劉濤

數(shù)形結(jié)合思想是結(jié)合代數(shù)關(guān)系式與幾何圖形來解題的思想.數(shù)形結(jié)合思想是解答高中數(shù)學(xué)問題的重要思想，在解題中應(yīng)用廣泛.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，需深入挖掘代數(shù)關(guān)系式的幾何意義，畫出相應(yīng)的幾何圖形；或根據(jù)幾何圖形及其位置關(guān)系建立代數(shù)關(guān)系式，通過代數(shù)運(yùn)算解答問題.下面結(jié)合實(shí)例，談一談如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答函數(shù)與不等式問題.

一、解答函數(shù)問題

函數(shù)的解析式與圖象是函數(shù)的兩種重要表示方式.因此在解答函數(shù)問題時(shí)，可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)函數(shù)的解析式畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度尋找解題的思路.

例1.如果實(shí)數(shù)x，y滿足（x-2）?+y?=3，? 那么 的最大值是（? ）.

解：

我們將（x-2）?+y?=3看作一個(gè)圓，將看作點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，這樣便把問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題，通過分析直線與圓的位置關(guān)系，將數(shù)形結(jié)合起來，快速求得問題的答案.

例2.如果函數(shù)f（x）=x?+2（a-1）x+2在區(qū)間（-，4）上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（ ）.

A.a≥-3???? B.a≤-3???? C.a≤5???? D.a≥3

解：先根據(jù)函數(shù)的解析式畫出 f（x）的圖象，如圖2.由圖可知在對(duì)稱軸x=-（a-1） 左側(cè)的函數(shù)圖象單調(diào)遞減，要使 f（x）在（-x，4）上是減函數(shù)，需使4≤-（a-1），? 解得a≤-3.

根據(jù)函數(shù)的解析式畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，便可通38 過分析函數(shù)圖象的增減性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而快速確定a 的取值范圍.由此可見，利用數(shù)形結(jié)合思想，可使問題變得更加直觀、簡單.

二、解答不等式問題

利用數(shù)形結(jié)合思想解答不等式問題，往往需將代數(shù)式與幾何圖形關(guān)聯(lián)起來，如將、（x-a）?+（y-bβ? 與兩點(diǎn)間的距離、將ax 與直線的方程、將x?與拋物線等關(guān)聯(lián)起來，進(jìn)行數(shù)形互化，可順利求得問題的答案.

例3.

解：

將y=√5-4x-x?? 變形可得（x+2）?+y?=9，? 該式表示半徑為3，圓心為（-2，0）的圓的上半部分，而y=x? 可視為過原點(diǎn)的直線.畫出幾何圖形，即可找到使√5-4x-x?≥x? 成立的點(diǎn)的集合.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可大大簡化運(yùn)算的過程.

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，不一定要畫出精準(zhǔn)的圖形，對(duì)于一些較簡單的問題，只需畫出大致的圖形即可.但對(duì)于一些較為復(fù)雜的問題，往往要畫出比較準(zhǔn)確的圖形，才能順利求得問題的答案.

（作者單位：山東省青島平度市職業(yè)教育中心學(xué)校）