饒勇平 張富博 雷鷹

摘要 由于結(jié)構(gòu)、材料不確定等因素，橋梁結(jié)構(gòu)往往具有隨機(jī)性，因此，基于橋梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)識(shí)別得到的橋梁所受移動(dòng)荷載也是不確定的，但相關(guān)研究還較少。為此，本文研究橋梁結(jié)構(gòu)為空間隨機(jī)場(chǎng)的情況下，有效識(shí)別移動(dòng)荷載的統(tǒng)計(jì)矩。提出的識(shí)別方法基于橋梁結(jié)構(gòu)隨機(jī)場(chǎng)的Karhunen?Loeve（KL）展開(kāi)、未知輸入的卡爾曼濾波與改進(jìn)的兩點(diǎn)估計(jì)法的結(jié)合。橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為空間相關(guān)的隨機(jī)場(chǎng)，通過(guò)KL展開(kāi)將隨機(jī)場(chǎng)轉(zhuǎn)化為多隨機(jī)變量的組合。在多隨機(jī)變量下的不確定傳播中，利用改進(jìn)的兩點(diǎn)估計(jì)法，將識(shí)別移動(dòng)荷載統(tǒng)計(jì)矩問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)確定性識(shí)別移動(dòng)荷載識(shí)別的逆問(wèn)題。采用未知輸入的卡爾曼濾波進(jìn)行確定性識(shí)別移動(dòng)荷載，可有效估計(jì)識(shí)別移動(dòng)荷載的統(tǒng)計(jì)矩。通過(guò)數(shù)值模擬算例驗(yàn)證了提出的估計(jì)方法的有效性。

關(guān)鍵詞 移動(dòng)荷載; Karhunen?Loeve展開(kāi); 改進(jìn)兩點(diǎn)估計(jì)法; 未知激勵(lì); 卡爾曼濾波

引 言

移動(dòng)荷載信息無(wú)論是在橋梁設(shè)計(jì)還是橋梁性能評(píng)估中都起著重要的作用［1?3］。然而，由于移動(dòng)荷載的變化在時(shí)間和空間上同時(shí)發(fā)生，很難直接測(cè)量車輛和橋梁之間的相互作用力［4］。因此，發(fā)展根據(jù)橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行移動(dòng)荷載的間接識(shí)別方法具有重要意義，近幾十年也得到了廣泛的研究。大多數(shù)研究將移動(dòng)荷載和橋梁結(jié)構(gòu)的相互作用視為確定性問(wèn)題［5?7］，例如Ding等［8］提出了一種基于平均加速度離散算法的離散力識(shí)別方法；Pan等［9］提出了一種改進(jìn)的Tikhonov正則化方法來(lái)處理離散反問(wèn)題；文獻(xiàn)［10］提出了未知輸入下的卡爾曼濾波方法（Kalman Filter with Unknown Input， KF?UI）， 可在部分觀測(cè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的情況下，同時(shí)識(shí)別結(jié)構(gòu)響應(yīng)狀態(tài)與未知輸入。

在實(shí)際工程中，由于加工、制造及環(huán)境的影響，橋梁結(jié)構(gòu)往往具有隨機(jī)性，因此考慮結(jié)構(gòu)隨機(jī)性的識(shí)別方法更為適用。目前，隨機(jī)性的考慮主要是將結(jié)構(gòu)參數(shù)視作隨機(jī)變量，如橋梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量線密度和阻尼系數(shù)為服從具體概率分布的隨機(jī)變量。結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機(jī)變量的不確定性傳播問(wèn)題中，Liu等［11］研究了作用在薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)上動(dòng)態(tài)集中荷載邊界的識(shí)別問(wèn)題；方圣恩等［12］提出了一種結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別的區(qū)間反演算法，通過(guò)構(gòu)建兩個(gè)方程來(lái)分別識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)的中值和結(jié)構(gòu)參數(shù)的半徑；Wang等［13］提出了一種基于時(shí)域的分布式動(dòng)態(tài)荷載識(shí)別方法。以上學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機(jī)變量的研究中，大都采用基于一階泰勒展開(kāi)的區(qū)間分析方法，展開(kāi)過(guò)程中舍棄了高階項(xiàng)，展開(kāi)項(xiàng)中用有限差分進(jìn)行靈敏度的求解，都會(huì)導(dǎo)致不確定傳播的計(jì)算結(jié)果存在誤差。

