段元鋒 黃嘉思 鄧南 王素梅 應(yīng)祖光 何聞

摘要 拉索的參數(shù)振動主要是由連接拉索端部的結(jié)構(gòu)振動引起的，當(dāng)端部振動頻率與拉索的自振頻率滿足一定倍數(shù)關(guān)系時，拉索端部激勵容易激發(fā)較大拉索參數(shù)振動。由于參數(shù)振動存在復(fù)雜的非線性振動特征，傳統(tǒng)的解析方法難以應(yīng)用于實際工程。本文發(fā)展了模擬拉索參數(shù)振動的向量式有限元方法，對斜拉索在動邊界條件下的振動進行分析，對比控制方程的數(shù)值解以驗證結(jié)果的準確性。并基于向量式有限元模型對端部支座軸向運動激勵下產(chǎn)生的主共振區(qū)和主參數(shù)共振區(qū)特性進行討論，分別研究了拉索傾角、阻尼比以及風(fēng)荷載協(xié)同作用對參數(shù)振動的影響。研究結(jié)果表明向量式有限元可以有效模擬復(fù)雜工況下的拉索參數(shù)振動，有利于實際工程應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 斜拉索; 參數(shù)振動; 振動模擬; 向量式有限元; 數(shù)值解

引 言

隨著大跨度斜拉橋的發(fā)展，拉索的長度不斷增加。拉索作為斜拉橋的主要受力構(gòu)件，由于其具有柔度大、質(zhì)量輕、阻尼小等特點，在工程中極易受到風(fēng)、雨等荷載或者端部支座運動等激勵而引發(fā)大幅振動，對橋梁的安全性能和日常運營構(gòu)成很大威脅。在實際工程中，當(dāng)橋梁結(jié)構(gòu)的自振頻率與拉索的自振頻率滿足一定倍數(shù)關(guān)系時，任意微小的擾動將會激發(fā)較大振幅的拉索參數(shù)振動，其往往表現(xiàn)為劇烈拍振，容易引發(fā)拉索疲勞、斷裂等問題。

國內(nèi)外對拉索參數(shù)振動的主要研究手段分為理論分析和試驗驗證。Tagata［1］對無垂度拉索的第一階參數(shù)振動進行研究，導(dǎo)出了無量綱的Mathieu方程；Takahashi［2］針對多自由度參數(shù)振動系統(tǒng)，提出了系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的解析法，并通過研究水平懸索的參數(shù)振動響應(yīng)，得到了不同垂跨比和多模態(tài)耦合時拉索不穩(wěn)定區(qū)的變化規(guī)律；Perkins［3］應(yīng)用多尺度法求解了拉索面內(nèi)、外一階模態(tài)的響應(yīng)，并通過實驗驗證了面內(nèi)振動能夠激發(fā)面外大幅振動的現(xiàn)象；Rega［4?5］采用理論和實驗方法對參數(shù)振動展開研究，對在不同激勵幅值和激勵頻率的端部激勵下水平懸索的動力特性進行探究，分析了斜拉索垂度對參數(shù)振動的影響；Ying等［6］建立了由上端水平激勵與下端豎向激勵的斜拉索模型，分析了拉索分別在簡諧激勵和隨機激勵下的穩(wěn)定性，討論了不同斜拉索參數(shù)下的穩(wěn)定區(qū)面積變化情況；亢戰(zhàn)等［7］將橋面簡化為質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，拉索簡化為一個集中質(zhì)量，建立了索?橋耦合雙自由度模型，采用多尺度法求解主參數(shù)共振結(jié)果，闡述了參數(shù)振動具有明顯的拍振現(xiàn)象；Zhao等［8?9］建立了單索?梁、雙索?梁、多索?梁和索?拱的運動學(xué)控制方程，應(yīng)用數(shù)值方法分析了拉索非線性振動存在的分岔和混沌現(xiàn)象；陳水生等［10］考慮了拉索垂度和幾何非線性的影響，對斜拉索在軸向激勵作用下的非線性振動方程進行求解，研究了面內(nèi)參數(shù)振動響應(yīng)特性；汪峰等［11］建立了阻尼器?斜拉索?塔梁組合結(jié)構(gòu)體系的耦合參數(shù)振動模型，研究了黏滯阻尼器相關(guān)參數(shù)對參數(shù)振動的影響規(guī)律；孫測世［12］對單索?梁模型進行了實驗研究，觀測到斜拉索在端部激勵頻率變化下的“跳躍”過程、面內(nèi)外振動耦合以及“氣圈”運動等現(xiàn)象。然而，現(xiàn)有方法對拉索參數(shù)振動問題的簡化條件較多，解析方法繁冗，難以進行實際工程應(yīng)用。

