傅 超 ，王福斌 ，鄭龍席 ，路 寬 ，鄭召利

（西北工業(yè)大學智能飛行器結(jié)構(gòu)強度與設(shè)計研究所1，動力與能源學院2：西安 710072；3.武漢第二船舶設(shè)計研究所熱能動力技術(shù)重點實驗室，武漢 430205）

0 引言

近年來，脈沖爆震燃燒設(shè)計的渦輪發(fā)動機（Pulse Detonation Turbine Engine，PDTE）因其循環(huán)熱效率高、具有自增壓的特點而受到了國內(nèi)外航空工業(yè)相關(guān)研究人員的廣泛關(guān)注[1-2]。相比早期的脈沖爆震發(fā)動機（Pulse Detonation Engine，PDE）將高溫高壓燃氣直接排向大氣[3]，PDTE 則可通過渦輪傳輸部分能量，提高能量利用率的同時實現(xiàn)了發(fā)動機的靜止起動。因此，PDTE 在民用、軍用飛行器及超聲速導彈上均有廣闊的應用前景，對現(xiàn)代化經(jīng)濟和國防建設(shè)具有重要意義[4-5]。

從國內(nèi)外研究現(xiàn)狀來看，目前PDTE 的研究主要集中在點火和起爆方法[6-7]、燃燒室設(shè)計與傳熱分析[8-9]以及總體性能[10-11]方面。Hutchins 等[12]針對脈沖爆震發(fā)動機工作時的燃燒規(guī)律和能量傳播特性進行了研究，討論了不同壓力下發(fā)動機工作的效率；Reddy[13]提出了一種新的燃氣渦輪發(fā)動機中波轉(zhuǎn)子和爆震發(fā)動機的集成方法，通過比較工作和熱效率發(fā)現(xiàn)此方法有利于提高發(fā)動機的整體性能；Alsi 等[14]提出了用于脈沖爆震燃燒非定常激勵的1 維歐拉氣體動力學分析方法，并基于3 維有限元分析結(jié)果對比驗證了所提方法的正確性。PDTE總體設(shè)計包括根據(jù)循環(huán)參數(shù)進行壓氣機、渦輪及燃燒室等設(shè)計，然后基于壓氣機和渦輪的尺寸和級數(shù)進行轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計又包含支承方案設(shè)計、支點布局及系統(tǒng)各部位的幾何參數(shù)確定，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)必須滿足總體設(shè)計在結(jié)構(gòu)布局和尺寸上的要求，還要支撐發(fā)動機總體性能的實現(xiàn)。因此，除了在基本的結(jié)構(gòu)尺寸方面必須服從總體設(shè)計以外，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在脈沖爆震氣動載荷和不平衡量作用下的動力學特性也必須進行研究。張越等[15]還分析了機動飛行下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性。與傳統(tǒng)航空發(fā)動機不同，在PDTE 工作時作用在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上的氣動載荷具有顯著的非定常性和周期性。在對PDTE 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模分析的過程中，必須考慮彎曲、扭轉(zhuǎn)和軸向3 方面的振動，增加了轉(zhuǎn)子動力學特性的分析難度；李勝遠等[16]闡述了基于有限元法分析轉(zhuǎn)子3 個方向振動的步驟并針對某模型轉(zhuǎn)子進行了數(shù)值計算。在設(shè)計轉(zhuǎn)子時，一般希望在包含工作轉(zhuǎn)速在內(nèi)的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子的振動幅值不超過某一限定值或使其最小化；傅超等[17]從轉(zhuǎn)子系統(tǒng)加速啟動振動響應中識別不平衡量大小，以便進行平衡而降低振幅。同時，為避免共振，要求臨界轉(zhuǎn)速距離工作轉(zhuǎn)速存在20%以上的安全裕度。這些要求給轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計提出了很大的挑戰(zhàn)，而優(yōu)化算法在解決此類問題時具有較高的可行性。

本文根據(jù)總體設(shè)計要求構(gòu)建了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的初步結(jié)構(gòu)，建立了其彎曲、扭轉(zhuǎn)和軸向耦合有限元分析模型，考慮脈沖爆震氣動載荷開展了動力學特性分析，并采用多目標優(yōu)化算法基于臨界轉(zhuǎn)速裕度和振幅對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行了設(shè)計優(yōu)化。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計及動力學特性分析

