摘?要：“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”是一門低學(xué)時的高等數(shù)學(xué)課程，該課程的習(xí)題應(yīng)當認真遴選。文章針對一道不定積分習(xí)題的教學(xué)展開了研究，記述了作者關(guān)于該題的有關(guān)教學(xué)思考。文章首先通過綜合應(yīng)用根式換元積分、湊微分、一階微分形式不變性、分部積分和三角換元積分等方法，給出了此題的五種解法。然后對于所獲得的兩個在形式上不盡相同的計算結(jié)果，指出其為原函數(shù)的不唯一性的體現(xiàn)，并進行了具體的驗證。在驗證過程中，還通過構(gòu)造輔助三角形的方式，揭示了上述兩個計算結(jié)果內(nèi)在的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)；不定積分；教學(xué)思考；原函數(shù)；輔助三角形

中圖分類號：G642.0??文獻標識碼：A

1?概述

在醫(yī)科類高等院校的課程設(shè)置中，“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”通常是基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)、臨床醫(yī)學(xué)、預(yù)防醫(yī)學(xué)、口腔醫(yī)學(xué)、麻醉學(xué)、醫(yī)學(xué)檢驗技術(shù)、醫(yī)學(xué)影像技術(shù)、藥學(xué)和中藥學(xué)等醫(yī)藥類相關(guān)專業(yè)必修的一門自然科學(xué)類基礎(chǔ)課。上述專業(yè)的培養(yǎng)計劃對于這門課程教學(xué)時數(shù)的配置一般都相對較少，任課教師需要在并不十分寬裕的學(xué)時內(nèi)完成規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容，并且還要達到預(yù)期的教學(xué)目標。這就要求教師在授課之前應(yīng)當對教學(xué)過程做出較為精準的規(guī)劃，而本課程的習(xí)題（包括課堂練習(xí)題和課后作業(yè)題）的安排就是其中一個需要精心考慮的重要環(huán)節(jié)。

一方面，為了使醫(yī)藥類專業(yè)的學(xué)生能夠理解并掌握“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”這門課程的基本思想、基本結(jié)論和基本方法，同時也為了使這些非理工類專業(yè)的學(xué)生能夠順利通過本課程的考核，對其進行一定量的習(xí)題訓(xùn)練顯然是不可或缺的；但另一方面，醫(yī)藥類專業(yè)學(xué)生每學(xué)期需要完成的課業(yè)量普遍較大，為了不對他們學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)藥學(xué)專業(yè)課程的時間造成擠兌，本課程又不宜布置過多的習(xí)題，題海戰(zhàn)術(shù)更不可取，并且受培養(yǎng)計劃對本課程規(guī)定教學(xué)時數(shù)的限制，教師在課堂上也不太可能用過多的時間進行習(xí)題講評。因此，對于“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”這門低學(xué)時的高等數(shù)學(xué)課程，教師在安排習(xí)題的過程中更是應(yīng)當做到精挑細選。

筆者在“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”這門課程的教學(xué)實踐中，常會結(jié)合教學(xué)內(nèi)容對教材里的有關(guān)習(xí)題進行鉆研，然后從中遴選出部分題目作為課堂練習(xí)或課后作業(yè)并進行精心講解。本文所要介紹的不定積分問題，便是一道從筆者授課所使用的教材［1］第3章中挑選出的習(xí)題。這道習(xí)題，不僅能使用多種方法求解，而且教師在講解此題的過程中還可以引導(dǎo)學(xué)生對之前已經(jīng)學(xué)過的相關(guān)知識點進行關(guān)聯(lián)和復(fù)習(xí)，尤其是對原函數(shù)不唯一這個知識點的鞏固頗有裨益。

2?問題及其解法

問題?求不定積分∫1-2x1+2xdx

解法1?先進行根式換元t=1-2x1+2x，則t2=1-2x1+2x，據(jù)此可得x=1-t22（1+t2），進一步在該式等號兩端同時求微分，得到dx=-2t（1+t2）2dt，然后進行湊微分，即有

