王 偉,呂樹(shù)辰,許衛(wèi)鍇,*,李 潔

(1. 宿遷學(xué)院 產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院,宿遷 223800;2. 沈陽(yáng)航空航天大學(xué),遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,沈陽(yáng) 110136)

0 引言

聲子晶體(Phononic crystal, PnCs)[1-3]是一種通過(guò)類比光子晶體而產(chǎn)生的人工超材料,其帶隙產(chǎn)生的原理主要分為布拉格散射和局域共振理論。聲子晶體因其顯著的色散特性(如帶隙性能)在過(guò)去的幾十年間引起了廣泛關(guān)注,并因此逐漸成為控制機(jī)械波傳輸?shù)倪x擇。近年來(lái),很多學(xué)者在考慮材料帶隙的同時(shí)也開(kāi)始關(guān)注其他特性,如輕量化[4]、熱膨脹性能[5-6]、帶隙調(diào)控性能[7]等。然而,由于聲子晶體的帶隙計(jì)算較為復(fù)雜,很難通過(guò)基礎(chǔ)的參數(shù)調(diào)試獲得最佳的帶隙需求,因此,對(duì)具有帶隙性能的材料與結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),成為當(dāng)前研究的一個(gè)熱點(diǎn)。例如,SIGMUND等[8]基于有限元方法,首次利用拓?fù)鋬?yōu)化方法研究了二維聲子晶體的最大帶隙設(shè)計(jì)。隨后,聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)迅速得到了廣泛研究。借助于遺傳算法,GAZONAS等[9]設(shè)計(jì)了二維聲子晶體結(jié)構(gòu)。鐘會(huì)林等[10]將PWE和有限元法相結(jié)合,對(duì)二維固-固聲子晶體進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。此外,基于遺傳算法的聲子晶體多目標(biāo)優(yōu)化也相繼發(fā)展,例如,HUSSIEN等[11-12]基于非支配排序遺傳算法(NSGA-II)對(duì)目標(biāo)頻率的一維聲子晶體進(jìn)行了優(yōu)化。XU等[13-14]則利用NSGA-II對(duì)由三種組分材料構(gòu)成的聲子晶體進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì),并得到了一些有意義的結(jié)果。

材料與結(jié)構(gòu)的熱膨脹性能研究也已取得了很多有效的進(jìn)展,尤其對(duì)于處在惡劣溫度環(huán)境下的材料,往往需要特定的熱膨脹性能。近年來(lái),不斷有新穎的熱膨脹結(jié)構(gòu)和材料被提出以實(shí)現(xiàn)特定需求的熱膨脹系數(shù),如零膨脹或極大的正/負(fù)膨脹。例如,LEHMAN等提出了一種三角形超材料單胞(Lehman-Lakes單胞),這種單胞由雙材料彎曲肋條鉸接而成,在實(shí)現(xiàn)特殊熱膨脹系數(shù)的同時(shí)能夠保持較高的剛度[15-16]。為克服其不易制備的缺點(diǎn),ZHANG等[17]將鉸接改進(jìn)為固定連接(JTCLM單胞),結(jié)構(gòu)的剛度特性可通過(guò)合理的材料/尺寸設(shè)計(jì)得到。

盡管特定熱膨脹材料的研究已經(jīng)取得了大量的成果,但多數(shù)研究仍局限于對(duì)其熱膨脹系數(shù)的設(shè)計(jì),對(duì)于材料其他的性質(zhì)即多功能化的分析仍存在不足。隨著科技的發(fā)展,結(jié)構(gòu)與材料在服役過(guò)程中往往需要應(yīng)對(duì)多種物理場(chǎng)的作用,特別是在航空航天領(lǐng)域,較大的溫差和高超聲速下的振動(dòng)和噪聲對(duì)結(jié)構(gòu)和材料提出了新的挑戰(zhàn)。因此,在考慮特定熱膨脹材料的同時(shí)研究其帶隙隔振特性成為當(dāng)前重要的科學(xué)問(wèn)題[18]。劉成龍、許衛(wèi)鍇等[19-20]分別對(duì)拉伸主導(dǎo)型和彎曲主導(dǎo)型的熱膨脹點(diǎn)陣超材料進(jìn)行了帶隙特性的初步研究,結(jié)果表明這些構(gòu)型能夠在一定頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生帶隙,且結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)對(duì)帶隙具有顯著影響。BAI等[21]提出一種新型四韌帶反手性點(diǎn)陣超材料,可實(shí)現(xiàn)熱膨脹與泊松比的調(diào)控,并討論了其帶隙特性隨幾何參數(shù)的影響。然而,上述這些超材料盡管表現(xiàn)出了一定的帶隙特性,但并未表現(xiàn)出明顯的分布規(guī)律,難以得到特定需求的熱膨脹/帶隙性能的多目標(biāo)優(yōu)化構(gòu)型。因此,對(duì)該類點(diǎn)陣超材料進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)成為一個(gè)重要課題。

