嚴(yán) 凡 林 莉 金士杰

(大連理工大學(xué)無損檢測研究所 大連 116085)

0 引言

相控陣超聲檢測(Phase array ultrasonic testing,PAUT)[1]技術(shù)具有檢測速度快、安全性高等優(yōu)點，在大型構(gòu)件無損檢測中占據(jù)重要地位。PAUT檢測精度與相控陣探頭陣元數(shù)量成正比[2]，但不斷增加陣元數(shù)將產(chǎn)生龐大數(shù)據(jù)量，給超聲檢測數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和數(shù)據(jù)儲存、傳輸均帶來極大壓力。

Donoho[3]提出的壓縮感知(Compressed sensing,CS)理論為解決上述問題提供了思路。相比于先采集、后壓縮的經(jīng)典方式，CS 理論是同時進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣和壓縮，可有效減少采集到的數(shù)據(jù)量。以單測量向量(Single measurement vector,SMV)模型為代表的傳統(tǒng)CS 方法能夠處理向量形式信號，研究證明可用于PAUT 檢測信號的分析和處理[4?5]。目前，成像分辨率和信噪比更高的超聲全聚焦方法(Total focusing method,TFM)[6]已逐步應(yīng)用于工程實踐。與PAUT不同，TFM所需的超聲全矩陣捕捉(Full matrix capture,FMC)數(shù)據(jù)考慮了相控陣探頭中所有陣元的收發(fā)組合，共得到K2個A 掃描信號(K為陣元數(shù)量)，并以三維矩陣形式進(jìn)行儲存。然而，CS理論相應(yīng)增加了復(fù)雜信號的恢復(fù)與重建難度，SMV 模型在面對此類大規(guī)模數(shù)據(jù)時，僅能逐條處理或?qū)⒕仃囅蛄炕?，存在重?gòu)精度低和重構(gòu)耗時長等不足[7]。

多測量向量(Multiple measurement vectors,MMV)模型[8]是SMV 模型向多通道信號的推廣，其從多個測量向量中恢復(fù)具有相同支撐集的稀疏信號，常被稱為聯(lián)合稀疏重構(gòu)。與SMV 模型相比，MMV 模型考慮了信號之間的相關(guān)性，有利于得到更穩(wěn)定、更精確的結(jié)果。Cotter等[9]提出，無噪條件下MMV模型更容易得到唯一解。Eldar 等[10]研究發(fā)現(xiàn)，MMV 模型可以用更少采樣點數(shù)得到理想重構(gòu)結(jié)果，且重構(gòu)準(zhǔn)確率隨信號數(shù)量增加呈指數(shù)上升。目前，MMV模型已被用于多通道腦電信號、陣列信號和傳感器網(wǎng)絡(luò)信源定位等問題研究[11]，但在工業(yè)超聲檢測領(lǐng)域鮮見報道。

本文將基于CS理論的MMV模型應(yīng)用于FMC數(shù)據(jù)壓縮重構(gòu)和缺陷定量檢測。分別采用MMV模型中的多測量稀疏貝葉斯(Multiple sparse Bayesian learning,MSBL)算法[12]和SMV 模型中的稀疏貝葉斯(Sparse Bayesian learning,SBL)算法[13]對鋁合金試塊內(nèi)部橫通孔的實驗FMC 數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，并實施TFM 成像。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合歸一化均方誤差和陣列性能因子比較重構(gòu)效果。

1 原理

1.1 MMV模型

CS 理論指出，若一維信號x ∈?N的稀疏度為k，即信號自身或經(jīng)某種變換后的變換系數(shù)僅有k個較大的非零值，則該信號可從M≥Cklg(N/k)個不相關(guān)的采樣點中恢復(fù)，其中C為常數(shù)。該過程的數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

式(1)中，二維源矩陣X=[x1,x2,···,xL]∈?N×L由L個長度為N的一維信號組成，測量值Y ∈?M×L，測量矩陣Φ ∈?M×N(M

當(dāng)L=1 時上述過程稱為SMV 模型，L>1 時為MMV模型。通常情況下，MMV模型使用同一個測量矩陣Φ對L個信號進(jìn)行降維處理，同時要求所有信號聯(lián)合稀疏，即源矩陣X中非零行的位置相同，數(shù)值大小可不同，記為?=supp(X)。相關(guān)研究[14]表明，超聲檢測時的激勵脈沖波為有限帶寬信號，各陣元接收到的信號在傅里葉域內(nèi)聯(lián)合稀疏，滿足MMV模型要求。

為保證信號能夠準(zhǔn)確恢復(fù)，測量矩陣Φ與稀疏基Ψ之間需滿足有限等距條件。Donoho[3]已證明，高斯隨機(jī)矩陣與常見稀疏基的相關(guān)性較低，可作為常用的測量矩陣。當(dāng)確定觀測矩陣Θ和測量值Y后，MMV模型的優(yōu)化重構(gòu)問題可表示為

