呂小紅 張開(kāi)成 朱喜鋒 羅冠煒

摘要 考慮塑性碰撞工況的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)，分析系統(tǒng)非光滑分岔的條件，辨識(shí)系統(tǒng)在兩參數(shù)平面的周期運(yùn)動(dòng)模式及存在域，研究相鄰周期運(yùn)動(dòng)的分岔特征及存在于（1， 0， 0）運(yùn)動(dòng)與（1， 1， 0）運(yùn)動(dòng)之間的遲滯域和亞諧包含域的動(dòng)力學(xué)，揭示碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的余維一穿越、切換和多滑動(dòng)分岔及余維二滑動(dòng)分岔行為。塑性碰撞工況下，非黏滯型和黏滯型單沖擊周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)穿越滑動(dòng)分岔相互轉(zhuǎn)遷。在亞諧包含域的邊界線上存在一個(gè)窄遲滯域群，相鄰遲滯域的連接點(diǎn)為二重擦邊分岔點(diǎn)和倍化?鞍結(jié)分岔點(diǎn)。碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的切換滑動(dòng)分岔和多滑動(dòng)分岔都表現(xiàn)為隆起分岔，但是隆起在黏滯相的發(fā)生位置不同。兩參數(shù)平面內(nèi)，兩條不同類型滑動(dòng)分岔線的橫截相交點(diǎn)為余維二滑動(dòng)分岔點(diǎn)。

關(guān)鍵詞 碰撞振動(dòng); 兩參數(shù)分岔; 滑動(dòng)分岔; 黏滯; 擦邊

引 言

機(jī)械動(dòng)力系統(tǒng)中的間隙常導(dǎo)致零部件之間或零部件與約束之間在運(yùn)行中發(fā)生碰撞振動(dòng)。碰撞使含間隙機(jī)械系統(tǒng)成為一類典型的非光滑動(dòng)力系統(tǒng)，并表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為，如亞諧碰撞運(yùn)動(dòng)［1?2］、基本碰撞運(yùn)動(dòng)［3］、周期黏滯運(yùn)動(dòng)［4］、混沌激變［5］和共存吸引子［6?7］ 以及擦邊分岔［8?9］和Neimark?Saker分岔［10］等。碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的倍化分岔序列通常因擦邊周期運(yùn)動(dòng)的存在而中斷，并引發(fā)Poincaré映射的奇異性［11?12］。Ma等［13］研究了擦邊碰撞引起的Jacobian矩陣的行列式和跡的變化特點(diǎn)。擦邊分岔依據(jù)擦邊點(diǎn)是否出現(xiàn)跳躍和可逆性分為連續(xù)分岔和不連續(xù)分岔兩種形式。Luo等［14?15］基于兩參數(shù)分岔分析方法研究了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)基本運(yùn)動(dòng)的連續(xù)和不連續(xù)擦邊分岔特征。Jiang等［16］研究了剛性和彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的兩參數(shù)倍化型和鞍結(jié)型擦邊分岔。

工程應(yīng)用領(lǐng)域存在很多塑性沖擊機(jī)械和裝置，如沖擊振動(dòng)成型機(jī)、振動(dòng)沖擊打樁機(jī)和鑄造落砂機(jī)等。塑性碰撞工況下，沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)有黏滯和非黏滯兩種類型。黏滯運(yùn)動(dòng)的存在改變了原振動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，減少了振動(dòng)系統(tǒng)的自由度數(shù)，增加了理論分析的難度。因此，對(duì)塑性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究目前開(kāi)展較少，研究的方法僅限于數(shù)值仿真分析。黏滯型碰撞振動(dòng)與摩擦振動(dòng)系統(tǒng)的黏滑振動(dòng)有相似之處。近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)摩擦振動(dòng)系統(tǒng)黏滑周期運(yùn)動(dòng)的類型和四種滑動(dòng)分岔作了深入研究［17?18］，但是對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)滑動(dòng)分岔的研究尚在起步階段。Luo等［19］研究了兩自由度塑性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)非黏滯型周期運(yùn)動(dòng)的穿越滑動(dòng)分岔。Wagg［20］運(yùn)用數(shù)值仿真的方法揭示了多約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)完整顫碰運(yùn)動(dòng)的多滑動(dòng)分岔。呂小紅等［21］研究了一類沖擊漸進(jìn)振動(dòng)系統(tǒng)黏滯型基本碰撞運(yùn)動(dòng)的多滑動(dòng)分岔。迄今為止關(guān)于碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的切換滑動(dòng)和擦邊滑動(dòng)分岔以及余維二滑動(dòng)分岔等問(wèn)題的研究還未見(jiàn)報(bào)道。本文基于兩參數(shù)分岔分析方法，研究塑性碰撞工況下兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)在兩參數(shù)平面的黏滯型和非黏滯型周期運(yùn)動(dòng)模式及存在域，著重分析周期運(yùn)動(dòng)的擦邊和滑動(dòng)分岔，揭示碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的切換滑動(dòng)、多滑動(dòng)和余維二滑動(dòng)分岔等非光滑分岔行為。