本文采用NSGA-II對(duì)JTCLM的熱膨脹系數(shù)和帶隙特征進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化,并給出了考慮熱膨脹系數(shù)和最大相對(duì)帶隙的帕累托最優(yōu)解。針對(duì)零/正/負(fù)熱膨脹系數(shù),分別討論了結(jié)構(gòu)參數(shù)與最大相對(duì)帶隙的關(guān)系,此外,還研究了更換不同材料組分對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。

1 模型與方法

1.1 模型介紹

本文所取模型為文獻(xiàn)[17]中的JTCLM單胞,如圖1所示。單胞肋條由兩種不同材料組成,肋條二(紅色線條)局部覆蓋在肋條一(藍(lán)色線條)上。其中,L、L0分別為肋條一和肋條二的軸向長(zhǎng)度;t1、t2分別為肋條一和肋條二的厚度;θ、R分別為彎曲角度和彎曲半徑,代表了雙層部分的彎曲程度。假設(shè)α1和α2分別為材料1和材料2的CTE,并令q彎曲肋部分與總長(zhǎng)度的比,q=L/L0;n材料1和材料2的彈性模量之比,n=E1/E2;m材料1和材料2的厚度之比,m=t1/t2,則單胞的材料和幾何參數(shù)一旦選定,其等效熱膨脹系數(shù)可由q、m、n、α1、α2、θ六參數(shù)確定,其熱膨脹系數(shù)的計(jì)算公式如式(1)所示[17]

圖1 JCTLM的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic illustration of the JTCLM

(1)

當(dāng)組分材料被選定后,其熱膨脹系數(shù)α1、α2,模量比n也將確定。此時(shí)單胞的形狀將成為帶隙特性的主要影響因素。在實(shí)際應(yīng)用中,由于JTCLM單胞組成的點(diǎn)陣材料只在x-y平面內(nèi)體現(xiàn)零膨脹特性,在z軸方向上不能實(shí)現(xiàn)零膨脹功能,因此本文只考慮二維帶隙即x-y平面內(nèi)帶隙。

文中選用了三種材料進(jìn)行組合搭配,分別是因瓦(Invar)、鋁(Al)以及鋼(Steel)。其中Invar是一種熱膨脹系數(shù)很低的材料;Al和Steel具有較高的熱膨脹系數(shù),且Steel具有更高的強(qiáng)度。三種材料的相關(guān)熱/力參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)Table 1 Parameters of the constituent materials

1.2 彈性波方程和帶隙計(jì)算

線彈性及各向同性的無(wú)源介質(zhì)中的彈性波控制方程為[22-23]

{[λ(r)]+2μ(r)(·u)}-×

[μ(r)×u]+ρω2u=0

(2)

式中ω為角頻率;r(x,y,z)為位置矢量;u(r)為位移矢量;=(?/?x,?/?y,?/?z)為微分算子;λ(r)和μ(r)分別為材料的拉梅常數(shù);ρ(r)為材料密度。

對(duì)于此周期性結(jié)構(gòu),材料的參數(shù)具有相同的周期性。根據(jù)Bloch定理,可以得到位移矢量為

=ei(k·r-ωt)uk(r)

(3)