∫1-2x1+2xdx=∫t-2t（1+t2）2dt=-∫td（1+t2）（1+t2）2（1）

對于（1）式最右端不定積分中的被積表達式，根據(jù)一階微分形式不變性應(yīng)成立d11+t2=-d（1+t2）（1+t2）2，從而有

∫1-2x1+2xdx=-∫td（1+t2）（1+t2）2=∫td11+t2

=t1+t2-∫11+t2dt?（此步應(yīng)用了分部積分法）

=t1+t2-arctant+C，

最后將t=1-2x1+2x回代入上式，經(jīng)整理便可得到

∫1-2x1+2xdx=1-4x22-arctan1-2x1+2x+C。

解法2?仍作換元t=1-2x1+2x，之后另行如下推導(dǎo)，

∫1-2x1+2xdx=∫-2t2（1+t2）2dt=-2∫1+t2-1（1+t2）2dt

=-2∫11+t2dt-∫1（1+t2）2dt

=-2arctant+2∫1（1+t2）2dt（2）

為求解（2）式中的不定積分∫1（1+t2）2dt，再次進行換元，設(shè)t=tanθ，于是dt=sec2θdθ，1+t2=sec2θ，故

∫1（1+t2）2dt=∫sec2θsec4θdθ=∫1sec2θdθ

=∫cos2θdθ=∫1+cos2θ2dθ

=12θ+14sin2θ+C0（3）

由三角恒等式可知成立sin2θ=2tanθ1+tan2θ=2t1+t2，于是從（3）式可以進一步得到

∫1（1+t2）2dt=12arctant+t2（1+t2）+C0（4）

再將（4）式代入（2）式，經(jīng)整理后可以得到

∫1-2x1+2xdx=-arctant+t1+t2+C（5）

其中C=2C0。最后將t=1-2x1+2x代回（5）式便有

∫1-2x1+2xdx=1-4x22-arctan1-2x1+2x+C。

解法3?先將被積函數(shù)的分母進行根式有理化，得到

∫1-2x1+2xdx=∫1-4x21+2xdx（6）

注意到（6）式右端不定積分中被積函數(shù)的分子1-4x2，是一個關(guān)于x的平方差函數(shù)的平方根，故可作三角換元。

設(shè)x=12sinu，從而dx=12cosudu，然后結(jié)合（6）式有

∫1-2x1+2xdx=∫1-4x21+2xdx=12∫1-sin2u1+sinucosudu

=12∫cos2u1+sinudu=12∫1-sin2u1+sinudu

=12∫（1-sinu）du=12u+12cosu+C

=12arcsin（2x）+1-4x22+C。

解法4?采用類似于解法3的思路，只不過這里先將被積函數(shù)的分子進行根式有理化，然后進行三角換元，于是

∫1-2x1+2xdx=∫1-2x1-4x2dx

=12∫1-sinu1-sin2ucosudu?三角換元x=12sinu

=12∫（1-sinu）du=12u+12cosu+C

=12arcsin（2x）+1-4x22+C。

解法5?先將被積函數(shù)的分子進行根式有理化，之后通過湊微分，并應(yīng)用一階微分形式不變性亦可計算出結(jié)果，具體推導(dǎo)過程如下。

∫1-2x1+2xdx=∫1-2x1-4x2dx

=∫11-4x2dx-∫2x1-4x2dx

=12∫d（2x）1-（2x）2+12∫d（1-4x2）21-4x2

=12∫d［arcsin（2x）］+12∫d（1-4x2）

=12arcsin（2x）+1-4x22+C。

3?教學(xué)注記

在這道不定積分習(xí)題的教學(xué)中，教師可以啟發(fā)或是引導(dǎo)學(xué)生采用上述各種方法進行求解，然而學(xué)生很快會發(fā)現(xiàn)，使用不同的解法居然會得到在形式上不盡相同的計算結(jié)果。使用解法1和解法2得到的是一個結(jié)果，但若使用解法3～解法5的方法卻會得出另一個結(jié)果。對于這個情況，學(xué)生普遍會感到十分困惑。此時，就需要教師向其釋疑解惑了，教師應(yīng)當告訴學(xué)生，這個情況的發(fā)生并不是因為在推導(dǎo)過程中出現(xiàn)了計算錯誤，而是因為如果一個函數(shù)存在原函數(shù)，那么它的原函數(shù)是不唯一的。事實上，按照本課程以及教材對不定積分這一章知識點的編排次序，原函數(shù)不唯一這個結(jié)論在此之前的教學(xué)內(nèi)容中就已經(jīng)向?qū)W生進行了介紹，但學(xué)生往往會忽視或是淡忘這個結(jié)論，而現(xiàn)在借助于這道不定積分習(xí)題，教師正好獲得了一個幫助學(xué)生強化對該結(jié)論認識的好機會。

教師應(yīng)當向?qū)W生指出，使用上文中的不同方法求解這道不定積分所獲得的兩個在形式上不同的計算結(jié)果，說明

F（x）=1-4x22-arctan1-2x1+2x，

G（x）=12arcsin（2x）+1-4x22

這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)是相同的。據(jù)此又可以進一步地推知f（x）=-arctan1-2x1+2x與g（x）=12arcsin（2x）這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也應(yīng)相同。教師授課時可要求學(xué)生具體計算一下f（x）與g（x）的導(dǎo)數(shù)，以驗證上述論斷的正確性。