1 力學(xué)模型

圖1所示為兩自由度含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型，質(zhì)塊Mi（i=1，2）通過(guò)阻尼系數(shù)為Ci的線性阻尼器和剛度為Ki的線性彈簧與支承相連，兩個(gè)質(zhì)塊之間通過(guò)阻尼系數(shù)為C3的線性阻尼器和剛度為K3的線性彈簧相連。質(zhì)塊Mi上作用有簡(jiǎn)諧激振力Pisin（ΩT+τ）。兩質(zhì)塊只在水平方向運(yùn)動(dòng)，其位移分別用X1和X2表示，當(dāng)滿足關(guān)系X1?X2=B時(shí)，質(zhì)塊M1和質(zhì)塊M2發(fā)生碰撞。引入無(wú)量綱參數(shù)：

當(dāng)x1（t）?x2（t）=δ時(shí)，兩質(zhì)塊發(fā)生碰撞。文獻(xiàn)［22?23］研究了系統(tǒng)在剛性碰撞工況下的兩參數(shù)動(dòng)力學(xué)，本文考慮塑性碰撞，沖擊方程為：

式中 x˙1?和x˙2?表示碰撞前兩質(zhì)塊的瞬時(shí)速度。碰撞后的瞬時(shí)速度為x˙+=x˙1+=x˙2+，若兩質(zhì)塊的加速度也相同，則質(zhì)塊M1和M2黏滯在一起同步運(yùn)動(dòng)，即黏滯運(yùn)動(dòng)。黏滯運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩質(zhì)塊之間存在相互作用力fN。用f1（t）和f2（t）分別表示碰撞后瞬時(shí)作用于質(zhì)塊M1和M2的合力，則：

由f1/μ?m=f2得：

若fN>0，則兩質(zhì)塊黏滯運(yùn)動(dòng)，否則立即分離做自由運(yùn)動(dòng)，直至下次碰撞發(fā)生。黏滯運(yùn)動(dòng)時(shí)的無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)微分方程為：

黏滯運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若fN減小為0，則兩質(zhì)塊分離做自由運(yùn)動(dòng)。自由運(yùn)動(dòng)時(shí)的無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)微分方程為：

2 非光滑分岔分析

定義邊界函數(shù)：

令 x∶ =（x1，x˙1，x2，x˙2，θ）T∈R4×S，其中θ=ωtmod（2π），S為圓環(huán)。將式（6）寫成規(guī)范形式：

關(guān)于向量場(chǎng)（8）的流函數(shù)?（x，t）的解析解見(jiàn)文獻(xiàn)［22］。流函數(shù)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度可表示為：

式中 hx（x）=（1，0，?1，0，0）。碰撞面可表示為Σp={x∶h（x）=0}，且可劃分成4個(gè)子區(qū)域：Σ+1={x∶h（x）=0，v（x）>0}，Σ+2={x∶h（x）=0，v（x）=0，a（x）>0}，Σ?2={x∶h（x）=0，v（x）=0，a（x）<0}和Σ02={x∶h（x）=0，v（x）=0，a（x）=0}。

設(shè)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的軌跡到達(dá)截面∑p的點(diǎn)為x=x?，存在以下四種情況：（Ⅰ）x?∈Σ?2，兩質(zhì)塊擦邊接觸，此時(shí)的系統(tǒng)參數(shù)值為擦邊分岔點(diǎn)；（Ⅱ） x?∈Σ+2，兩質(zhì)塊擦邊接觸后黏滯運(yùn)動(dòng)；（Ⅲ） x?∈Σ02，系統(tǒng)發(fā)生擦邊滑動(dòng)分岔；（Ⅳ）x?∈Σ+1，兩質(zhì)塊發(fā)生碰撞。碰撞恢復(fù)函數(shù)的表達(dá)式為R（x）=x?+ω（x）v（x?），其中ω（x）=（0，m?1，0，m，0）T。設(shè)碰撞后的點(diǎn)為x=x+，由于考慮塑性碰撞，有v（x+）=0。若x+∈Σ?2，則碰撞后兩質(zhì)塊立即分離。若x+∈Σ+2，則碰撞后兩質(zhì)塊黏滯運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間。黏滯運(yùn)動(dòng)的向量場(chǎng)由式（5）決定，可寫成規(guī)范形式：