式中k=(kx,ky)為第一布里淵區(qū)的波矢量;G為無(wú)量綱空間坐標(biāo)逆晶格矢量。

由于結(jié)構(gòu)具有平移周期性,可以選擇其維格納原胞代表整個(gè)結(jié)構(gòu),如圖2(a)所示。根據(jù)晶體能帶理論,任選一個(gè)倒格子點(diǎn)為原點(diǎn),做原點(diǎn)和其他所有倒格子點(diǎn)連線的中垂面,這些中垂面將倒格子空間分割成許多區(qū)域,其中最靠近原點(diǎn)的閉合區(qū)域稱為第一布里淵區(qū)。利用平移對(duì)稱性可進(jìn)一步得到不可約布里淵區(qū)。對(duì)于JTCLM,可以取第一布里淵區(qū)和不可約布里淵區(qū)如圖2(b)所示。將波矢k沿不可約布里淵區(qū)的邊界求解,可計(jì)算聲子晶體的帶隙分布。

圖2 (a)JCTLM晶格的維格納原胞;(b)晶格的第一及不可約布里淵區(qū)Fig.2 (a) Wigner-seitzprotocells of JTCLM;(b) The first and irreconcilable Brillouinzones of lattice

求解控制方程(2)涉及到復(fù)雜的本征頻率問(wèn)題,由于在處理復(fù)數(shù)特征值方面所具備的優(yōu)勢(shì),選擇COMSOL Multiphysics作為有限元求解工具,可以通過(guò)方便地應(yīng)用Bloch周期邊界條件實(shí)現(xiàn)對(duì)式(2)的求解[14]。

1.3 NAGA-II與目標(biāo)確定

遺傳算法已被廣泛地應(yīng)用于各領(lǐng)域中的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。特別是由于遺傳算法不依賴于目標(biāo)函數(shù)的梯度及敏度,能夠從多個(gè)并行點(diǎn)找到最優(yōu)解,因此特別適合復(fù)雜波動(dòng)問(wèn)題的優(yōu)化求解。本文利用NAGA-II算法對(duì)JTCLM進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì),以求得到同時(shí)具有優(yōu)異帶隙性能又兼顧熱膨脹特性的點(diǎn)陣超材料構(gòu)型。這是一個(gè)典型的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題?？梢詫?wèn)題表述為

Minimize:F1=Pen1(x),F2=Pen2(x)

(4)

其中,F1和F2分別定義為優(yōu)化目標(biāo)的懲罰函數(shù)。在本文中,目標(biāo)一選為最大相對(duì)帶寬[14]:

(5)

目標(biāo)二則是特定的熱膨脹系數(shù)。NAGA-II算法的執(zhí)行過(guò)程如下:

(1)隨機(jī)生成NP個(gè)染色體的初始種群P,并在染色體的末端加上目標(biāo)函數(shù)值,以便于計(jì)算和數(shù)據(jù)處理;創(chuàng)建空集合Q和S。

(2)利用非支配排序?qū)Τ跏挤N群進(jìn)行排序,這將為每個(gè)個(gè)體返回兩個(gè)指標(biāo):等級(jí)和擁擠距離。

(3)對(duì)種群中的個(gè)體進(jìn)行二進(jìn)制錦標(biāo)賽選擇操作,選擇具有更好適應(yīng)度的個(gè)體作為父代個(gè)體;通過(guò)執(zhí)行二進(jìn)制交叉并使用具有一定概率的多項(xiàng)式變異算子來(lái)形成子代種群Q。

(4)合并父代和子代種群并記為S=P∪Q,作為生成下一代的組合種群。

(5)再次基于非支配排序?qū)M合種群S進(jìn)行排序,并根據(jù)擁擠度距離選取染色體進(jìn)入新一代種群P;清空Q和S。

(6)重復(fù)步驟(2)至(5),直至滿足終止標(biāo)準(zhǔn)。

有關(guān)NSGA-II的詳細(xì)介紹見(jiàn)文獻(xiàn)[24]。

2 算例與討論

2.1 算例一:零膨脹與最大相對(duì)帶隙

零膨脹效應(yīng)對(duì)提高結(jié)構(gòu)和材料的熱幾何穩(wěn)定性有重要意義,在熱膨脹材料的研究中備受關(guān)注。令I(lǐng)nvar作為材料一而,Al為材料二,首先選擇零膨脹系數(shù)為第二個(gè)目標(biāo):

(6)