丁承先等［13］提出的向量式有限元法（Vector Form Intrinsic Finite Element method，VFIFE）將結(jié)構(gòu)形態(tài)離散為一個用無質(zhì)量單元相互連接的質(zhì)點群，以物理模式來描述結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。向量式有限元無需組集整體剛度矩陣，適用于柔性結(jié)構(gòu)的大變形、彈塑性、斷裂等復(fù)雜的非線性或不連續(xù)問題的分析，可實現(xiàn)對整體結(jié)構(gòu)真實行為的仿真模擬。倪秋斌等［14］應(yīng)用向量式有限元建立了斜拉索?阻尼器系統(tǒng)模型，準確地模擬阻尼器對斜拉索的振動控制作用；Duan等［15?16］和Wang等［17］對三維車?軌?橋系統(tǒng)的耦合振動問題進行研究，搭建基于向量式有限元的風(fēng)?車?軌?橋耦合系統(tǒng)計算平臺，分析了斜拉橋在移動列車和風(fēng)載作用下的動力特性以及列車的脫軌風(fēng)險；Duan等［18?21］基于向量式有限元開展了裂紋擴展的模擬研究；采用纖維單元建立了斜拉橋全橋模型，模擬了斜拉橋倒塌全過程；提出了基于向量式有限元和FPGA硬件的實時混合試驗框架，針對斜拉索阻尼器系統(tǒng)進行了虛擬實時混合試驗；利用二維拱橋VFIFE模型進行數(shù)據(jù)訓(xùn)練，并采用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成了吊桿損傷識別。向量式有限元的求解步驟可以集成為簡單且系統(tǒng)化的程序，還被廣泛應(yīng)用于高層建筑［22］、復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)［23?26］以及船舶工程［27］等各個領(lǐng)域。然而，采用向量式有限元方法對拉索參數(shù)振動的模擬研究尚未開展。因此本文通過對比向量式有限元和運動控制方程對拉索參數(shù)振動的求解結(jié)果，驗證向量式有限元模擬的準確性，并基于向量式有限元模型，對拉索傾角、阻尼系數(shù)及風(fēng)荷載對參數(shù)振動的影響進行討論，表明了向量式有限元方法對參數(shù)振動模擬的高效性和便捷性。

1 拉索參數(shù)振動控制方程

根據(jù)斜拉索的材料特性和受力情況，忽略斜拉索的抗彎剛度、扭轉(zhuǎn)和剪切效應(yīng)，假定變形的本構(gòu)關(guān)系服從胡克定律，建立兩端為動邊界條件下的斜拉索數(shù)值模型，如圖1所示。圖1中，L表示斜拉索長度，f表示斜拉索垂度，θ表示斜拉索傾角。整體坐標系用XYZ表示，局部坐標系用xyz表示；X（t），Y（t），Z（t）分別表示端部水平、豎向和面外位移；U（t），W（t），V（t）分別表示端部軸向、橫向和面外位移；u（x，t），w（x，t），v（x，t）分別表示斜拉索軸向、橫向和面外的動位移。

根據(jù)拉索微元受力平衡，推導(dǎo)拉索的運動控制方程，將斜拉索的振動分為兩個部分：由端部激勵引起的準靜態(tài)運動和各階模態(tài)參與的模態(tài)運動。因此，拉索的橫向動位移w（x，t）和面外動位移v（x，t）可以表示為：

式中 Φ為拉索振動的模態(tài)矩陣；qw和qv分別為面內(nèi)和面外振動的廣義時間坐標矩陣；Ψy和Ψz分別為面內(nèi)和面外端部激勵的振動模態(tài)矩陣；Ay和Az分別為面內(nèi)和面外端部激勵的廣義時間坐標矩陣。

采用Galerkin法得到拉索的無量綱離散控制方程［12］：

其中：

其中：

式中 cy和cz分別為拉索面內(nèi)和面外的阻尼系數(shù)。

2 向量式有限元拉索參數(shù)振動模型

2.1 模型建立

根據(jù)向量式有限元的定義，斜拉索離散為無質(zhì)量單元連接的質(zhì)點群M=[m1，m2，...，mn]，拉索作為柔性構(gòu)件，主要受軸向力作用，可以忽略抗彎剛度的影響，故采用桿單元作為質(zhì)點間的連接，如圖2所示。由牛頓第二定律，每個質(zhì)點的平衡方程為：