黏滯域的表達(dá)式為Σs={x∈Σp∶x˙1=x˙2，fN≥0}。黏滯域的邊界為?Σs={x∈Σp∶x˙1=x˙2，fN=0}。當(dāng)黏滯運(yùn)動(dòng)的軌跡到達(dá)?Σs時(shí)，黏滯運(yùn)動(dòng)過(guò)程結(jié)束。

系統(tǒng)發(fā)生滑動(dòng)分岔時(shí)，臨界軌跡在碰撞后存在與?Σs相交的點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為x=x*。根據(jù)滑動(dòng)分岔理論，定義碰撞振動(dòng)系統(tǒng)滑動(dòng)分岔的通有性條件為：

對(duì)于多滑動(dòng)分岔，臨界軌跡完全位于黏滯域中，且點(diǎn)x*與?Σs相切，因此還包括附加條件：

為了方便分析，用符號(hào)‘（n， p， q）表示周期運(yùn)動(dòng)的模式，其中n，p和q分別表示一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的激振力周期數(shù)、兩質(zhì)塊的碰撞次數(shù)和黏滯運(yùn)動(dòng)次數(shù)。選定相位面Σn={x∶θ=0}為Poincaré截面，構(gòu)造Poincaré映射P∶Σn→Σn。當(dāng)系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，可通過(guò)Poincaré截面的點(diǎn)數(shù)及周期運(yùn)動(dòng)的軌線到達(dá)截面Σp和Σs的次數(shù)辨別周期運(yùn)動(dòng)的模式及其在兩參平面的存在域。

3 周期運(yùn)動(dòng)模式及存在域

取系統(tǒng)參數(shù)（1）：m=0.5，ζ=0.05，f=1，ki=0.5，ci=0.5（i=1， 2），在（ω，δ）?參數(shù)平面取一個(gè)感興趣的區(qū)域H1={0.1≤ω≤8.1，0≤δ≤0.8}，辨識(shí)系統(tǒng)在H1內(nèi)的周期運(yùn)動(dòng)模式及其存在域如圖2所示。圖2中各模式周期運(yùn)動(dòng)的存在域用不同的顏色區(qū)分，并標(biāo)有符號(hào)‘（n，p，q）；CSi（i=1，2），SS和G分別表示穿越滑動(dòng)分岔線、切換滑動(dòng)分岔線和擦邊分岔線；‘+代表余維二分岔點(diǎn)。

3.1 單沖擊周期運(yùn)動(dòng)的滑動(dòng)分岔

由圖2可見(jiàn)，塑性碰撞工況下，圖1所示系統(tǒng)在兩參數(shù)（ω，δ）平面呈現(xiàn)的單沖擊周期運(yùn)動(dòng)有兩種模式，即非黏滯型（n，1，0）和黏滯型（n，1，1）（n=1，2，3，…）運(yùn)動(dòng)，其存在域的分布具有規(guī)律性。為了詳細(xì)討論單沖擊周期運(yùn)動(dòng)的分岔特點(diǎn)，圖3給出了δ=0時(shí)，ωtf/（2π）和沖擊速度x˙1??x˙2?隨ω變化的單參數(shù)分岔圖，其中tf表示相鄰兩次沖擊之間的自由運(yùn)動(dòng)時(shí)間，ωtf/（2π）表示tf與激振力周期的比值。ωtf/（2π）分支的平直線窗口（ωtf/（2π）=n（n=1，2，3，…））對(duì)應(yīng)（n，1，0）運(yùn)動(dòng)，周期運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不存在黏滯現(xiàn)象，運(yùn)動(dòng)軌跡為“碰撞?自由運(yùn)動(dòng)”。斜直線窗口對(duì)應(yīng)（n，1，1）運(yùn)動(dòng)，周期運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在黏滯現(xiàn)象，運(yùn)動(dòng)軌跡為“碰撞?黏滯?自由運(yùn)動(dòng)”。碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的黏滯與摩擦振動(dòng)系統(tǒng)的滑動(dòng)有相似之處。在直線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，非黏滯型周期運(yùn)動(dòng)的軌跡橫截相交黏滯域邊界轉(zhuǎn)遷為黏滯型，因此，系統(tǒng)發(fā)生穿越滑動(dòng)分岔（CSB）。繼續(xù)減小ω，（n，1，1）（n≥2）運(yùn)動(dòng)發(fā)生擦邊分岔產(chǎn)生（n，2，1）運(yùn)動(dòng)，然后經(jīng)穿越滑動(dòng)分岔嵌入（n，2，0）運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ω增大時(shí)，（n，1，0）運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍周期分岔產(chǎn)生（2n，2，0）運(yùn)動(dòng)，然后經(jīng)穿越滑動(dòng)分岔轉(zhuǎn)遷為（2n，2，1）運(yùn)動(dòng)。

