郭如意,梅靜芳

(1.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 淮北 235000;2.安徽醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)院,安徽 合肥 230000)

1 問題的提出

設(shè)Rn為n維歐氏空間.如果Rn中的有界閉凸集有非空內(nèi)部,那么稱其為n維凸體.特別地,歐氏平面R2中的凸體稱為凸域[1].在凸幾何中有許多有趣的不等式,如經(jīng)典的等周不等式、Chernoff不等式、Chernoff-Ou-Pan不等式,以及下面的Ros不等式[2]：

設(shè)P是歐氏平面R2上簡(jiǎn)單閉曲線Γ圍成的區(qū)域,記A是P的面積,s是Γ的弧長,如果Γ的曲率κ處處不為0,那么

(1)

(2)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)P是圓盤,其中

稱其為k(不小于2的正整數(shù))階寬度函數(shù),這里h(P,θ)為P的支撐函數(shù).后來,不等式(2)被稱為Chernoff-Ou-Pan不等式.

受文獻(xiàn)[5]的啟發(fā),筆者將對(duì)Ros不等式(1)進(jìn)行類似的推廣.設(shè)Γ是有界閉凸曲線,記r(θ)為Γ的曲率半徑,Δ為Γ圍成的凸域的等周虧格,A,Aw,Ae分別為P的面積、Γ的Wigner焦散線的面積和曲線Γ的漸屈線所圍成的區(qū)域的代數(shù)面積.筆者將證明如下2個(gè)不等式：

(3)

(4)

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)P是平面凸域,其邊界曲線為Γ,則Γ是平面閉凸曲線.取坐標(biāo)原點(diǎn)在P的內(nèi)部,設(shè)u是一個(gè)平面單位向量,記l(u)是P在u方向上的支撐直線,從原點(diǎn)O到直線l(u)的有向距離記為h(θ),稱其為在方向u上的Minkowski支撐函數(shù)[1-6].因平面上的單位向量u可以由x的正半軸到u方向的有向角θ決定,即u(θ)=(cosθ,sinθ),故可以用h(θ)來代替h(u).容易看到,h(θ)是以2π為周期的連續(xù)函數(shù),于是Γ的參數(shù)方程可用支撐函數(shù)表示為[6]

設(shè)Γ是C2凸曲線,記κ(θ)為Γ的曲率,r(θ)為Γ的曲率半徑,則

設(shè)L為凸域P的周長,A為凸域P的面積,于是可以用支撐函數(shù)表示凸域的周長和面積[7-9]：

(5)

(6)

由于凸域P的支撐函數(shù)h(θ)是以2π為周期的連續(xù)有界函數(shù),因此h(θ)可以用Fourier級(jí)數(shù)表示為[7-9]

(7)

(8)

(9)

(10)

利用Parseval恒等式,可得

(11)

(12)

(13)

結(jié)合(5)～(9),(11),(13)式,用支撐函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)表示Γ的周長與所圍區(qū)域的面積：

L=πa0,

(14)

(15)

一般地,稱Δ=L2-4πA為P的等周虧格[8],于是結(jié)合(14)和(15)式,凸域P的等周虧格可以用支撐函數(shù)的Fourier系數(shù)表示為

(16)

(17)

將(8),(10),(12),(13)式代入(17)式,可得

和

(18)

進(jìn)一步可得

(19)

3 主要結(jié)果及其證明

定理1設(shè)P為歐氏平面R2中由嚴(yán)格光滑閉凸曲線Γ圍成的凸域,記A為P的面積,Δ為P的等周虧格,Ae和Aw分別為Γ的漸屈線和Wigner焦散線所圍成區(qū)域的代數(shù)面積和面積,則

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)P的支撐函數(shù)具有如下形式：

再結(jié)合(7),(8)式及Fourier系數(shù),得到

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a4n=b4n=0,n=1,2,….而

(20)

結(jié)合(16),(18)和(19)式,得到

從(20)式可以推導(dǎo)出,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a2n+1=b2n+1=0,n=2,….

證畢.

在定理1證明過程的第1步中,注意到cosnα≥-1,于是

從而

由此,得到更一般的情形：

定理2設(shè)P是歐氏平面R2上的嚴(yán)格光滑閉凸曲線Γ所圍成的凸域,記A為P的面積,Ae和Aw分別為Γ的漸屈線和Wigner焦散線所圍成區(qū)域的代數(shù)面積和面積,則

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)P的支撐函數(shù)具有如下形式：

證明由定理1的證明過程可知,

(21)

(22)

且(22)式第1個(gè)不等號(hào)中的等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a4n-2=b4n-2=0,n=1,2,….再從(22)式第2個(gè)不等號(hào)可以推導(dǎo)出等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a2n+1=b2n+1=0,n=2,….

證畢.

對(duì)于?α∈[0,2π],由cosnα≤1,結(jié)合定理2的證明過程,可得

由此,得到更一般的情形：