式中 mi，u¨i，Pi和fi分別為第i個質(zhì)點的質(zhì)量、加速度、外荷載和內(nèi)力。

將斜拉索振動軌跡用一組時間點t0， t1，…， tf上的點值描述，并假設(shè)分析過程是一組連接的時段，如時段tn≤t≤tn+1稱為一個途徑單元。在途徑單元內(nèi)，假設(shè)桿單元從tn+1時刻的位置經(jīng)歷一個虛擬的逆向剛體運動，從ab平移至a'b′′形態(tài)，再以a'為軸心逆向旋轉(zhuǎn)，此時桿單元形態(tài)與tn時刻a'b'形態(tài)僅存在長度Δl的差異，由于途徑單元中的桿單元幾何變化小，小變形和小剛體運動的純變形和內(nèi)力可以用微應(yīng)變和工程應(yīng)力計算，桿單元內(nèi)力的增量Δfe為：

式中 EA為拉索的軸向剛度；ln和ln+1分別表示相應(yīng)時刻下桿單元的長度。

拉索一般不承受壓力，對連接單元內(nèi)力迭代公式進行修正，在積分步長內(nèi)，一旦計算的單元內(nèi)力fe出現(xiàn)負值，定義此刻的單元內(nèi)力為0。通常單元劃分足夠小時，就不會出現(xiàn)負值，即便出現(xiàn)，數(shù)值也很小。

得到桿單元內(nèi)力增量后，通過虛擬的正向運動使桿單元回到tn+1時刻的位置，此時僅桿單元內(nèi)力方向作轉(zhuǎn)動，再通過力的平衡關(guān)系得到tn+1時刻各桿單元作用于某質(zhì)點i的內(nèi)力fi，n+1：

式中 j=1表示該質(zhì)點為單元定義的起點；j=2表示該質(zhì)點為單元定義的終點。

本文采用中央差分法作為向量式有限元的積分方法，在每個積分步長內(nèi)求解都可以分為兩個過程。

① 根據(jù)每個質(zhì)點前一時刻的位置，通過中央差分法分別計算當(dāng)前時刻各個質(zhì)點的位置ui，n+1：

式中 h表示相鄰兩個時刻間的時長，即積分步長。

② 根據(jù)當(dāng)前時刻每個質(zhì)點的位置，通過虛擬的逆向運動，平移和旋轉(zhuǎn)單元求得純變形，計算各個單元的內(nèi)力，并組集每個質(zhì)點所連接的單元內(nèi)力，求解當(dāng)前時刻各個質(zhì)點所受的合內(nèi)力。

2.2 對比驗證

斜拉索的參數(shù)為：長度L=129.2 m，截面積A=71.97 cm2，單位質(zhì)量ρ=58.9 kg/m，彈性模量E=200 GPa，初始索力T0=3300 kN；前3階自振頻率分別為：ω1=5.84 rad/s，ω2=11.50 rad/s，ω3=17.28 rad/s。通過對比控制方程數(shù)值解和向量式有限元求解得到的拉索位移時程圖，驗證向量式有限元在求解拉索在端部支座激勵下振動的正確性。由于拉索的離散控制方程（方程（3））的數(shù)值迭代求解速率隨模態(tài)矩陣維度的擴增呈指數(shù)增長，本文采用考慮前10階模態(tài)進行計算。假設(shè)各個方向的初始速度均為0，激勵幅值A(chǔ)0=0.05 m，僅在水平拉索一端施加支座的軸向簡諧運動激勵U=A0sinΩt，得到拉索橫向相對位移?w（x，t）的時程曲線，如圖3所示。

控制方程數(shù)值迭代得到的拉索橫向相對位移時程曲線均與向量式有限元求解得到的曲線擬合良好?？刂品匠虜?shù)值求解對每一階模態(tài)分開考慮，需要定義每階模態(tài)對應(yīng)的廣義時間坐標的初始量；而向量式有限元的求解是對整個拉索系統(tǒng)綜合考慮，僅需要定義拉索上各個質(zhì)點的初始狀態(tài)，即初始位移、速度和加速度。相比于應(yīng)用控制方程解決高階問題中需要考慮多階模態(tài)而造成的求解效率降低及產(chǎn)生的初值敏感度等問題，向量式有限元對于模擬拉索在支座激勵下的振動有著更佳的適用性，建模和初始條件的定義更符合實驗和實際工程情況。