式(2)中，σ為測量噪聲水平，||X||2,1為矩陣的l2,1范數(shù)，用于衡量源矩陣X的聯(lián)合稀疏性。

快速且穩(wěn)定的重構(gòu)算法是壓縮感知理論實用化的關(guān)鍵?，F(xiàn)有MMV 模型重構(gòu)算法大多數(shù)來自SMV 模型的擴(kuò)展與改進(jìn)，如貪婪類、凸優(yōu)化類和貝葉斯類[15]。理論上，無噪情況下貝葉斯類算法的重構(gòu)精度和速度介于貪婪類和凸優(yōu)化類重構(gòu)算法之間。因此，本文采用該算法實施重構(gòu)。

在MMV 模型中，貝葉斯類算法假設(shè)源矩陣X中的每列數(shù)據(jù)和噪聲σ均滿足高斯分布的先驗條件。記Xi.為X中的第i行，X.j為X中的第j列，

引入超參數(shù)γ=[γ1,γ2,···,γN]T，假設(shè)源矩陣X的每行數(shù)據(jù)滿足均值μ為0、方差δ為γi的高斯分布，定義p(Xi.;γi)=.N(0,γiI)，進(jìn)而可得

由貝葉斯公式和全概率公式可知源矩陣X中每列數(shù)據(jù)的后驗概率密度為

由于式(5)仍滿足高斯分布，則其對應(yīng)的均值和協(xié)方差矩陣即為所求解。MSBL 算法求解過程如下：

(1) 初始化超參數(shù)γ為數(shù)值均等于1 或任意非負(fù)值的向量。

(2) 計算后驗概率的期望M和協(xié)方差矩陣Σ：

(3) 使用最大期望(Expectation maximization,EM)算法更新γ和噪聲方差：

(4) 重復(fù)步驟(2)～(3)，直至收斂到固定值γ?。

(5) 求XMSBL=M?=E[X|Y;γ?]。

同理，當(dāng)X和Y均為向量時，一定程度上可近似認(rèn)為MSBL算法已退化為SBL算法。

1.2 TFM方法

TFM 是一種基于FMC 數(shù)據(jù)的成像方法，其基本原理如圖1 所示。首先，根據(jù)分辨率需求，將待檢測區(qū)域劃分成若干個離散網(wǎng)格點。隨后，針對每個離散網(wǎng)格點，對原FMC 數(shù)據(jù)中經(jīng)過CS 重構(gòu)后的每個A 掃描信號做希爾伯特變換。最后，根據(jù)傳播時間實施延時疊加處理，進(jìn)而實現(xiàn)逐點聚焦。任意離散網(wǎng)格點P(x,z)的幅值計算公式為

圖1 TFM 原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of TFM

式(6)中，ti,j(x,z)表示從發(fā)射陣元ei至聚焦點(x,z)再返回至接收陣元ej的傳播時間，ri,j為對應(yīng)的A掃描信號。

2 實驗與分析

2.1 實驗系統(tǒng)與信號獲取

如圖2 所示，在鋁合金試塊上加工3 個直徑2 mm的橫通孔，分別定義為缺陷1、缺陷2和缺陷3，其中心深度分別為45 mm、55 mm 和65 mm，各缺陷中心的水平和垂直間隔均為10 mm。使用Olympus 商售5L32-A11 相控陣探頭(中心頻率5 MHz，32 陣元)和M2M Multi-2000 超聲檢測儀采集超聲FMC 數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)采集時，探頭置于缺陷正上方，采樣頻率fs為100 MHz。

圖2 加工3 個Φ2 mm 橫通孔的鋁合金試塊Fig.2 Aluminum alloy specimen with three Φ2 mm side-drilled holes

2.2 實驗結(jié)果及分析

目前，常采用原始信號部分?jǐn)?shù)據(jù)移除的方法來減少采樣點數(shù)，模擬數(shù)據(jù)壓縮過程[16]。定義采樣率(Sampling rate,SR)為測量值長度M與原信號長度N的比值，本文從采集到的超聲FMC 數(shù)據(jù)中隨機(jī)移除70%～95%的采樣點數(shù)，以模擬5%～30%的SR。壓縮重構(gòu)過程中，測量矩陣Φ為高斯隨機(jī)矩陣，稀疏基Ψ為傅里葉矩陣。

圖3 給出基于MSBL 算法和SBL 算法，在不同采樣率下的重構(gòu)TFM成像。對比可見，當(dāng)采樣率小于25%時，SBL 算法重構(gòu)圖像中的缺陷位置幾乎不變，但輪廓變大，直接影響缺陷的?6 dB 定量結(jié)果。與之相比，MSBL 算法在采樣率為15%時就能保證3個缺陷的成像位置和大小幾乎不變。

圖3 基于MSBL 算法和SBL 算法不同采樣率下的重構(gòu)TFM 圖像Fig.3 TFM images reconstructed using MSBL and SBL algorithms with different SRs

