（組），通過解方程（組）來(lái)求得角、三角函數(shù)式的值.

解法1.

解法2.

我們將已知關(guān)系式平方，并根據(jù)同角的三角函數(shù)平方關(guān)系式 sin?α+cos?α=1化簡(jiǎn)得 ，再將該式與sin?α+cos?α=1相加得到 ，構(gòu)造出方程組，即可通過解方程組求得三角函數(shù)的值.在求某個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)，要靈活運(yùn)用同角的三角函數(shù)平方關(guān)系式sin?α+cos?α=1和商式關(guān)系式建立更多關(guān)于角的關(guān)系式. ，這樣可以

三、弦切互化

當(dāng)遇到三角函數(shù)名不統(tǒng)一的求值問題時(shí)，往往要將正弦、余弦、正切進(jìn)行互化，使得三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一.進(jìn)行弦切互化常用的公式有以及sin?α+cos?α=1

解法1.

解法2.

該解法主要運(yùn)用了正切的二倍角公式和同角三角函數(shù)的商式關(guān)系式 ，將弦化為切，從而順利求得 tanα的值.

總之，解答三角函數(shù)求值問題需注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）仔細(xì)觀察題目中的三角函數(shù)式，尤其要關(guān)注角、函數(shù)名稱的異同；（2）將已知關(guān)系式和所求目標(biāo)式關(guān)聯(lián)起來(lái)，尋找合適的公式進(jìn)行恒等變換，以將已知關(guān)系式逐步向目標(biāo)式靠攏；（3）靈活運(yùn)用三角函數(shù)的基本公式、定義、性質(zhì).

（作者單位：江蘇省東臺(tái)中學(xué)）45