圖3 展示了NSGA-II生成的帕累托最優(yōu)解。結(jié)果顯示,隨著實(shí)際與目標(biāo)熱膨脹系數(shù)差值的增大,最大相對(duì)帶隙也將隨之增大,這說(shuō)明兩個(gè)目標(biāo)之間存在制約的關(guān)系。為了更加明顯的體現(xiàn)目標(biāo)之間的趨勢(shì),選擇A、B、C三個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步分析,其目標(biāo)值和幾何參數(shù)如表2所示,可以看出其主要的區(qū)別在于q和θ的改變,而t1和t2保持一致。圖4給出了三個(gè)結(jié)構(gòu)的帶隙圖和透射率。

圖3 算例一的帕累托最優(yōu)解與A結(jié)構(gòu)的構(gòu)型圖Fig.3 Pareto optimal solutions of Case 1 and the selected structure A

表2 算例一中A、B和C結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)及其CTE和RBGWTable 2 Geometric parameters of structures as well as CTE and RBGW in Case 1

(a) Structure A (b) Structure B (c) Structure C圖4 算例一中三個(gè)結(jié)構(gòu)(A,B,C)的帶隙圖和透射率(帶隙用灰色表示,并給出相應(yīng)的值)Fig.4 Three selected structures (A, B, C) in Case 1 and their band gap diagrams and transmittance curves(The band gap is shaded in grey and the corresponding values are given)

由圖4可以看出,從A到C的帶隙逐漸加大,且與文獻(xiàn)[20]相比,能夠在較低的頻率范圍保證較寬的帶隙。這表示優(yōu)化結(jié)果均具有良好的帶隙性能。隨著q和θ的增大,意味著可視為散射體的雙層部分質(zhì)量或密度增大,從而使得帶隙頻率下移。然而,過(guò)大的q和θ將使得熱膨脹系數(shù)從A到C逐漸背離設(shè)定的目標(biāo)值,甚至在B結(jié)構(gòu)之后的構(gòu)型不能再看做是零膨脹材料。

為了驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的有效性,圖4中還對(duì)選中的結(jié)構(gòu)沿ΓX和ΓM方向進(jìn)行了透射率的計(jì)算,透射率的頻響函數(shù)為[13]

(7)

式中 |Ut|和|Ui|分別為透射波和入射波的振幅。

結(jié)果顯示,透射率的結(jié)果與帶隙完全對(duì)應(yīng),證明了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

值得注意的是,根據(jù)式(1),負(fù)熱膨脹性能和零膨脹性能的材料搭配一致,因此負(fù)膨脹材料的設(shè)計(jì)可采用相同的方法,只需修改目標(biāo)二中的目標(biāo)CTE數(shù)值。

2.2 算例二:正膨脹與最大相對(duì)帶隙

根據(jù)式(1),正膨脹與零/負(fù)膨脹的結(jié)構(gòu)可由互換兩種材料獲得,即令A(yù)l作為材料一,而Invar為材料二。正膨脹雖然是比較常見(jiàn)的性能,但是JTCLM的設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)常見(jiàn)材料難以實(shí)現(xiàn)的大膨脹性能。例如,選取正的熱膨脹系數(shù)為3×10-5,則目標(biāo)二變?yōu)?/p>

(8)

圖5顯示了生成的帕累托解集和所選取的結(jié)構(gòu)A的構(gòu)型示意圖。優(yōu)化結(jié)果趨勢(shì)與零膨脹一致,依舊存在兩個(gè)目標(biāo)之間的制衡問(wèn)題。其中,選擇的A、B、C三個(gè)結(jié)構(gòu)的目標(biāo)值和幾何參數(shù)如表3所示,其帶隙圖如圖6所示。可以看到正膨脹的帶隙相對(duì)于零膨脹有一定的提升。這是由于材料在調(diào)換之后,密度較大的Invar成為散射體的構(gòu)成部分,這使得結(jié)構(gòu)更容易產(chǎn)生帶隙。同樣的,增大q和θ可進(jìn)一步提高材料的最大相對(duì)帶隙,但其對(duì)熱膨脹系數(shù)的制約需要根據(jù)真實(shí)工況對(duì)兩個(gè)目標(biāo)的要求進(jìn)行平衡。為了節(jié)省篇幅,這里沒(méi)有給出透射率的曲線。