為進(jìn)一步量化缺陷重構(gòu)結(jié)果，使用歸一化均方誤差(Normalized root mean square error,NRMSE)比較原FMC 數(shù)據(jù)和重構(gòu)FMC 數(shù)據(jù)之間的差異。同時，引入陣列性能因子(Array performance indicator,API)衡量缺陷成像質(zhì)量。由于高斯矩陣的隨機(jī)性，每次FMC 數(shù)據(jù)重構(gòu)及TFM 成像過程重復(fù)5次，結(jié)果取平均值。

NRMSE計算公式如下[17]：

式(7)中，r(ei,rj,tk)和r′(ei,rj,tk)分別為原FMC數(shù)據(jù)和重構(gòu)FMC 數(shù)據(jù)，ei、rj和tk分別表示發(fā)射陣元編號、接收陣元編號和第k個采樣點。本研究中，Nr和Ns均為陣元數(shù)32，Nt等于采樣點數(shù)1300。

API計算公式如下[6]：

式(8)中，A?6dB為TFM 圖像中缺陷幅值下降一半時所占面積，λ為鋁合金中的超聲波長。若重構(gòu)TFM 圖像中缺陷API 越趨近于原始TFM 圖像結(jié)果，則表明重構(gòu)誤差越小，成像質(zhì)量越好。

圖4 為不同采樣率下MSBL 和SBL 算法重構(gòu)TFM圖中3個不同深度橫通孔的API統(tǒng)計結(jié)果。圖中實線為原始TFM 圖像中對應(yīng)缺陷的API，并將其作為參考值。與SBL 相比，MSBL 算法重構(gòu)結(jié)果的API 與參考值更接近，當(dāng)采樣率為15%時，3 個缺陷的API 與對應(yīng)參考值的差均不大0.15。圖5 為MSBL 算法和SBL 算法在不同采樣率下重構(gòu)FMC數(shù)據(jù)的NRMSE。顯然，用于重構(gòu)的采樣點越多，重構(gòu)的超聲FMC 數(shù)據(jù)越準(zhǔn)確，在所示的采樣率下，MSBL 算法的重構(gòu)誤差幾乎均小于SBL 算法。此外，MSBL 算法在采樣率15%時的NRMSE 為2%，而SBL 算法在采樣率25%時，NRMSE 才能降至1.9%。

圖4 不同采樣率下API 值Fig.4 APIs corresponding to different SRs

圖5 不同采樣率下的MSBL 和SBL 算法重構(gòu)誤差Fig.5 NRMSE using MSBL and SBL algorithms with different SRs

圖6(a)為15%采樣率時，MSBL 算法重構(gòu)結(jié)果中誤差最大的A掃描信號。對比可見，重構(gòu)信號中3個缺陷回波的位置均不變，僅第二個缺陷的幅值略有下降，其局部放大結(jié)果如圖6(b)所示。因此，對于本文給出的實驗信號，MSBL 算法僅需15%采樣率就能獲得較好的重構(gòu)質(zhì)量。

圖6 15%采樣率時MSBL 算法重構(gòu)結(jié)果與原信號Fig.6 Original signal and reconstructed signal by MSBL algorithm using 15% sampling rate

由于所用相控陣探頭的?6 dB帶寬為74%，則本研究采集到的A 掃描信號在傅里葉域內(nèi)的稀疏度k=(2×0.74×fc/fs)×N=7.4%N。通常情況下，SMV 模型約需M=(3～4)k個采樣點才能得到較好的重構(gòu)質(zhì)量，這也正是SBL 算法在采樣率20%至25% 時，NRMSE 由4.4%急速下降到1.9%的原因。此外，由表1可知，在相同采樣率下，MMV模型重構(gòu)所需時間比SMV 模型低兩個數(shù)量級，結(jié)合重構(gòu)誤差分析結(jié)果，進(jìn)一步證明了MMV 模型在無損檢測中的優(yōu)越性。

表1 不同采樣率下MSBL 算法和SBL 算法重構(gòu)耗時Table 1 Cost time of MSBL and SBL algorithms with different SRs(單位：s)

3 結(jié)論

(1) 本文將MMV 模型用于超聲FMC 數(shù)據(jù)重構(gòu)和TFM 成像，解決了SMV 模型存在重構(gòu)精度不足和效率低的問題。

(2) 實驗比較不同采樣率下MSBL算法和SBL算法的重構(gòu)效果。在100 MHz 采樣頻率下，MSBL算法使用15%的采樣點進(jìn)行重構(gòu)，歸一化均方誤差僅為2%；相同誤差下，SBL 算法約需25%采樣點，且重構(gòu)耗時比MSBL 算法高兩個數(shù)量級，反映了MMV模型在FMC數(shù)據(jù)中應(yīng)用的優(yōu)越性。

(3) MMV 模型的重構(gòu)性能優(yōu)于SMV 模型，但重構(gòu)原FMC 數(shù)據(jù)的過程增加了TFM 實時成像的復(fù)雜度。融合壓縮感知與波束成形方法是未來的研究方向與目標(biāo)。