1.1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)初步設(shè)計

根據(jù)某PDTE 總體設(shè)計方案，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計為單轉(zhuǎn)子構(gòu)型，包含2 級風扇、4 級壓氣機和3 級渦輪，如圖1 所示。發(fā)動機的設(shè)計轉(zhuǎn)速為30360 r/min，慢車轉(zhuǎn)速為7107 r/min。風扇、壓氣機及渦輪的進、出口總參數(shù)（溫度、壓力）、各級葉盤的質(zhì)量和幾何尺寸均由總體設(shè)計給出。該轉(zhuǎn)子為細長結(jié)構(gòu)，根據(jù)國內(nèi)外先進航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支承方案設(shè)計經(jīng)驗及基于本文轉(zhuǎn)子模型的前期仿真研究，為避免過大支反力及便于調(diào)節(jié)臨界轉(zhuǎn)速與工作轉(zhuǎn)速之間的裕度考慮，采用1-1-1支承方案。在轉(zhuǎn)子兩端采用棍棒軸承支承，僅承受徑向載荷；中間采用止推軸承支承，既承受徑向載荷又承受軸向載荷。該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整體上屬于薄壁盤鼓-軸承空心結(jié)構(gòu)形式，以減輕整機質(zhì)量。

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

上述轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)可通過有限單元法進行離散和建模，然后基于數(shù)值方法進行求解其模態(tài)和動力學響應特性，以便后續(xù)調(diào)整和優(yōu)化。

1.2 轉(zhuǎn)子動力學特性有限元分析

基于有限元法將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)離散為Timoshenko 梁單元、剛性盤單元及軸承單元，其中梁單元包含了剪切效應。與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)常規(guī)有限元分析不同的是，為了考慮非定常、周期性氣動載荷的影響，本文中每個節(jié)點包含了6個自由度，即節(jié)點的完全自由度向量Ue為

式中：x、y、z為節(jié)點在3 個坐標軸方向上的平動位移；θxθy,θz為節(jié)點在各平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動位移。

每個單元包含2個節(jié)點，共12個自由度。單元內(nèi)任意位置的位移可通過連續(xù)軸段的形函數(shù)插值求得。對于各種類型的單元，其運動方程和單元矩陣的推導過程見文獻[18]。氣動載荷對單元矩陣有一定影響，不能忽略。例如在發(fā)動機工作時產(chǎn)生的扭矩和軸向力會給梁單元施加附加剛度項ka和km[16]

式中：fa和fm為作用在單元上的軸向力和軸向扭矩；L為軸單元長度；Ny和Nz為形函數(shù)。

完成每個單元的建模后，基于Lagrange 方程推導出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程

式中：M、C、K和G分別為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣及陀螺矩陣；Ω為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速；Fg為重力；Fu和Fp分別為不平衡激勵和氣動載荷激勵；φ為不平衡激勵力加在對應的節(jié)點上，其大小為

式中：m為質(zhì)量不平衡量；e為偏心距；φ為不平衡激勵的初始相位。

在不考慮壓力反傳的條件下，壓氣機受到的軸向力近似為常數(shù)，方向向前。渦輪轉(zhuǎn)子在脈沖爆震燃燒室（pulse detonation combustion，PDC）不燃燒時，同樣受到固定幅值的軸向力作用，方向向后。當PDC發(fā)生燃燒反應而產(chǎn)生脈沖沖擊時，給渦輪轉(zhuǎn)子1 個向后的高幅值軸向力沖擊。因此，在連續(xù)的工作循環(huán)下，渦輪轉(zhuǎn)子受到周期性的脈沖沖擊軸向力作用。壓氣機轉(zhuǎn)子和渦輪轉(zhuǎn)子所受的扭矩具有幅值相等而方向相反的特點，因而無論PDC 是否產(chǎn)生脈沖沖擊，二者所受的扭矩均為時變周期性的。設(shè)PDC 工作頻率為fpdc，當PDC 不燃燒時，壓氣機轉(zhuǎn)子上所受向后的軸向力為A1，軸向轉(zhuǎn)矩大小為M1，渦輪上所受向前的軸向力為A2，軸向轉(zhuǎn)矩大小為M1；當PDC 發(fā)生燃燒時，壓氣機轉(zhuǎn)子上的軸向力不變，渦輪轉(zhuǎn)子上所受軸向力變?yōu)锳3，壓氣機轉(zhuǎn)子和渦輪轉(zhuǎn)子上所受轉(zhuǎn)矩大小為M2。根據(jù)以上分析，PDTE 轉(zhuǎn)子上所受到的沖擊力載荷在時域描述為