如圖2所示，（1，1，0）運(yùn)動(dòng)的存在域在下邊界與（1，1，1）和（1，2，0）運(yùn)動(dòng)的存在域相鄰。減小δ，（1，1，0）運(yùn)動(dòng)與（1，1，1）運(yùn)動(dòng)的兩參數(shù)分界線為穿越滑動(dòng)分岔線（CS1），與（1，2，0）運(yùn)動(dòng)的分界線為擦邊分岔線（G）。兩條分岔線的節(jié)點(diǎn)用符號(hào)‘+表示。 （1，2，0）運(yùn)動(dòng)的存在域很窄呈波浪狀分布，其下邊界經(jīng)穿越滑動(dòng)分岔線（CS2）與（1，2，1）運(yùn)動(dòng)相鄰。在圖2所示左下角區(qū)域，（1，1，1）運(yùn)動(dòng)與（1，2，1）運(yùn)動(dòng)的存在域交替出現(xiàn)。兩類周期運(yùn)動(dòng)的分岔過(guò)程如圖4和5所示。圖4的ωtf/（2π）分支數(shù)和ωts/（2π）（ts表示相鄰兩次沖擊之間的黏滯運(yùn)動(dòng)時(shí)間）分支數(shù)可分別確定周期運(yùn)動(dòng)的碰撞次數(shù)p和黏滯次數(shù)q。圖5（a）為ω=0.55時(shí)，兩質(zhì)塊相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖，系統(tǒng)呈現(xiàn)（1，1，1）運(yùn)動(dòng)。圖5（b）為圖5（a）的局部放大。增大ω，當(dāng)ω>0.59093時(shí)，ωtf/（2π）?ω分岔圖出現(xiàn)兩條分支線，即碰撞次數(shù)增加一次，但ωts/（2π）分支數(shù)保持不變，系統(tǒng)呈現(xiàn)（1，2，1）運(yùn)動(dòng)。經(jīng)計(jì)算可知，增大ω，對(duì)應(yīng)（1，1，1）運(yùn)動(dòng)的力fN逐漸減小。當(dāng)ω=0.59093時(shí)，fN減小至近似等于0。繼續(xù)增大ω，當(dāng)ω=0.6時(shí)，fN=-0.01634557<0，因此，兩質(zhì)塊在碰撞后立即分離，經(jīng)歷很短暫的自由運(yùn)動(dòng)后再次碰撞，然后黏滯運(yùn)動(dòng)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖在黏滯期的開(kāi)始出現(xiàn)微小的隆起現(xiàn)象（Rising）（如圖5（c）所示），（1，1，1）運(yùn)動(dòng)分岔為（1，2，1）運(yùn)動(dòng)。在分岔點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡在黏滯期的開(kāi)始發(fā)生了額外的切換轉(zhuǎn)換，因此，系統(tǒng)發(fā)生切換滑動(dòng)分岔（SSB）。進(jìn)一步增大ω，隆起的幅值逐漸增大，當(dāng)ω≈0.655時(shí)達(dá)到最大值，然后逐漸減小直至消失，（1，2，1）運(yùn)動(dòng)經(jīng)切換滑動(dòng)分岔返回（1，1，1）運(yùn)動(dòng)，如圖5（d）～（f）所示。

由圖4和5可知，在圖2所示兩參數(shù)平面內(nèi)，（1，1，1）與（1，2，1）運(yùn)動(dòng)的分界線為切換滑動(dòng)分岔線（SS），‘+點(diǎn)是分岔線G，CS1，CS2和SS的節(jié)點(diǎn)，因此，‘+點(diǎn)為（1，1，0）運(yùn)動(dòng)的擦邊?滑動(dòng)分岔點(diǎn)和（1，2，1）運(yùn)動(dòng)的余維二滑動(dòng)分岔點(diǎn)。

3.2 （1， 0， 0）運(yùn)動(dòng)與（1， 1， 0）運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷

