殷術(shù)千　顧菊觀　邱培鎮(zhèn)　周天佑　曹炳松　潘葉敏　俞軼帆

【摘? ?要】? ?基于幾何光學(xué)原理得到一般三棱鏡光垂直入射點(diǎn)[M]與底邊和[B]角的關(guān)系式，研究一般三棱鏡所需觀察測(cè)量的出射光線(xiàn)與入射點(diǎn)、底角[B]、折射率等的關(guān)系。應(yīng)用 Matlab得到了母線(xiàn)段[BM]與底角[B]、棱鏡折射率及兩側(cè)折射率的關(guān)系曲線(xiàn)，應(yīng)用Zemax得到了相應(yīng)的光線(xiàn)軌跡圖。結(jié)果表明，理論分析與關(guān)系曲線(xiàn)和光線(xiàn)軌跡是一致的，對(duì)三棱鏡應(yīng)用中選擇折射率、入射光線(xiàn)入射角、入射點(diǎn)和底角等有很好的參考作用，同時(shí)加深了對(duì)三棱鏡折射理論和應(yīng)用的理解。

【關(guān)鍵詞】? ?一般三棱鏡；入射點(diǎn)；出射光線(xiàn)；折射率

Discussion on the Normal Incidence Point [M] of General Prism

Yin Shuqian， Gu Juguan*， Qiu Peizhen， Zhou Tianyou， Cao Bingsong， Pan Yemin， Yu Yifan

（Huzhou University， Huzhou 313000， China）

【Abstract】? ? Based on the principle of geometric optics， the relationship between the normal incident point [M] of light of general prism and the bottom edge and [B]angle is obtained， and the relationship between the outgoing light required to observe and measure the general prism and the incident point， bottom angle [B]， refractive index， etc. is studied. Matlab is used to obtain the relationship curve between the parent line [BM] and the bottom angle [B]， the refractive index of the prism and the refractive index of both sides， and Zemax is used to obtain the corresponding ray trajectory. The results show that the theoretical analysis is consistent with the relationship curve and ray path， which is a good reference for the selection of refractive index， incident angle， incident point and bottom angle of incident light in the application of triangular prism， and also deepens the understanding of the refraction theory and application of triangular prism.

【Key words】? ? ?general prism; point of incidence; outgoing ray; refractive index

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕? ?O435? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕? A ? ? ? ? ? ? ?〔文章編號(hào)〕 1674 - 3229（2023）02- 0023 - 04

0? ? ?引言

文獻(xiàn)［1-4］研究討論了空氣中的三棱鏡及實(shí)驗(yàn)條件相對(duì)比較固定，對(duì)于改變相關(guān)參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)很難實(shí)現(xiàn)，限制了一些特殊條件下的三棱鏡入射光線(xiàn)、出射光線(xiàn)和偏向角的研究。

文獻(xiàn)［5］得到了空氣中等邊三棱鏡的最小入射角，分析影響的因素；文獻(xiàn)［6］研究了空氣中三棱鏡的最小入射角與棱鏡頂角的關(guān)系，棱鏡最大頂角與折射率的關(guān)系；文獻(xiàn)［7］詳細(xì)研究了一般三棱鏡的最小入射角，棱鏡最大頂角與折射率的關(guān)系，折射率所需條件；文獻(xiàn)［8］研究和概括了空氣中三棱鏡的棱鏡折射率的測(cè)定和入射角的測(cè)量方法；文獻(xiàn)［9］討論了在三棱鏡[AC]面發(fā)生全反射的[AB]入射點(diǎn)的選擇及影響因素。對(duì)于入射光從[AB]面以入射角為[0°]即垂直入射，并要求出射光線(xiàn)直接從[AC]面出射及影響因素的研究很少見(jiàn)到。本文基于幾何光學(xué)原理得到一般三棱鏡光垂直入射點(diǎn)[M]與底邊[BC]和[B]角的關(guān)系式，研究影響一般三棱鏡觀察測(cè)量所需出射光線(xiàn)的影響因素，并根據(jù)文獻(xiàn)［10，11］所提到的光學(xué)教學(xué)中應(yīng)用Matlab編程思想和方法模擬關(guān)系曲線(xiàn)和Zemax光線(xiàn)軌跡進(jìn)行研究分析討論。研究的結(jié)果對(duì)于選擇棱鏡和折射率提供了參考依據(jù)，加深了對(duì)棱鏡折射的理解和認(rèn)識(shí)。