2.3 支座軸向激勵下的共振區(qū)研究

采用有垂度的水平拉索模型作為分析對象，拉索第一階模態(tài)阻尼比取ξ1=0.05%，僅考慮面內(nèi)振動，對拉索的一端支座施加軸向簡諧運動U=A0sin（Ωt），通過改變激勵頻率Ω和激勵幅值A(chǔ)0，得到拉索各個位置橫向相對位移最大值?wmax的頻響曲線，如圖4所示。

當(dāng)激勵頻率Ω等于拉索一階頻率ω1時，拉索出現(xiàn)大幅度振動，即使激勵幅值僅為0.01 m，也可以激發(fā)出約為1.3 m的幅值，一般將Ω/ω1=1附近頻響曲線圍成的面域定義為主共振區(qū)。當(dāng)激勵幅值較小時，主共振區(qū)最為顯著，隨著激勵幅值的增大，其他的共振區(qū)域逐漸明顯。與參數(shù)振動相關(guān)文獻［10］和［28］中觀察到的現(xiàn)象相同，增大激勵幅值后，Ω/ω1=0.5出現(xiàn)了峰值，對應(yīng)的共振區(qū)域稱為2倍超諧波共振區(qū)，其對應(yīng)的?wmax小于主共振區(qū)，頻率范圍較窄，說明該共振區(qū)的激發(fā)條件較為苛刻。當(dāng)激勵幅值增大至一定值后，Ω/ω1=2時激發(fā)的共振區(qū)域出現(xiàn)，稱為1/2亞諧波共振區(qū)，也稱作主參數(shù)共振區(qū)，其頻率范圍更寬，且隨激勵幅值增大，?wmax超過主共振區(qū)，逐漸占據(jù)主導(dǎo)，成為最主要的共振區(qū)域。

取激勵幅值A(chǔ)0=0.05 m，研究主共振區(qū)和主參數(shù)共振區(qū)的拉索1/4跨的位移時程曲線，如圖5所示。兩種激勵頻率比下的拉索都出現(xiàn)拍振現(xiàn)象，采用包絡(luò)線擬合波包輪廓，在主共振區(qū)中，波包形狀較圓潤，包絡(luò)線與正弦曲線接近，包絡(luò)線斜率隨著振幅增大而減小，振幅緩慢增大至最大值后又緩慢減小；而在主參數(shù)共振區(qū)中，波包包絡(luò)線與指數(shù)曲線接近，包絡(luò)線斜率隨著振幅增大而增大。起振前經(jīng)歷一段小幅振動的累積過程后，振幅開始迅速增大，類似于不穩(wěn)定發(fā)散，但其達到最大值后又迅速減小。對位移時程曲線進行快速傅里葉變換分析，結(jié)果顯示：在兩種不同激勵頻率下振動成分均為第一階模態(tài)，說明了參數(shù)振動有別于強迫振動，2倍于拉索1階自振頻率的激勵頻率比同樣能夠激發(fā)拉索以1階模態(tài)主導(dǎo)的大幅振動，當(dāng)激勵幅值不斷增大，對應(yīng)幅值甚至?xí)街鞴舱駞^(qū)的幅值。因此，在實際工程中，可以通過分析監(jiān)測數(shù)據(jù)的波包形狀和頻譜成分判別參數(shù)振動的發(fā)生。

3 參數(shù)振動影響因素分析

3.1 拉索傾角對參數(shù)振動的影響

斜拉索的傾角影響著斜拉索的垂度值，而垂度會加強拉索的幾何非線性，進一步影響橫向振動。隨著斜拉索傾角提高，拉索垂度不斷減小，當(dāng)傾角為90°時，垂直索相當(dāng)于一根張緊弦。選取不同的傾角θ進行研究，在拉索中點施加5 mm的初始橫向位移擾動，假定拉索底部支座始終沿拉索的軸向進行簡諧運動U=A0sin（Ωt），取激勵幅值A(chǔ)0=0.05 m，ξ1=0.05%，選取激勵頻率比Ω/ω1=0.5， 1和2，分別應(yīng)用向量式有限元和控制方程數(shù)值解求解響應(yīng)，提取每個激勵頻率下斜拉索各個位置橫向相對位移的最大值?wmax繪制響應(yīng)曲線，如圖6所示。