在圖2所示兩參數(shù)平面的大間隙區(qū)域，系統(tǒng)主要表現(xiàn)為（1，0，0）和（1，1，0）運(yùn)動(dòng)。兩類運(yùn)動(dòng)之間存在兩種不同的轉(zhuǎn)遷方式。第一種轉(zhuǎn)遷方式如圖6（a）所示，減小ω或δ，（1，0，0）運(yùn)動(dòng)在分岔線G（1，0，0）經(jīng)不連續(xù)擦邊分岔產(chǎn)生（1，1，0）運(yùn)動(dòng)。當(dāng)分岔參數(shù)反方向變化時(shí)，（1，1，0）運(yùn)動(dòng)在分岔線SN（1，1，0）經(jīng)鞍結(jié)分岔產(chǎn)生（1，0，0）運(yùn)動(dòng)。分岔線G（1，0，0）和SN（1，1，0）產(chǎn)生一個(gè)（1，0，0）和（1，1，0）運(yùn)動(dòng)共存的遲滯域，用HR1表示。為了研究系統(tǒng)在HR1內(nèi)的全局動(dòng)力學(xué)，在狀態(tài)空間選取一個(gè)初值考察區(qū)域Ω={?0.4≤x1≤0.4，?2≤x˙1≤0，x2=0，x˙2=0}，應(yīng)用簡(jiǎn)單胞映射法求解HR1內(nèi)共存吸引子在Ω內(nèi)的吸引域如圖7所示。當(dāng)ω遞減穿越SN（1，1，0）時(shí)，系統(tǒng)在部分初值下的（1，0，0）運(yùn)動(dòng)響應(yīng)發(fā)生周期跳躍，出現(xiàn)（1，1，0）運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，（1，0，0）運(yùn)動(dòng)的吸引域被（1，1，0）運(yùn)動(dòng)的吸引域侵蝕，如圖7（a）所示。繼續(xù)減小ω，（1，1，0）運(yùn)動(dòng)的吸引域面積不斷增大，（1，0，0）運(yùn)動(dòng)的吸引域被進(jìn)一步侵蝕，如圖7（b）所示。由于共存吸引子的吸引域集中分布，因此，初始條件的擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)在HR1內(nèi)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響不大。當(dāng)ω遞減穿越G（1，0，0）時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)退出遲滯域，表現(xiàn)為穩(wěn)定的（1，1，0）運(yùn)動(dòng)。

（1，0，0）與（1，1，0）運(yùn)動(dòng)之間還存在另外一種轉(zhuǎn)遷方式。由圖2可見(jiàn)，在（1，0，0）和（1，1，0）運(yùn)動(dòng)的存在域臨界線上存在若干面積很窄的淺黃色區(qū)域。圖6（b）為該參數(shù)區(qū)域的動(dòng)力學(xué)描述，系統(tǒng)主要表現(xiàn)為非黏滯型單碰亞諧運(yùn)動(dòng)（n，1，0）（n=2，3，…）。（n，1，0）運(yùn)動(dòng)序列的存在域隨n的遞增自下而上、自右向左依次分布。為了方便分析，文中將這類區(qū)域稱為亞諧包含域。圖8（a）為（1，0，0）運(yùn)動(dòng)與亞諧包含域內(nèi)的（2，1，0）運(yùn)動(dòng)隨ω遞增（紅色）和遞減（藍(lán)色）的單參數(shù)分岔圖。（1，0，0）運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔點(diǎn)G2和（2，1，0）運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)分岔點(diǎn)SN2形成一個(gè)（1，0，0）與（2，1，0）運(yùn)動(dòng)共存的遲滯窗口。（1，0，0）運(yùn)動(dòng)與亞諧包含域內(nèi)（3，1，0）運(yùn)動(dòng)的相互轉(zhuǎn)遷如圖8（b）所示。由圖8可知，在（1，0，0）運(yùn)動(dòng)與亞諧包含域內(nèi)（n，1，0）運(yùn)動(dòng)的存在域之間，由（1，0，0）運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔線和（n，1，0）運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)分岔線形成一個(gè)很窄的遲滯域HRn，從而在亞諧包含域的上邊界產(chǎn)生一個(gè)窄遲滯域群HRn（n=2，3，…）。（1，0，0）運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔只有在相鄰兩個(gè)遲滯域HRn和HRn + 1的連接點(diǎn)是連續(xù)分岔，該連接點(diǎn)是（1，0，0）運(yùn)動(dòng)的二重擦邊分岔點(diǎn)。

取δ=1.5，（1，0，0）與（1，1，0）運(yùn)動(dòng)經(jīng)亞諧包含域的轉(zhuǎn)遷過(guò)程如圖9所示。結(jié)合圖6（b）和圖9可知，遞增δ或遞減ω，（1，1，0）運(yùn)動(dòng)發(fā)生倍周期分岔產(chǎn)生（2，2，0）運(yùn)動(dòng)而使系統(tǒng)響應(yīng)嵌入亞諧包含域，（2，2，0）運(yùn)動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔產(chǎn)生（2，1，0）運(yùn)動(dòng)。當(dāng)δ和ω反方向變化時(shí)，（2，1，0）運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔使系統(tǒng)響應(yīng)直接退出亞諧包含域，表現(xiàn)為（1，1，0）運(yùn)動(dòng)。（2，1，0）運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔線和（2，2，0）運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)分岔線在亞諧包含域的下邊界形成一個(gè)遲滯域，如圖6（b）所示HR0。HR0內(nèi)，（1，1，0）與（2，1，0）運(yùn)動(dòng)或（2，2，0）與（2，1，0）運(yùn)動(dòng)共存。遲滯域HR0，HR1和HR2的六條邊界線橫截相交于‘+點(diǎn)，因此，該點(diǎn)是（1，0，0）運(yùn)動(dòng)的二重擦邊分岔點(diǎn)和（1，1，0）運(yùn)動(dòng)的倍化?鞍結(jié)分岔點(diǎn)。當(dāng)ω遞增時(shí)，（n，1，0）（n=3，4，5）運(yùn)動(dòng)經(jīng)不連續(xù)的擦邊分岔產(chǎn)生混沌，并形成一個(gè)（n，1，0）運(yùn)動(dòng)與混沌共存的遲滯窗口，如圖9所示。圖10（a）為遲滯窗口內(nèi)（3，1，0）運(yùn)動(dòng)（紅色）與混沌（藍(lán)色）共存的相圖。遞增ω，當(dāng)ω=0.614374時(shí)，（3，1，0）運(yùn)動(dòng)的一條非碰撞軌線與碰撞面擦邊接觸，如圖10（b）所示。穿越擦邊分岔點(diǎn)，（3，1，0）運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為混沌。圖10（c）和（d）描述了（3，1，0）運(yùn)動(dòng)與混沌共存時(shí)的吸引域結(jié)構(gòu)及演化。離擦邊點(diǎn)越近，（3，1，0）運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性越弱，其初始條件的微小擾動(dòng)有可能使系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為混沌。