實(shí)際工程中橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)體現(xiàn)的隨機(jī)性往往為具有空間相關(guān)性的隨機(jī)場(chǎng)，隨機(jī)場(chǎng)在其場(chǎng)域內(nèi)的每個(gè)位置均為隨機(jī)變量，即包含無(wú)限個(gè)隨機(jī)變量，因此，基于橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機(jī)變量進(jìn)行移動(dòng)荷載的識(shí)別具有局限性。結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機(jī)場(chǎng)的不確定性問(wèn)題中，Wu和Law［14?15］對(duì)移動(dòng)荷載下的不確定性簡(jiǎn)支梁開(kāi)展了研究，研究中將結(jié)構(gòu)的彈性模量和質(zhì)量線密度視為空間相關(guān)的隨機(jī)場(chǎng)，通過(guò)KL展開(kāi)將隨機(jī)場(chǎng)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)隨機(jī)變量的組合。孫燕偉等［16］研究了彈性模量和密度為隨機(jī)場(chǎng)的懸臂梁模型，提出了在隨機(jī)系統(tǒng)下集中荷載均值和方差的識(shí)別改進(jìn)算法。上述研究方法中，需要大量的載荷識(shí)別，得到足夠的識(shí)別荷載樣本估計(jì)荷載的統(tǒng)計(jì)矩。因此，識(shí)別效率仍需提高。

在不確定性傳播的方法中，點(diǎn)估計(jì)方法 （Point Estimation Method， PEM）［17?20］是一種近似估計(jì)隨機(jī)函數(shù)統(tǒng)計(jì)矩的方法。與上述識(shí)別移動(dòng)荷載識(shí)統(tǒng)計(jì)矩的方法相比較，采用點(diǎn)估計(jì)方法，所需識(shí)別的樣本少，估計(jì)效率高。在解決實(shí)際問(wèn)題中，Hong等［19］提出的兩點(diǎn)估計(jì)法（2 Point Estimation Method， 2PEM）和三點(diǎn)估計(jì)法（3 Point Estimation Method， 3PEM）得到廣泛的使用［21?22］。由于三點(diǎn)估計(jì)法（3PEM）在非對(duì)稱概率密度的多隨機(jī)變量情況下會(huì)出現(xiàn)虛數(shù)解的問(wèn)題，兩點(diǎn)估計(jì)（2PEM）又存在精度低的不足，車玉龍等［23］提出了增加統(tǒng)一概率的改進(jìn)兩點(diǎn)估計(jì)法（Improved 2 Point Estimation Method， I2PEM），在增加點(diǎn)估計(jì)方法精度的同時(shí)又不增加高階矩的使用。

本文針對(duì)相關(guān)研究現(xiàn)狀，尤其是隨機(jī)結(jié)構(gòu)情況下識(shí)別逆問(wèn)題涉及不確定性傳播和逆問(wèn)題計(jì)算的雙環(huán)過(guò)程，計(jì)算效率低的問(wèn)題，研究橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為空間隨機(jī)場(chǎng)情況下識(shí)別移動(dòng)荷載統(tǒng)計(jì)矩的有效方法。提出的方法基于橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)的KL展開(kāi)、KF?UI識(shí)別和I2PEM的結(jié)合。通過(guò)KL展開(kāi)可以將橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)場(chǎng)轉(zhuǎn)化為多個(gè)隨機(jī)變量的組合。為了避免耗時(shí)的雙環(huán)過(guò)程，不確定性傳播采用I2PEM，可以將不確定性逆問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)確定性逆問(wèn)題。對(duì)移動(dòng)荷載識(shí)別的逆問(wèn)題，采用作者最近提出的基于數(shù)據(jù)融合的KF?UI方法［10］，可以在觀測(cè)橋梁結(jié)構(gòu)部分響應(yīng)的情況下，識(shí)別未知移動(dòng)荷載。最后，進(jìn)行確定性識(shí)別移動(dòng)荷載，可有效地估計(jì)移動(dòng)荷載的統(tǒng)計(jì)矩。本文通過(guò)數(shù)值模擬識(shí)別算例，驗(yàn)證所提出方法的有效性。

