韋宏芳

摘 要：占有相當比例的解題教學課需要提升解題教學質(zhì)量，也對教師的備課和課堂組織提出了更高的要求.比如，課前需要深度解題，教師要想清辨明習題的深層結(jié)構(gòu)，然后預設一些鋪墊問題，能為后續(xù)重點講評的較難習題提供啟發(fā)或暗示作用，在講評之后要通過回顧反思環(huán)節(jié)促進學生想深、悟透.

關鍵詞：解題教學；鋪墊設問；去情境化；回顧反思

本地區(qū)八年級上學期期末考試中有一道正方形為背景的陰影面積問題，難住了多數(shù)學生，考后訪談少數(shù)做到答案的學生也沒有說清道明，只是“彎彎繞”的解出正確結(jié)果.為此，筆者決定專門安排時間對這道考題進行深度講評，經(jīng)過精心準備，取得較好的講評效果，以下是圍繞這道考題的教學“微設計”，整理出來，提供分享和研討.

1 一道八年級期末考題的教學微設計

熱身問題：已知實數(shù)a，b滿足a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，a-b的值.

教學組織：安排學生獨立練習后，展示幾個學生的不同解答，并對解法過程進行對比，讓學生在對比中學習那些思路較優(yōu)、過程較簡的好方法.

出示考題：如圖1中，有兩個正方形A，B.現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲；將A，B并列放置后，構(gòu)造新的正方形得圖乙，圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和24.若三個正方形A和兩個正方形B，如圖丙擺放，求陰影部分的面積.

解法預設：設正方形A，B的邊長各為a、b（a＞b），得圖甲中陰影部分的面積為（a-b）2＝1，①

圖乙中陰影部分的面積為（a+b）2-（a2+b2）＝24，化簡得ab＝12，②

圖丙中陰影部分的面積為（2a+b）2-（3a2+2b2），化簡得a2+4ab-b2.③

接下來的關鍵就是由條件①、②，求③式的值，也就是以下“等價問題”.

等價問題：若實數(shù)a、b（a＞b）滿足（a-b）2＝1，ab＝12，求代數(shù)式a2+4ab-b2的值.

先將③“變一變”，a2+4ab-b2＝（a+b）（a-b）+4ab＝（a+b）（a-b）+48.

接下來就是要攻克a+b，a-b的值.

由①，結(jié)合a＞b，可得a-b＝1.

再由a-b＝1，ab＝12，根據(jù)“熱身問題”的解題經(jīng)驗，可求出a+b＝7或-7（負值不舍題意，舍去）.

于是（a+b）（a-b）+48＝7×1+48＝55，即③式的值為55.

答：圖丙擺放后陰影部分的面積為55平方單位.

解后回顧：引導學生先自主回顧，可提供一些反思的問題，比如“理解題意，能得出哪些條件？”“本題求解目標的關鍵是什么”“你解法過程中哪幾個步驟是最關鍵的”等等.教師在學生回答的基礎上，在PPT上出示以下三個關鍵步驟.

2 對解題教學的一些思考

2.1 重視引導學生學會審題

曹才翰、章建躍兩位先生曾就“提高解題能力”提出幾條教學措施，其中第一條就是要“培養(yǎng)認真審題的習慣，提高審題能力”.審題習慣與審題能力的培養(yǎng)需要教師長期堅持，并不是一蹴而就的.具體來說，當一道習題出示之后，要給學生獨立閱讀、理解、思考的時間，不要急于提示、啟發(fā)，在學生還沒有讀懂題意時就安排少數(shù)優(yōu)秀學生直接開始解法展示.在多數(shù)學生已讀懂問題，初步理解題意之后，如果安排學生進行講解，也不要直接說解法步驟，而要通過必要的追問讓學生先理清題意，從哪個條件出發(fā)，問題的目標或方向是什么，如果是幾何題解答時學生往往是先添加輔助線，這時教師要“打斷”學生繼續(xù)推證的節(jié)奏，追問他是如何想到這條輔助線？這條輔助線是念頭是根據(jù)問題中哪個條件想到的，或者基于以前積累是哪一個基本圖形的啟示？等等.這樣的追問，有利于讓更多的學生理解“思路是如何發(fā)生發(fā)展的”.