4 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)兩參數(shù)動(dòng)力學(xué)的影響

這一節(jié)討論單參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)在（ω，δ）?參數(shù)平面的動(dòng)力學(xué)的影響，數(shù)值仿真結(jié)果如圖11所示（圖題給出了改變的參數(shù)值，其余參數(shù)與參數(shù)（1）相同）。對(duì)比圖2和11可見(jiàn)，改變質(zhì)量參數(shù)m及剛度參數(shù)k1和k2，（n，1，0）和（n，1，1）（n≥2）運(yùn)動(dòng)的存在域的分布規(guī)律基本不變。因此，下面分析單參數(shù)變化對(duì)（1，p，q）運(yùn)動(dòng)的存在域及分布的影響。由圖2，11（a）和（b）可見(jiàn)，減小m，單碰周期運(yùn)動(dòng)的存在域朝ω增加的方向移動(dòng)，同時(shí)向大間隙區(qū)域延伸，使得參數(shù)區(qū)域H1內(nèi)的周期運(yùn)動(dòng)模式減少，（n，1，0）運(yùn)動(dòng)的穿越滑動(dòng)分岔線明顯延長(zhǎng)；（1，1，1）和（1，2，1）運(yùn)動(dòng)的存在域分布變得更加簡(jiǎn)單，切換滑動(dòng)分岔線明顯縮短；亞諧包含域向大間隙區(qū)域收縮。當(dāng)m=0.3時(shí)，亞諧包含域收縮到了H1以外的區(qū)域。減小k1，（1，1，0）運(yùn)動(dòng)的存在域面積逐漸減小，亞諧包含域向小間隙區(qū)域延伸；在ω>1的區(qū)域內(nèi)，（1，1，0）運(yùn)動(dòng)的存在域向下擴(kuò)展，（1，1，1）和（1，2，1）運(yùn)動(dòng)的存在域受到擠壓而減小，（1，1，0）運(yùn)動(dòng)的穿越滑動(dòng)分岔線逐漸縮短；在ω<1的區(qū)域內(nèi)，（1，1，1）和（1，2，1）運(yùn)動(dòng)的存在域分布變得更加復(fù)雜，并向大間隙區(qū)域延伸，切換滑動(dòng)分岔線明顯延長(zhǎng)。減小k2，在ω>1.5的區(qū)域內(nèi)，（1，1，1）運(yùn)動(dòng)的存在域向大間隙區(qū)域擴(kuò)展，使得（1，1，0）運(yùn)動(dòng)的存在域和亞諧包含域向上收縮；在ω<1.5的區(qū)域內(nèi)，（1，1，1）和（1，2，1）運(yùn)動(dòng)的存在域向小間隙區(qū)域收縮，切換滑動(dòng)分岔線明顯縮短。