1 提出的識(shí)別方法

1.1 基于KL展開(kāi)考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)場(chǎng)

實(shí)際工程中橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)體現(xiàn)的隨機(jī)性往往為具有空間相關(guān)性的隨機(jī)場(chǎng)分布，隨機(jī)場(chǎng)在其場(chǎng)域內(nèi)的每個(gè)位置均為隨機(jī)變量，即包含無(wú)限個(gè)隨機(jī)變量。通過(guò)KL展開(kāi)，可將隨機(jī)場(chǎng)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)隨機(jī)變量的組合。

假設(shè)d（x，θ）是一個(gè)隨機(jī)場(chǎng)，其中x約束在場(chǎng)域D內(nèi)，θ是隨機(jī)事件O的空間。隨機(jī)場(chǎng)d（x，θ）在場(chǎng)域內(nèi)的均值部分表示為d?（x），隨機(jī)部分表示為d?（x，θ）。該隨機(jī)場(chǎng)的協(xié)方差函數(shù)可以用譜分解表示為

式中 x1和x2分別表示場(chǎng)域內(nèi)的兩個(gè)位置；λn和φn（x）分別表示協(xié)方差函數(shù)的特征值和特征函數(shù)，Ghanem和Spanos［24］證明了可以通過(guò)下面的積分方程來(lái)求解特征值和特征函數(shù)：

協(xié)方差函數(shù)C（x1，x2）是對(duì)稱的、正定的、有界的，其特征函數(shù)φn（x）是正交的，并且所有的特征函數(shù)形成了用來(lái)表示協(xié)方差函數(shù)C（x1，x2）的完備集合，特征函數(shù)φn（x）可以根據(jù)下式進(jìn)行歸一化

式中 δmn是克羅內(nèi)克函數(shù)，滿足：

隨機(jī)場(chǎng)d（x，θ）可以寫(xiě)成［25］：

式中 kd是KL展開(kāi)截?cái)囗?xiàng)的項(xiàng)數(shù)，由所截取的特征值之和占所有特征值總和的比例來(lái)確定［14?16］；ξn（θ）是不相關(guān)的隨機(jī)變量，當(dāng)d（x，θ）是一個(gè)高斯隨機(jī)場(chǎng)時(shí)，ξn（θ）具有以下特性［26?27］：

式中 E（?）表示對(duì)?取期望。

1.2 考慮橋梁結(jié)構(gòu)隨機(jī)性的改進(jìn)兩點(diǎn)估計(jì)法

本文研究的橋梁模型為Bernoulli?Euler簡(jiǎn)支梁，移動(dòng)荷載在結(jié)構(gòu)上以勻速運(yùn)動(dòng)，Bernoulli?Euler簡(jiǎn)支梁的模型如圖1所示。

在實(shí)際工程中，梁模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)往往是不確定的，在識(shí)別計(jì)算中，將會(huì)引起結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定到未知移動(dòng)荷載不確定的傳遞。采用點(diǎn)估計(jì)法，可以較有效地估計(jì)由于結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定導(dǎo)致的未知移動(dòng)荷載不確定性的統(tǒng)計(jì)矩。車玉龍等［23］針對(duì)傳統(tǒng)三點(diǎn)估計(jì)法（3PEM）和兩點(diǎn)估計(jì)法（2PEM）的不足，提出了改進(jìn)兩點(diǎn)估計(jì)法（I2PEM）。本文采用該方法，以結(jié)構(gòu)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)矩為輸入信息，移動(dòng)荷載的統(tǒng)計(jì)矩為輸出信息。用于未知移動(dòng)荷載識(shí)別的隨機(jī)結(jié)構(gòu)模型如下：