當(dāng)激勵頻率比Ω/ω1=0.5和1時，拉索振動幅值與垂度值相關(guān)，Ω/ω1=1時，?wmax在θ<50°時，基本保持在一個水平，隨著傾角繼續(xù)增大，拉索垂度繼續(xù)減小，拉索逐漸接近于張緊弦，初始擾動在該激勵條件下無法被大幅激發(fā)，?wmax迅速減小并逐漸趨于0；當(dāng)激勵頻率比Ω/ω1=2時，即斜拉索處于參數(shù)共振區(qū)，?wmax維持在一個常數(shù)值，不隨傾角變化改變，說明了拉索一旦滿足參數(shù)振動條件，微小的擾動都會被激發(fā)為大幅振動，傾角對振動幅值的影響微弱。

3.2 阻尼比對參數(shù)振動的影響

采用有垂度的水平拉索模型進行阻尼比對參數(shù)振動的影響研究，選取拉索第1階模態(tài)阻尼比ξ1=0.5%，1%，1.5%和2.5%，計算激勵頻率比Ω/ω1=1和2時，拉索在支座軸向簡諧運動下的各個位置橫向相對位移最大值?wmax，并繪制?wmax與激勵幅值A(chǔ)0的關(guān)系曲線，如圖7所示。結(jié)果表明向量式有限元的模擬結(jié)果與控制方程的數(shù)值解擬合較好。

當(dāng)Ω/ω1=1時，?wmax隨著激勵幅值的增大而平緩提高，增加拉索阻尼比時，?wmax隨之減小，阻尼比越大，減振效果越明顯。當(dāng)Ω/ω1=2時，曲線存在一個明顯跳躍點，在激勵幅值較小時，參數(shù)振動未被激發(fā)，?wmax處于較小水平，而一旦激勵幅值大于拐點對應(yīng)的臨界值，參數(shù)振動被激發(fā)，?wmax急速增大，到達一定值后趨于平穩(wěn)，這說明了在參數(shù)振動存在起振條件，只有激勵幅值達到一定水平，才會激發(fā)出大幅振動；對比不同阻尼比下的響應(yīng)曲線，增大系統(tǒng)阻尼比同樣可以減小?wmax，并且增大臨界激勵幅值，延緩參數(shù)振動的發(fā)生。

3.3 風(fēng)荷載對參數(shù)振動的影響

橋梁的風(fēng)致振動會引發(fā)拉索連接端的支座運動，從而進一步激發(fā)拉索參數(shù)振動，同時面外方向的風(fēng)荷載常會引起拉索面內(nèi)、外振動耦合。因此，需要研究斜拉索同時在風(fēng)荷載和端部支座軸向運動作用下的振動情況。

對于面外風(fēng)荷載作用于拉索上的力，本文僅考慮拖曳力FD。假設(shè)斜拉索底端平均風(fēng)速U=20 m/s，采用考慮風(fēng)速沿高度發(fā)生變化的Kaimal譜生成風(fēng)速場。以θ=45°的斜拉索為例，拉索第1階模態(tài)阻尼比ξ1=0.05%，斜拉索中點面外方向施加5 mm的初始位移擾動，對風(fēng)場中的斜拉索在底部支座軸向簡諧運動的主共振和主參數(shù)共振進行研究，激勵幅值A(chǔ)0取0.03 m。

如圖8所示，當(dāng)Ω/ω1=1時，拉索在僅有底部支座軸向的激勵下只發(fā)生面內(nèi)大幅拍振，面內(nèi)相對最大位移?wmax約為1.25 m；當(dāng)面外風(fēng)荷載和底部支座軸向激勵同時作用時，面外進行小幅度振動，而面內(nèi)的拍振被較好地抑制，振動較快地進入穩(wěn)定狀態(tài)，?wmax約為1.1 m，相較于僅底部支座軸向激勵時略有減少。當(dāng)Ω/ω1=2時，端部支座位移激勵下發(fā)生主參數(shù)振動，面外微小擾動被激發(fā)且占據(jù)主導(dǎo)，面外相對最大位移?vmax約為1.44 m；當(dāng)與面外風(fēng)荷載協(xié)同作用時，拉索面外拍振也同樣被較好地抑制，面外振動更早地達到峰值，?vmax約為1.32 m，相較于僅底部支座軸向激勵時的?vmax同樣有所減小，同時面內(nèi)振動的拍振消失，在振幅增大至0.4 m左右時，作穩(wěn)幅振動。表1中計算了各工況下拉索跨中位移響應(yīng)的均方根（RMS），通過對比，面外風(fēng)荷載和底部支座軸向激勵聯(lián)合作用時，風(fēng)荷載能夠起到擾動效應(yīng)，削弱支座激勵下拉索的拍振，使振動更快地進入穩(wěn)幅振動。這一現(xiàn)象與Luongo等［29］應(yīng)用多尺度法、李永樂等［30］應(yīng)用數(shù)值法對風(fēng)雨振和索端激勵聯(lián)合作用得到的結(jié)果相一致。當(dāng)進一步增加斜拉索底端平均風(fēng)速時，研究發(fā)現(xiàn)風(fēng)荷載的增大僅能抑制拍振，對于參數(shù)振動幅值的削弱十分有限，且在高風(fēng)速狀態(tài)下，拉索面外產(chǎn)生大變形，振動對結(jié)構(gòu)安全性構(gòu)成更大的威脅。