5 周期黏滯運(yùn)動(dòng)的滑動(dòng)分岔

數(shù)值結(jié)果表明，當(dāng)k 2增加到k2≈0.78時(shí)，系統(tǒng)在低頻小間隙區(qū)域呈現(xiàn)更加豐富的動(dòng)力學(xué)。如圖12（a）所示，當(dāng)k2=0.9時(shí)，參數(shù)區(qū)域H2={0.2≤ω≤1， 0≤δ≤0.48}內(nèi)出現(xiàn)若干囊括（1，2，1），（1，2，2），（1，3，1）和（1，3，2）等黏滯型周期運(yùn)動(dòng)的呈柳葉狀有規(guī)律分布的參數(shù)島。這些參數(shù)島具有自相似特征。圖12（b）描述了邊界線的分岔類型，MS和SN分別表示多滑動(dòng)分岔線和鞍結(jié)分岔線，兩條不同類型滑動(dòng)分岔線的橫截相交點(diǎn)為余維二滑動(dòng)分岔點(diǎn)。由于系統(tǒng)在參數(shù)區(qū)域H2內(nèi)表現(xiàn)為周期一運(yùn)動(dòng)，即運(yùn)動(dòng)周期等于激振力周期不變，因此，為了辨識(shí)周期運(yùn)動(dòng)的碰撞次數(shù)和黏滯次數(shù)，圖13給出了ωtf/（2π）和ωts/（2π）隨ω沿圖12（b）所示線段u變化的單參數(shù)分岔圖，虛線表示分岔邊界。各模式周期一運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程如圖14（a1）～（e1）所示。圖14（a2）～（e2）分別為圖14（a1）～（e1）的局部放大。

由3.1節(jié)的分析可知，（1，1，1）與（1，2，1）運(yùn)動(dòng)的兩參數(shù)分界線為切換滑動(dòng)分岔線（SS）。增大ω，（1，1，1）運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為（1，2，2）運(yùn)動(dòng)，如圖13所示。（1，1，1）運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖14（a1）和（a2）所示，每次碰撞后，兩質(zhì)塊黏滯運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間，然后自由運(yùn)動(dòng)直至下次碰撞。隨著ω的增大，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖在（1，1，1）運(yùn)動(dòng)的黏滯相出現(xiàn)隆起現(xiàn)象，即兩質(zhì)塊在黏滯運(yùn)動(dòng)期間出現(xiàn)短暫的分離，如圖14（b1）和（b2）所示。由于該隆起出現(xiàn)在黏滯相的近似中間位置，使得系統(tǒng)在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的黏滯次數(shù)增加一次，（1，1，1）運(yùn)動(dòng)經(jīng)多滑動(dòng)分岔轉(zhuǎn)遷為（1，2，2）運(yùn)動(dòng)。因此，圖12中（1，1，1）與（1，2，2）運(yùn)動(dòng)的兩參數(shù)分界線即藍(lán)色區(qū)域與綠色區(qū)域之間的分界線為多滑動(dòng)分岔線（MS）。繼續(xù)增大ω，隆起的幅值和分離的時(shí)間逐漸增加，第二次（短暫分離后）黏滯期的時(shí)間逐漸縮短。同時(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖在第一次黏滯的開(kāi)始出現(xiàn)微小的隆起，如圖14（c1）和（c2）所示，使運(yùn)動(dòng)軌跡在黏滯相的開(kāi)始發(fā)生額外的切換轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)發(fā)生切換滑動(dòng)分岔產(chǎn)生（1，3，2）運(yùn)動(dòng)。因此，（1，2，2）與（1，3，2）運(yùn)動(dòng)的兩參數(shù)分界線為切換滑動(dòng)分岔線（SS）。進(jìn)一步增大ω，第二次黏滯期的時(shí)間減小為0，此次碰撞后由黏滯型轉(zhuǎn)遷為非黏滯型，（1，3，2）運(yùn)動(dòng)經(jīng)穿越滑動(dòng)分岔產(chǎn)生（1，3，1）運(yùn)動(dòng)，如圖14（d1）和（d2）所示。因此，（1，3，2）與（1，3，1）運(yùn)動(dòng)的兩參數(shù)分界線為穿越滑動(dòng)分岔線（CS）。（1，2，1）與（1，3，1）運(yùn)動(dòng)的兩參數(shù)分界線為擦邊分岔線（G）或鞍結(jié)分岔線（SN），兩條分岔線產(chǎn)生遲滯域。遲滯域內(nèi)共存周期運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖如圖14（e1）和（e2）所示，其中紅色線為（1，3，1）運(yùn)動(dòng)的軌跡，藍(lán)色線表示（1，2，1）運(yùn)動(dòng)。在圖12中，（1，2，1）運(yùn)動(dòng)與（1，2，2）運(yùn)動(dòng)的兩參數(shù)分界線為穿越滑動(dòng)分岔線（CS），與（1，3，2）運(yùn)動(dòng)的兩參數(shù)分界線為多滑動(dòng)分岔線（MS）。