式中 fu為需要通過(guò)逆問(wèn)題識(shí)別的作用在橋梁的未知移動(dòng)荷載；S表示n維隨機(jī)變量，S=（S1，S2，S3，…，Sn）；y是觀測(cè)的橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)矢量，h（?）表示觀測(cè)方程。實(shí)際工況下，通過(guò)測(cè)量的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的許多樣本，統(tǒng)計(jì)得到響應(yīng)的均值作為上述逆問(wèn)題中觀測(cè)的響應(yīng)，進(jìn)行未知移動(dòng)荷載的識(shí)別。

從觀測(cè)方程y=h（fu，S）出發(fā)，可以得到識(shí)別荷載的逆問(wèn)題表達(dá)式：

式中 h←（?）表示基于結(jié)構(gòu)響應(yīng)y和隨機(jī)變量S對(duì)未知移動(dòng)荷載fu進(jìn)行識(shí)別的逆問(wèn)題函數(shù)。

令μk和σk分別表示隨機(jī)變量Sk的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，M'k，i（Sk）表示隨機(jī)變量Sk的第i階中心矩，i=1，2，3，…；k=1，2，3，…，n。

式中 fSk（Sk）為隨機(jī)變量Sk的概率密度函數(shù)。

令λk，i為M'k，i（Sk）和σik的比，即：

式中 λk，1=0，λk，2=1。

值得注意的是，若隨機(jī)變量Sk服從高斯分布，第i階中心矩M'k，i（Sk）滿足

結(jié)合式（10）和（11），可以得出服從高斯分布的隨機(jī)變量Sk的偏斜系數(shù)λk，3=0。

隨機(jī)變量Sk在點(diǎn)估計(jì)法中第i個(gè)選點(diǎn)sk，i可以表述為：sk，i=μk+ξk，iσk，i=1，2；k=1，2，3，…，n，其中ξk，i為隨機(jī)變量Sk在點(diǎn)估計(jì)法中的第i個(gè)選點(diǎn)的系數(shù)。令pk，1和pk，2分別對(duì)應(yīng)于sk，1和sk，2的兩個(gè)待定的集中概率。此時(shí)，每個(gè)隨機(jī)變量Sk都可以建立如下四個(gè)方程：

同時(shí)，兩個(gè)集中概率pk，1和pk，2滿足：

聯(lián)立式（12）和（13）可求解得到：

多隨機(jī)變量下fu的第j階矩即為：

上述2PEM［19］又稱2n集合方案，2PEM需要用到隨機(jī)變量的前三階中心矩。理論上，點(diǎn)估計(jì)方法中用到的點(diǎn)數(shù)越多，待估值的準(zhǔn)確度越高。但是，隨著估計(jì)點(diǎn)數(shù)的增多，需要用到隨機(jī)變量的更高階中心矩，高階中心矩會(huì)使隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)位置和權(quán)重系數(shù)的求解出現(xiàn)非實(shí)值，標(biāo)準(zhǔn)位置和權(quán)重系數(shù)沒(méi)有解析解。對(duì)此，車玉龍等［23］提出了改進(jìn)的兩點(diǎn)估計(jì)方法（I2PEM），增加估計(jì)點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)以提高估計(jì)準(zhǔn)確度，但不需要用到隨機(jī)變量的高階中心矩。I2PEM基于上面描述的2PEM，對(duì)每個(gè)隨機(jī)變量Sk新增三個(gè)點(diǎn)，其中兩個(gè)為同一概率的估計(jì)點(diǎn)，另一個(gè)為均值估計(jì)點(diǎn)。

新增的兩個(gè)同一概率的估計(jì)點(diǎn)為：

式中 隨機(jī)變量Sk新增的第i個(gè)位置s'k，i為s'k，i=μk+ξ'k，iσk，ξ'k，i為隨機(jī)變量Sk新增的第i個(gè)標(biāo)準(zhǔn)位置；p'k，1和p'k，2分別對(duì)應(yīng)于sk，1和sk，2的兩個(gè)新增權(quán)重系數(shù)。

每個(gè)隨機(jī)變量Sk新增一個(gè)均值估計(jì)點(diǎn)，即重復(fù)進(jìn)行n次同樣的識(shí)別運(yùn)算（fu=h←（μ1，μ2，μ2，…，μn）），故對(duì)待估值的計(jì)算只需增加一個(gè)權(quán)重系數(shù)p0=1的均值點(diǎn)。結(jié)合式（15）和（16），對(duì)多隨機(jī)變量下fu第j階矩進(jìn)行估計(jì)：