1? ?[M]點(diǎn)的確定

假設(shè)光線(xiàn)從一般三棱鏡[ABC]的[AB]面上入射，圖1表示了[AB]面上光線(xiàn)以入射角[i1=0°]即垂直入射的光線(xiàn)示意圖，其中[M]點(diǎn)處經(jīng)[AB]面折射（折射角為[r1=0°]）的光線(xiàn)恰好通過(guò)[C]點(diǎn)，且[C]點(diǎn)對(duì)應(yīng)的入射角[r2]恰好是臨界角； 在[AM]內(nèi)的光線(xiàn)，都直接入射到[AC]面，[AC]面對(duì)應(yīng)的入射角都為發(fā)生全反射時(shí)的臨界角；只有當(dāng)入射角[r2]小于臨界角時(shí)，光線(xiàn)從[AC]面出射，如圖2滿(mǎn)足文獻(xiàn)［1-9］所定義的光線(xiàn)和偏向角，如圖3不滿(mǎn)足文獻(xiàn)所定義的光線(xiàn)和偏向角（文獻(xiàn)［8］已經(jīng)證明棱鏡折射率要大于兩側(cè)折射率）。

圖1中[MB]內(nèi)的光線(xiàn)，都直接入射到[BC]面（[BC]面的折射率[n4=1]），在[BC]面發(fā)生折射；當(dāng)滿(mǎn)足[r2B=B≥arcsin（1／n2）]時(shí)在[BC]面發(fā)生全反射，再經(jīng)[AC]面出射，但不是文獻(xiàn)所定義的出射光線(xiàn)和偏向角；要使[BC]面的光線(xiàn)不到達(dá)[AC]面，[B]角需滿(mǎn)足[r2B=B≤arcsin（1／n2）]。

對(duì)于給定的三棱鏡和折射率，[B]角的最大值為：

在圖1中[AC]面入射角[r2]滿(mǎn)足[r2≤arcsin（n3n2）]時(shí)[AC]面上能觀察到文獻(xiàn)所定義的光線(xiàn)和偏向角，入射角[r2]的最大值為：

式中的[Amax]與文獻(xiàn)［7］的[Amax]是相同的，文中的[Amax]指的是垂直入射時(shí)的棱鏡最大頂角，文獻(xiàn)［7］的最大棱鏡頂角是指給定棱鏡折射率和兩側(cè)折射率情況下對(duì)應(yīng)的棱鏡最小入射角時(shí)，能在[AC]面上觀察到文獻(xiàn)定義的出射光線(xiàn)及偏向角所對(duì)應(yīng)棱鏡的最大頂角。[Amax、Bmax]對(duì)應(yīng)的[C]值為[Cmin]。

式（1）和（2）說(shuō)明，給折射率的三棱鏡和垂直入射時(shí)，只有當(dāng)[A

圖5說(shuō)明[n1=1， n2=1.6475， n3=1]，不是等邊三棱鏡時(shí)[AB]、[AC]面出射光線(xiàn)的情況。（a）[A=30°<37.3715°， B=60°>37.3715°]時(shí)，入射到[BC]面光線(xiàn)經(jīng)[BC]面全反射再經(jīng)[AC]面出射，不滿(mǎn)足文獻(xiàn)所定義的出射光線(xiàn)。直接入射到[AC]面的光線(xiàn)從[AC]面折射后的出射光線(xiàn)，滿(mǎn)足文獻(xiàn)所定義的出射光線(xiàn)。（b）[A=60°>37.3715°， B=30°<37.3715°]時(shí) ，入射到[BC]面光線(xiàn)經(jīng)[BC]面全折射后出射。直接入射到[AC]面的光線(xiàn)從[AC]面全反射再經(jīng)[BC]折射后出射。兩條出射光線(xiàn)都不滿(mǎn)足文獻(xiàn)所定義的出射光線(xiàn)。（c）[A=30°<37.3715°， B=30°<37.3715°]時(shí)，入射到[BC]面光線(xiàn)經(jīng)[BC]面全折射后出射。直接入射到[AC]面的光線(xiàn)從[AC]面折射后的出射光線(xiàn)只有一條，滿(mǎn)足文獻(xiàn)所定義的出射光線(xiàn)。