式中：t為時間；Hpdc= 1/fpdc，為PDC 的燃燒工作周期；Fcomp為壓氣機轉(zhuǎn)子所受軸向力；Mcomp為壓氣機所受軸向扭矩；Fturb為渦輪轉(zhuǎn)子所受軸向力；Mturb為渦輪轉(zhuǎn)子所受軸向扭矩。

其中力矩的正負可通過規(guī)定的正方向和右手定則確定。建立了非定常周期性氣動載荷的力學模型后，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程可采用數(shù)值積分法求解[19]，如Newmark-β法和Runge-Kutta法。

2 基于NSGA-II的轉(zhuǎn)子優(yōu)化設(shè)計

航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作環(huán)境惡劣、分支結(jié)構(gòu)眾多，特別是PDTE 中存在的脈動式氣動載荷給轉(zhuǎn)子的設(shè)計帶來了新的挑戰(zhàn)。對于滿足總體設(shè)計基本要求后的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，還應根據(jù)臨界轉(zhuǎn)速裕度要求對支承位置、支承剛度及幾何參數(shù)等進行優(yōu)化，使得轉(zhuǎn)子在目標范圍內(nèi)臨界轉(zhuǎn)速處的振幅最小化，達到控制振動的目的[20]。這一優(yōu)化過程涉及優(yōu)化目標設(shè)置、優(yōu)化變量選取及約束條件構(gòu)建等。本文轉(zhuǎn)子的多目標優(yōu)化設(shè)計問題可表述為

式中：di（g，h）為臨界轉(zhuǎn)速處的振幅；aj≤gj≤bj為不等式約束條件≤hk≤為各設(shè)計參數(shù)，上劃線和下劃線分別表示其上下限；Ωj為發(fā)動機怠速和工作轉(zhuǎn)速；ωi為與Ωj相近的臨界轉(zhuǎn)速，二者的差異作為臨界轉(zhuǎn)速裕度約束。

第2 代非支配遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II，NSGA-II）的基本思路是通過對種群中的個體進行非支配排序并分級，測算各個體的擁擠距離，最終獲得滿足終止條件的近似解。在本文的優(yōu)化計算中，以兩端軸承的支承剛度、止推軸承的支點位置及轉(zhuǎn)子壁厚作為設(shè)計變量，根據(jù)抗拉和抗扭強度校核壁厚不應低于6 mm，以參數(shù)取值范圍和臨界轉(zhuǎn)速裕度為約束條件，以共振幅值最小化作為優(yōu)化目標。

3 結(jié)果與討論

在仿真計算中，圖1 中轉(zhuǎn)子的軸段長度L1～L10分別為0.02、0.02、0.08、0.045、0.065、0.04、0.20、0.72、0.04、0.08、0.030、0.03 m。轉(zhuǎn)子材料的彈性模量E=2.1×1011N/m2，密度ρ=7850 kg/m3，泊松比σ=0.3。在優(yōu)化前后，轉(zhuǎn)子上的激振力均由相同大小的不平衡量產(chǎn)生，其值為1×10-5kg/m。止推軸承位于距離轉(zhuǎn)子左端0.38 m 處。軸承1、3 的徑向剛度、軸承3 的徑向和軸向剛度以及轉(zhuǎn)子壁厚b等優(yōu)化設(shè)計參數(shù)的初始值見表1。

表1 轉(zhuǎn)子物理參數(shù)