Wagg［20］研究了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)顫碰黏滯運(yùn)動(dòng)的隆起現(xiàn)象，認(rèn)為隆起分岔在性質(zhì)上相似于摩擦振動(dòng)系統(tǒng)的多滑動(dòng)分岔。然而本文的研究發(fā)現(xiàn)，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的切換滑動(dòng)分岔和多滑動(dòng)分岔都表現(xiàn)為隆起分岔。隆起在黏滯相的發(fā)生位置不同，滑動(dòng)分岔模式不同。切換滑動(dòng)分岔對(duì)應(yīng)的隆起發(fā)生在黏滯相的開(kāi)始時(shí)刻，使系統(tǒng)在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的碰撞次數(shù)增加一次，而黏滯運(yùn)動(dòng)次數(shù)不變，且發(fā)生隆起的黏滯相時(shí)間ts在分岔點(diǎn)連續(xù)變化，如圖13（b）所示。多滑動(dòng)分岔對(duì)應(yīng)的隆起發(fā)生在黏滯相的近似中間位置，使系統(tǒng)在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的碰撞次數(shù)和黏滯運(yùn)動(dòng)次數(shù)各增加一次，且黏滯相時(shí)間ts在分岔點(diǎn)發(fā)生跳躍。

6 結(jié) 論

本文考慮塑性碰撞工況的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)，分析系統(tǒng)非光滑分岔的條件，辨識(shí)系統(tǒng)在（ω，δ）?參數(shù)平面的周期運(yùn)動(dòng)模式及存在域，研究相鄰周期運(yùn)動(dòng)的分岔特征及系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響，揭示碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的余維一穿越、切換和多滑動(dòng)分岔及余維二滑動(dòng)分岔行為。

（1） 塑性碰撞工況下，系統(tǒng)呈現(xiàn)的單沖擊周期運(yùn)動(dòng)有兩種模式，即非黏滯型（n，1，0）和黏滯型（n，1，1）（n=1，2，3，…）運(yùn)動(dòng)。（n，1，0）和（n，1，1）運(yùn)動(dòng)經(jīng)穿越滑動(dòng)分岔相互轉(zhuǎn)遷。

（2） 在（1，0，0）與（1，1，0）運(yùn)動(dòng)的（ω，δ）?存在域之間，存在兩類轉(zhuǎn)遷域：遲滯域和亞諧包含域。由于擦邊分岔的不連續(xù)性，亞諧包含域被一個(gè)窄遲滯域群包圍。相鄰遲滯域的連接點(diǎn)為二重擦邊分岔點(diǎn)和倍化?鞍結(jié)分岔點(diǎn)。

（3） 切換滑動(dòng)分岔和多滑動(dòng)分岔都表現(xiàn)為周期黏滯運(yùn)動(dòng)的隆起分岔，引起兩質(zhì)塊在黏滯運(yùn)動(dòng)期內(nèi)時(shí)而黏滯、時(shí)而跳動(dòng)。這種現(xiàn)象類似于機(jī)械系統(tǒng)的爬行或顫振，加劇振動(dòng)機(jī)械部件的疲勞，產(chǎn)生刺耳的噪音。因此，在設(shè)計(jì)和改造圖1所示塑性沖擊機(jī)械和裝置時(shí)，通過(guò)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的兩參數(shù)或多參數(shù)分岔分析可以確定其優(yōu)化參數(shù)，從而使系統(tǒng)在較寬激勵(lì)頻率范圍內(nèi)避免隆起分岔的發(fā)生。

本文的研究為塑性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的預(yù)測(cè)和控制、以及系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化選擇提供理論基礎(chǔ)。

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Two?parameter non?smooth bifurcations of a 2?DOF impact oscillator

L? Xiao?hong 1，2 ZHANG Kai?cheng 1ZHU Xi?feng 1LUO Guan?wei 2

1. School of Mechatronic Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China；

2. Key Laboratory of System Dynamics and Reliability of Rail Transport Equipment of Gansu Province， Lanzhou 730070， China

Abstract A two?degree?of?freedom oscillator system with plastic impact is considered. The existences of non?smooth bifurcations of the system are analyzed， and the periodic motion patterns and existence regions are identified in the （ω， δ）?parameter plane. The bifurcation characteristics between adjacent periodic motions and dynamics in the hysteresis and subharmonic inclusions regions which lie between the （ω， δ）?parameter domains of （1， 0， 0） and （1， 1， 0） motions are analyzed. The bifurcation behaviors such as codimension?1 crossing?sliding， switching?sliding and multi?sliding bifurcations and codimension?2 sliding bifurcation in the impact oscillator are revealed. In the plastic impact case， non?sticking and sticking single?impact periodic motions transit into each other through crossing?sliding bifurcation. There exists a group of narrow hysteresis domains along the boundary of the subharmonic inclusions region， and the connection point of adjacent domains of hysteresis is a double?grazing bifurcation and flip?fold bifurcation point. Switching?sliding and multi?sliding bifurcations of the impact oscillator are manifested as rising bifurcations， but there is a difference in the location of rises occurring in the sticking phase. In two?parameter plane， the intersection point of two types of sliding bifurcation curves is a codimension?2 sliding bifurcation point.

Keywords impact oscillator; two?parameter bifurcation; sliding bifurcation; sticking; grazing