4 結(jié) 論

本文發(fā)展了一種求解參數(shù)振動響應(yīng)的向量式有限元方法，可以考慮拉索傾角、阻尼比的影響，以及風(fēng)、支座激勵等多種荷載的影響。發(fā)現(xiàn)了參數(shù)振動響應(yīng)時程包絡(luò)線區(qū)別于一般共振的斜率特征，為通過分析拉索振動監(jiān)測數(shù)據(jù)的波包形狀判定參數(shù)振動提供了一種判定方法及其理論依據(jù)。探明了傾角、阻尼比以及風(fēng)荷載與制作激勵協(xié)同作用對參數(shù)振動的影響規(guī)律。得出如下結(jié)論：

（1）增大拉索傾角僅影響主共振區(qū)的振動幅值，對主參數(shù)共振區(qū)的振動幅值影響微弱；

（2）增大拉索阻尼比可以減小主共振區(qū)和主參數(shù)共振區(qū)的振動幅值，同時提高了激發(fā)參數(shù)振動對應(yīng)的臨界激勵幅值；

（3）面外風(fēng)荷載的協(xié)同作用能夠削弱支座激勵下拉索的拍振現(xiàn)象，但隨風(fēng)荷載增大，會加劇拉索變形，對拉索的安全性能構(gòu)成損害；

（4）與共振情況不同，參數(shù)振動響應(yīng)時程包絡(luò)線斜率隨振幅增大而增大，可以據(jù)此通過分析拉索振動監(jiān)測數(shù)據(jù)的波包形狀判定參數(shù)振動；

（5）向量式有限元計算方法簡單，與迭代運動方程進行數(shù)值求解方法相比，可根據(jù)需要靈活調(diào)整外荷載及材料特性，可以有效模擬支座運動和多種復(fù)雜荷載聯(lián)合作用下的拉索振動。

參考文獻

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Vector form intrinsic finite element based simulation on parametric vibration of cables

DUAN Yuan?feng 1 ?HUANG Jia?si 2DENG Nan 1WANG Su?mei 3 ?YING Zu?guang 4HE Wen 5

1. College of Civil Engineering and Architecture， Zhejiang University， Hangzhou 310058， China；

2. Huadong Engineering Corporation Limited， Power China， Hangzhou 311122， China；

3. National Rail Transit Electrification and Automation Engineering Technology Research Center （Hong Kong Branch）， Hong Kong 999077， China；

4. Department of Mechanics， School of Aeronautics and Astronautics， Zhejiang University， Hangzhou 310027， China；

5. Zhejiang Province Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology， Zhejiang University， Hangzhou 310027， China

Abstract The parametric vibration is mainly caused by the vibration of the end supports connecting the cables. The cable is the main force component of the cable?stayed bridge. A small disturbance of the stayed cable will be motivated to oscillate with large amplitude once the natural frequency of cables meets a certain multiple relationship with that of support motion， which will cause security problems of bridges. As the complexity of nonlinear problems in the parametric vibration， the traditional analytical methods are unsuitable to be applied in engineering. Hence， the vibration analysis of the stayed cable under dynamic boundary conditions were conducted based on the Vector Form Intrinsic Finite Element method （VFIFE） in this paper and the accuracy of the results were validated by comparison with numerical solution of the governing equations. In addition， the characteristics of the main resonance regions and the main parameter resonance regions excited by axial support motion were discussed. The effects of the angle of inclination， damping ratio and the wind loads on parametric vibration were also analyzed， respectively. The results showed that the VFIFE method is enable to efficiently simulate the parametric vibration of cables under various conditions， which is benefit to engineering application.

Keywords stay cable; parametric vibration; vibration simulation; Vector Form Intrinsic Finite Element method; numerical solution