特別是，有些問題中的條件比較隱蔽，或者是命題者經(jīng)過包裝之后呈現(xiàn)的，審題時就是要解讀、破譯這類隱蔽的信息，對于解題速度比較快的學生可能就是迅速看懂、想清這些隱蔽信息或包裝之后的條件，教師可通過必要的提問讓學生暴露他們的思維過程，同時也向其他學生分享審題的經(jīng)驗.像上文“考題”中的圖甲、甲乙、圖丙的陰影面積就是審題的關鍵，通過恰當設元，可以表示出它們的陰影面積，這是審題的進展也是后續(xù)求求解的“重要進展”.

2.2 去情境化識別等價問題

南京大學哲學系鄭毓信教授關于在文中圍繞“解題教學的幾個關鍵”曾指出要做好“問題的歸類與辨識”.在審題之后，能否準確分析出已知條件、待求結(jié)論，然后將這道問題簡化為曾經(jīng)練習過的某類問題，進一步可以借助已學的數(shù)學知識、性質(zhì)進行求解.這個解題進展就可看成是對問題進行了歸類與辨識.根據(jù)教學經(jīng)驗，筆者發(fā)現(xiàn)很多情況下，學生解題的障礙大多在于問題歸類出錯、辨識不準，從而出現(xiàn)后續(xù)求解方向的偏差.比如上文提到的“考題”情境是用正方形紙片拼圖作為問題背景，學生需要充分審題之后才能發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上是已知兩數(shù)的和、積，求兩數(shù)的差.這個過程也看成是解決這類復雜情境問題的“去情境化”，如果被繁雜情境所干擾，不能突顯、簡化問題，能影響解題進展.

順便提及，鄭教授在文中還指出：“我們顯然也不應將數(shù)學解題教學與數(shù)學知識教學絕對地對立起來，而應更加重視兩者的相互滲透，即應以思維方法的分析帶動具體數(shù)學知識的教學，從而將數(shù)學課真正講活、講懂、講深.”這就說明，很多教師在新授課教學時都會精心選編一個問題情境（生活現(xiàn)實或數(shù)學現(xiàn)實或其他學科現(xiàn)實），然后在這些問題情境的驅(qū)動之下，抽象、分離、歸納、概括出某個數(shù)學概念的本質(zhì)特征，進一步用簡潔的數(shù)學語言表達這個數(shù)學概念或得出這個數(shù)學研究對象的定義，這個過程通常稱之為去情境化.對應到解題教學中，也可以類比進行教學，比如一個復雜的情境背景之后，引導學生解讀情境問題的關鍵條件，用簡潔的數(shù)學語言來重新表示，然后把問題再變換成簡潔的數(shù)學語言（或符號語言）的呈現(xiàn)方式，這里問題就轉(zhuǎn)化為“等價問題”，通常情況下，等價問題多是之前學生已練習過的、熟知的某類問題，多數(shù)學生都能順利解決的.

2.3 解題之后及時回顧反思

不論是美國著名數(shù)學教育家波利亞，還是我國很多數(shù)學解題教育研究學者（如陜西師范大學羅增儒教授）都十分重視解后回顧反思的教學環(huán)節(jié)，因為反思回顧可以顯著提高解題教學的質(zhì)量.一般來說，可從以下一些角度來引導學生進行解后回顧，比如復述解題思路，提煉關鍵步驟；開展一題多解，并對不同解法進行對比或優(yōu)化；進行同類問題的聯(lián)想與鏈接；將問題進行推廣、一般化或者特殊化，得到與原問題相關的新問題，等等.當然具體到某道問題解題教學之后，最好教師能在課前針對這道考題預設出一些更為具體的“反思問題”（上文考題講評之后在回顧反思環(huán)節(jié)就提出一些具體的反思問題），這樣可以更好的引導學生學會反思.還可提及，不少教師在典型問題開展解題教學之后，安排部分學生以“數(shù)學寫作”的方式進行解后回顧，是一種非常值得推廣的好做法，因為學生整理解題過程并詳細自己的思考過程并進行必要的概括、拓展，是典型的深度學習.教師可以將優(yōu)秀的解題隨筆、數(shù)學寫作發(fā)布家長群、班級公眾號空間進行推介，以激勵學生堅持這種回顧反思的方式.

3 結(jié)束語

應該承認，解題教學在日常教學中占有相當比例，如何提高解題教學的質(zhì)量是每個教師都應該努力追求的教學目標.本文從一道地區(qū)八年級期末考題的講評出發(fā)，思考了解題教學的幾個關鍵環(huán)節(jié)（審題、“去情境化”、解后回顧），為提升解題教學質(zhì)量帶來相關啟發(fā).