由圖5的分析可知，選擇棱鏡的[A]和[B]角要滿(mǎn)足一定要求，才能在[AC]側(cè)找到滿(mǎn)足定義所要求的出射光線(xiàn)，從而進(jìn)行相關(guān)測(cè)量。

2? ? ?[c3]與[B]的關(guān)系曲線(xiàn)和理論分析對(duì)比

根據(jù)第1部分所述，綜合文獻(xiàn)［10］研究的方法，依據(jù)式（4）運(yùn)用Matlab繪制在折射率[（n1、n2、n3）]定向改變的情況下線(xiàn)段[BM（c3）]與底角[B]的關(guān)系曲線(xiàn)如圖6-圖11所示。

2.1? ?棱鏡折射率[n2]發(fā)生改變時(shí)，[c3]與[B]的關(guān)系曲線(xiàn)和理論分析

圖6-圖11中的[Bmax、Amax]是根據(jù)式（1）和（2）計(jì)算得到的， [BM]（[c3min]）是根據(jù)式（5）計(jì)算得到的，根據(jù)式（4）計(jì)算了[B=60°，B=90°]對(duì)應(yīng)的[c3min]。由圖6、7、8知，其他條件不變，棱鏡折射率[n2]越大，對(duì)應(yīng)的[Amax=Bmax]值越小，對(duì)應(yīng)的[BM]（[c3min]）是增大的，[B=60°，B=90°]對(duì)應(yīng)的[c3min]不變的。關(guān)系曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的值與理論計(jì)算相一致。

2.2? ?棱鏡折射率[n1]發(fā)生改變時(shí)，[c3]與[B]的關(guān)系曲線(xiàn)和理論分析

由圖7、9知，其他條件不變，棱鏡左側(cè)（入射方）折射率[n1]增大，對(duì)應(yīng)的[Amax=Bmax]，[BM]（[c3min]）不變，[B=60°，B=90°]對(duì)應(yīng)的[c3min]不變，說(shuō)明[Amax、Bmax]、[c3min]與棱鏡左側(cè)（入射方）折射率[n1]沒(méi)有關(guān)系。關(guān)系曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的值與理論計(jì)算相一致。

由圖7、10知，其他條件不變，棱鏡右側(cè)（出射方）折射率[n3]增大，對(duì)應(yīng)的[Amax]增大，[Bmax]、[BM]（[c3min]）不變，[B=60°，B=90°]對(duì)應(yīng)的[c3min]不變，說(shuō)明[Amax]與棱鏡右側(cè)（出射方）折射率[n3]有關(guān)系，[Bmax]、[c3min]與棱鏡右側(cè)（出射方）折射率[n3]沒(méi)有關(guān)系。關(guān)系曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的值與理論計(jì)算相一致。

2.3? ?棱鏡折射率[n1]、[n3]發(fā)生改變時(shí)，[c3]與[B]的關(guān)系曲線(xiàn)和理論分析

由圖7、11知，其他條件不變，棱鏡兩側(cè)折射率[n1]、[n3]增大，對(duì)應(yīng)的[Amax]增大，[Bmax]、[BM]（[c3min]）不變，[B=60°，B=90°]對(duì)應(yīng)的[c3min]不變，說(shuō)明[Amax]與棱鏡右側(cè)（出射方）折射率[n3]有關(guān)系，[Bmax]、[c3min]與棱鏡兩側(cè)折射率[n1]、[n3]沒(méi)有關(guān)系。關(guān)系曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的值與理論計(jì)算相一致。

3? ? ?結(jié)論

綜上所述，要使光線(xiàn)以入射角為[0°]垂直入射到三棱鏡[AB]面后，在[AC]面只找到符合實(shí)驗(yàn)要求的出射光線(xiàn)，棱鏡的兩個(gè)角必須同時(shí)滿(mǎn)足[A

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[收稿日期]? ?2022-10-24

[基金項(xiàng)目]? ?國(guó)家自然科學(xué)基金委理論物理專(zhuān)款“高校理論物理學(xué)術(shù)交流和人才培養(yǎng)平臺(tái)建設(shè)項(xiàng)目”（12047568）

[作者簡(jiǎn)介]? 殷術(shù)千（2002- ），男，湖州師范學(xué)院理學(xué)院學(xué)生。

[通訊作者]? ?顧菊觀（1963- ），男，湖州師范學(xué)院理學(xué)院教授，研究方向：激光光學(xué)、大學(xué)光學(xué)與實(shí)驗(yàn)。