事實上，函數(shù)f（x）可視為是由函數(shù)y=-arctanu，u=v，與v=1-2x1+2x復(fù)合而成的，于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則，應(yīng)有

f′（x）=dydu·dudv·dvdx=-11+u2·12v·-4（1+2x）2=11-4x2。

另一方面，同樣由鏈式法則，可求得函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=12·21-（2x）2=11-4x2。由此可見，f（x）與g（x）這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確實是相同的，進而可知使用前述不同方法求解這道不定積分所獲得的兩個計算結(jié)果，它們雖在形式上不盡相同，但都是正確的。

完成上述求導(dǎo)驗證的環(huán)節(jié)之后，教師在教學(xué)中還可再進行一點延伸：既然f（x）與g（x）的導(dǎo)數(shù)相同，那么根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)里的拉格朗日中值定理，f（x）與g（x）之間應(yīng)當只相差一個常數(shù)，也即應(yīng)當存在常數(shù)K，使得12arcsin（2x）=-arctan1-2x1+2x+K，以特殊值x=0代入該式，可求得常數(shù)K等于π4。從而

12arcsin（2x）=-arctan1-2x1+2x+π4（7）

如此一來，教師在講解這道不定積分的同時，還能引導(dǎo)學(xué)生對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則，以及拉格朗日中值定理等已經(jīng)講授過的知識點進行關(guān)聯(lián)和復(fù)習(xí)，可謂一舉多得。

值得一提的是，筆者在課堂教學(xué)中注意到，有部分學(xué)生會對（7）式心存疑慮，他們認為該式盡管可以從數(shù)學(xué)理論上推導(dǎo)得出，但是其所呈現(xiàn)的角度關(guān)系從直觀上來看卻并不那么顯然，因而對其仍然會感到有些半信半疑。為幫助學(xué)生打消這個疑慮，筆者數(shù)形結(jié)合，想出了如下方法。

易見，欲說明（7）式所給的角度關(guān)系是成立的，等價地只需說明成立

arcsin（2x）=π2-2arctan1-2x1+2x（8）

為此，首先構(gòu)造輔助三角形ABC（事實上，構(gòu)造輔助三角形，是在涉及三角換元的不定積分問題的求解中經(jīng)常采用的一種方法），其中∠ACB=π2，AB=1，CB=2x。然后延長CB于D，使得BD=AB=1。最后連接AD。

由上述作法可知，△ABC和△ADC都是直角三角形，△BAD是一個等腰三角形，故可設(shè)α=∠BAD=∠BDA。另設(shè)β=∠BAC，φ=∠ABC。在Rt△ADC中，注意到

tanα=ACCD=ACCB+BD=1-4x21+2x=1-2x1+2x，故α=arctan1-2x1+2x。而在Rt△ABC中，又顯然成立β=arcsin（2x）。另由平面幾何知識可知φ=2α，故從Rt△ABC中可得β=π2-φ=π2-2α，也即確有arcsin（2x）=π2-2arctan1-2x1+2x。

這樣，教師就可為（7）式給出一個直觀的幾何解釋，學(xué)生也因此而能心悅誠服地接受這個角度關(guān)系了。筆者發(fā)現(xiàn)，通過教師對此道習(xí)題多方位的講解，尤其是在有了上述構(gòu)造輔助三角形的經(jīng)歷之后，學(xué)生對拉格朗日中值定理以及原函數(shù)不唯一這兩個知識點的認識都普遍加深了。

結(jié)語

這道不定積分習(xí)題的五種解法，涉及了根式換元積分、湊微分、一階微分形式不變性、分部積分和三角換元積分等知識點，幾乎涵蓋了不定積分問題常用的各種解題技巧，通過這一道題，就能夠?qū)W(xué)生進行較為全面的訓(xùn)練。不僅如此，教師在講解此題的過程中，還可通過教學(xué)內(nèi)容的延伸，引導(dǎo)學(xué)生加深對與之相關(guān)的知識點的理解和認識，從而在一定程度上就能達到事半功倍的效果。

這種教學(xué)方式，對于任課教師在培養(yǎng)計劃規(guī)定的學(xué)時內(nèi)高質(zhì)量完成本課程的既定教學(xué)內(nèi)容，對于醫(yī)藥類專業(yè)學(xué)生在相對較少的學(xué)時內(nèi)掌握本課程的基本結(jié)論和方法，同時也對于避免學(xué)生機械性地刷題和重復(fù)性地練習(xí)，具有十分積極的意義。因此，教師對于“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”這門課程的習(xí)題安排，必須要給予足夠的重視，在教學(xué)準備中，應(yīng)當對教材里的習(xí)題認真進行鉆研，嘗試多角度發(fā)掘習(xí)題的教法，并精心設(shè)計習(xí)題的講解過程，這樣才能有助于自身在這門低學(xué)時高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中達到較好的教學(xué)效果。

參考文獻：

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作者簡介：吳海（1986—?），男，漢族，碩士，助教，研究方向：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)與研究。