上式即為I2PEM的公式，又稱為4n+1集合方案。原有的兩點(diǎn)用到了隨機(jī)變量的前三階中心矩，新增三點(diǎn)用到了隨機(jī)變量的前兩階中心矩，可以看出4n+1集合方案無(wú)需隨機(jī)變量的高階中心矩，即可增加估計(jì)點(diǎn)數(shù)。

1.3 基于橋梁部分響應(yīng)的移動(dòng)荷載識(shí)別

基于橋梁部分響應(yīng)的識(shí)別方法中，采用文獻(xiàn)［10］提出的KF?UI，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程如下：

式中 x，x˙和x¨分別代表結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度；K和M分別為簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；C為結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，研究中采用瑞利阻尼；fu=[fu1fu2]T為未知的兩個(gè)移動(dòng)荷載，ηu是對(duì)應(yīng)于未知移動(dòng)fu的定位矩陣。

通過(guò)設(shè)置狀態(tài)向量Z=[xTx˙T]T，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以表示為：

式中 G=[0?M?1KI?M?1C]，E=[0M?1ηu]。

考慮系統(tǒng)模型誤差wk，其均值為0，方差為Q，離散式（19）可以得到下式：

式中 Ak=eGΔt，Bk=（Ak?I）（GΔt）?1（EΔt）。

系統(tǒng)的觀測(cè)方程可以表示為：

式中 yk+1代表觀測(cè)量，即觀測(cè)結(jié)構(gòu)應(yīng)變響應(yīng)和加速度響應(yīng)；Ls和La分別表示應(yīng)變和加速度的位置觀測(cè)矩陣；vk+1是觀測(cè)誤差，其均值為0，方差為R；Θ表示結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換矩陣。

結(jié)構(gòu)狀態(tài)的時(shí)間預(yù)測(cè)和觀測(cè)更新如下所示：

估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣為：

通過(guò)最小化P?Zk+1|k+1的跡來(lái)估計(jì)卡爾曼增益矩陣Kk+1：

將其代入式（25）后得出以下結(jié)果：

根據(jù)式（23），估計(jì)輸出為：

然后，將觀測(cè)誤差定義為：

基于最小二乘法估計(jì)未知移動(dòng)荷載fuk+1：

相應(yīng)地，未知力的估計(jì)誤差協(xié)方差由下式給出：

交叉項(xiàng)的協(xié)方差為：

上述KF?UI利用橋梁部分觀測(cè)的應(yīng)變響應(yīng)和加速度響應(yīng)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)未知移動(dòng)荷載的識(shí)別。

結(jié)合上一節(jié)的I2PEM，隨機(jī)變量Sk的第i個(gè)位置sk，i為sk，i=μk+ξk，iσk，i=1，2；k=1，2，3，…，n，每個(gè)位置sk，i的移動(dòng)荷載識(shí)別如下：

同理，隨機(jī)變量Sk新增的第i個(gè)位置s'k，i為s'k，i=μk+ξ'k，iσk，i=1，2；k=1，2，3，…，n，每個(gè)位置s'k，i的移動(dòng)荷載識(shí)別如下：

移動(dòng)荷載在隨機(jī)變量均值處的識(shí)別如下：

多隨機(jī)變量下移動(dòng)荷載fu第j階矩為：

1.4 橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機(jī)場(chǎng)的移動(dòng)荷載統(tǒng)計(jì)矩的識(shí)別

綜合1.1節(jié)至1.3節(jié)描述，橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機(jī)場(chǎng)的移動(dòng)荷載統(tǒng)計(jì)矩的識(shí)別步驟如下：

（1 ）對(duì)服從隨機(jī)場(chǎng)的橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行KL展開(kāi)，將隨機(jī)場(chǎng)轉(zhuǎn)化為若干隨機(jī)變量的組合；