圖5 算例二的帕累托最優(yōu)解及A結(jié)構(gòu)的構(gòu)型圖Fig.5 Pareto optimal solutions of Case 2 and the selected structure A

表3 算例二中結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)以及CTE和RBGWTable 3 Geometric parameters of structures as well as CTE and RBGW in Case 2

(a) Structure A (b) Structure B (c) Structure C圖6 算例二中三個(gè)結(jié)構(gòu)(A,B,C)的帶隙圖(帶隙用灰色表示,并給出相應(yīng)的值)Fig.6 Three selected structures (A, B, C) in Case 2 and their band gap diagrams(The band gap is shaded in grey, and the corresponding values are given)

2.3 算例三:考慮不同材料的負(fù)膨脹與最大相對(duì)帶隙

當(dāng)構(gòu)成JTCLM的組分材料不同時(shí),材料整體的熱膨脹和帶隙性能都會(huì)發(fā)生變化,因此選取不同的材料進(jìn)行優(yōu)化分析也具有重要的意義。例如,為提高材料的強(qiáng)度,可將材料一和材料二分別選取為Invar和Steel。目標(biāo)一仍然是最大相對(duì)帶隙,目標(biāo)二則選擇為-2×10-5,有

(9)

圖7顯示了生成的帕累托解集和所選取的結(jié)構(gòu)A的構(gòu)型示意圖。A、B、C三個(gè)結(jié)構(gòu)的目標(biāo)值和幾何參數(shù)見(jiàn)表4,其帶隙結(jié)果見(jiàn)圖8?？梢钥闯?優(yōu)化結(jié)果的趨勢(shì)與前兩個(gè)算例類似。此外,材料2由Al替換為Steel后,材料的剛度得到了增強(qiáng),但同時(shí)Steel的密度也遠(yuǎn)大于Al,即作為散射體的雙材料部分質(zhì)量也得到了增加,最終優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)帶隙頻率范圍較鋁有了一定的下降,位于0.4～0.8kHz附近。

圖7 算例三的帕累托最優(yōu)解與A結(jié)構(gòu)的構(gòu)型圖Fig.7 Pareto optimal solutions of Case 3 and the selected structure A

表4 算例三中結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)以及CTE和RBGWTable 4 Geometric parameters of structures as well as CTE and RBGW in Case 3

(a) Structure A (b) Structure B (c) Structure C圖8 算例三中三個(gè)結(jié)構(gòu)(A,B,C)的帶隙圖(帶隙用灰色表示,并給出相應(yīng)的值)Fig.8 Three selected structures (A, B, C) in Case 3 and their band gap diagrams(The band gap is shaded in grey, and the corresponding values are given)

3 結(jié)論

JTCLM在滿足特定熱膨脹系數(shù)的同時(shí),也具有聲子晶體的帶隙性能。本文以特定正/負(fù)/零熱膨脹系數(shù)和最大相對(duì)帶寬為目標(biāo)對(duì)其進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì),并分別給出了設(shè)計(jì)的帕累托最優(yōu)解集。本研究結(jié)論總結(jié)如下:

(1) 基于NSGA-II,對(duì)JTCLM進(jìn)行了多目標(biāo)的遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì),所生成的帕累托解集可在不同的期望目標(biāo)之間實(shí)現(xiàn)平衡。結(jié)果表明,正膨脹構(gòu)型有可能產(chǎn)生更優(yōu)的帶隙特性,例如,其最大相對(duì)帶隙可達(dá)0.623,遠(yuǎn)大于其他情況。

(2) 鑒于零膨脹效應(yīng)在提高結(jié)構(gòu)和材料熱幾何穩(wěn)定性方面的特殊性,其帶隙特性的研究極具意義。優(yōu)化結(jié)果顯示零膨脹構(gòu)型能夠在保持較小膨脹系數(shù)的同時(shí),也具有較好的帶隙性能。

(3)不同材料的替換也會(huì)對(duì)JTCLM的熱/力性能產(chǎn)生影響,而且更多的材料選擇有望增加新的優(yōu)化目標(biāo),以實(shí)現(xiàn)更加符合實(shí)際的應(yīng)用。