在脈沖爆震燃燒過程中產(chǎn)生的軸向力會引起轉(zhuǎn)軸內(nèi)部拉伸正應力，軸向扭矩產(chǎn)生切應力，氣動扭矩附加的切應力效應遠比氣動軸向力產(chǎn)生的正應力效應大。根據(jù)總體設(shè)計中壓氣機和渦輪的幾何尺寸和進、出口壓力可估計作用的軸向力和扭矩大小。忽略發(fā)動機工作時短暫的填充和排氣過程，設(shè)燃燒室燃燒頻率為20 Hz，根據(jù)式（6）～（9）給出渦輪所受軸向力和扭矩隨時間變化規(guī)律，如圖2 所示。壓氣機所受的扭矩與渦輪端大小相同方向相反，所受軸向力則為方向相反的恒定力。

圖2 渦輪所受軸向力和扭矩隨時間變化規(guī)律

根據(jù)上述條件計算出轉(zhuǎn)子的Campbell 圖和頻率響應特性，如圖3、4 所示。從圖中可見，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速在0～15000 r/min 內(nèi)有多階臨界轉(zhuǎn)速（正向同步渦動）且在靠近30000 r/min處存在第1階臨界轉(zhuǎn)速。顯然，轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速與發(fā)動機額定工作轉(zhuǎn)速及慢車轉(zhuǎn)速之間的安全裕度（避開率）不夠。因此，需要進一步對其支承位置和剛度以及壁厚等參數(shù)進行優(yōu)化。

圖3 轉(zhuǎn)子Campbell圖

圖4 轉(zhuǎn)子幅頻響應特性

基于優(yōu)化策略，優(yōu)化迭代完成后所得相關(guān)設(shè)計參數(shù)的值見表2。此外，優(yōu)化后止推軸承的位置為距轉(zhuǎn)子左端0.46 m。從表中可見，轉(zhuǎn)子的壁厚經(jīng)過優(yōu)化減小至8 mm，這對降低轉(zhuǎn)子的整體質(zhì)量有益。采用優(yōu)化后的轉(zhuǎn)子參數(shù)進行動力學特性計算，得到改進轉(zhuǎn)子的Campbell圖和幅頻響應曲線，如圖5、6所示。

表2 優(yōu)化后的設(shè)計變量

圖5 優(yōu)化后轉(zhuǎn)子的Campbell圖

圖6 優(yōu)化后轉(zhuǎn)子的幅頻響應特性

從圖中可見，優(yōu)化后轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速分布比較均勻，前4 階分別為5561、8644、15672 和36446 r/min。與慢車轉(zhuǎn)速相鄰的第2 階臨界轉(zhuǎn)速的安全裕度分別為21.7%和21.6%，靠近工作轉(zhuǎn)速的第4 階臨界轉(zhuǎn)速的安全裕度為20.1%且數(shù)值上絕對轉(zhuǎn)速差超過6000 r/min。在前4 階臨界轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子的振幅均為10 μm 量級。由此可見，優(yōu)化后的轉(zhuǎn)子具有足夠的安全裕度且各階臨界轉(zhuǎn)速下其振動幅值已優(yōu)化至最小化，在符合總體設(shè)計要求的同時控制了轉(zhuǎn)子的振動幅值，確保了發(fā)動機的運行安全性。在優(yōu)化設(shè)計過程中，根據(jù)設(shè)計需要和具備的計算資源可設(shè)置更多優(yōu)化目標和選擇更多的設(shè)計參數(shù)，確保設(shè)計方案滿足各方面要求。

4 結(jié)論

（1）脈沖爆震渦輪發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計應考慮非定常周期性氣動載荷的影響，在有限元建模過程中須建立包含彎曲、扭轉(zhuǎn)和軸向3 方面振動的完整動力學模型。

（2）基于總體方案設(shè)計的發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)還應根據(jù)臨界轉(zhuǎn)速安全裕度和振動控制要求，從轉(zhuǎn)子動力學的角度進行優(yōu)化。

（3）止推軸承的支承位置和剛度對細長轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的動力學特性具有重要影響，空心軸盤鼓結(jié)構(gòu)的壁厚設(shè)計須同時兼顧結(jié)構(gòu)強度和轉(zhuǎn)子整體質(zhì)量等多方面因素。