（2） 每個(gè)隨機(jī)變量Sk的λk，k=1，2，3，…，n；利用式（14）計(jì)算隨機(jī)變量的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)位置、兩個(gè)權(quán)重系數(shù)，然后計(jì)算其位置sk，i=μk+ξk，iσk，i=1，2；利用式（16）計(jì)算隨機(jī)變量的兩個(gè)新增標(biāo)準(zhǔn)位置、兩個(gè)新增權(quán)重系數(shù)，然后計(jì)算其新增位置s'k，i=μk+ξ'k，iσk，i=1，2；

（3） 基于橋梁結(jié)構(gòu)的部分響應(yīng)，采用KF?UI對(duì)兩個(gè)位置，兩個(gè)新增位置，隨機(jī)變量均值位置進(jìn)行移動(dòng)荷載識(shí)別計(jì)算，根據(jù)式（37）估計(jì)識(shí)別的移動(dòng)荷載的統(tǒng)計(jì)矩；

（4） 采用蒙特卡洛方法，在橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)的情況下利用結(jié)構(gòu)部分響應(yīng)進(jìn)行識(shí)別，模擬得到真實(shí)值。

2 數(shù)值模擬驗(yàn)證

本節(jié)采用的Bernoulli?Euler簡(jiǎn)支梁如圖2所示，劃分為10個(gè)等長(zhǎng)梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)從左到右依次編號(hào)。簡(jiǎn)支梁總長(zhǎng)度L=15 m，每個(gè)梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度為L(zhǎng)e=1.5 m。梁系統(tǒng)中共有20個(gè)自由度，包含9個(gè)垂直自由度和11個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度。結(jié)構(gòu)截面慣性矩Ie=2.304 m4，梁橫截面高度h=2.4 m。算例中采用瑞利阻尼，前兩階阻尼比取值為0.02。簡(jiǎn)支梁的彈性模量E和質(zhì)量線密度m為隨機(jī)場(chǎng)，均服從高斯分布。彈性模量E的均值為5×1010 Pa，變異系數(shù)為5%。質(zhì)量線密度m的均值為1.2×105 kg/m，變異系數(shù)也為5%。彈性模量E和質(zhì)量線密度m具有空間相關(guān)性，兩者的協(xié)方差函數(shù)均假定為指數(shù)型模型［16］：

式中 σ為彈性模量E和質(zhì)量線密度的標(biāo)準(zhǔn)差；a為空間相關(guān)長(zhǎng)度，本算例中取為結(jié)構(gòu)單元的長(zhǎng)度。

以形成簡(jiǎn)支梁模型的剛度矩陣為例，彈性模量E為隨機(jī)場(chǎng)時(shí)，對(duì)其進(jìn)行KL展開(kāi)：

式中 E?（x）和E?（x，θ）分別表示隨機(jī)場(chǎng)E的均值部分和隨機(jī)部分；kE是KL展開(kāi)截?cái)囗?xiàng)，算例中確定為20；λi1和φi1（x）分別表示協(xié)方差函數(shù)的特征值和特征函數(shù)。

梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚾缦拢?/p>

式中 K?e和K?e分別表示單元?jiǎng)偠染仃嚨木挡糠趾碗S機(jī)部分；B為對(duì)應(yīng)的形函數(shù)。

將式（39）代入式（41）可得出：

則單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?/p>

同理可得到單元質(zhì)量矩陣如下

分別對(duì)單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧|(zhì)量矩陣進(jìn)行組裝，可得到整體剛度矩陣和整體質(zhì)量矩陣。阻尼矩陣采用瑞利阻尼。

移動(dòng)荷載由車輛重量和簡(jiǎn)諧荷載疊加而成，其時(shí)程表達(dá)式為：

式中 fu1（t）表示前輪移動(dòng)荷載；fu2（t）表示后輪移動(dòng)荷載。兩個(gè)移動(dòng)荷載的速度為v=15 m/s，前后輪距l(xiāng)a=3 m。

未知移動(dòng)荷載統(tǒng)計(jì)矩識(shí)別值與準(zhǔn)確值的相對(duì)誤差表示為：

式中 ∥?∥2表示2?范數(shù)；Sf為移動(dòng)荷載的統(tǒng)計(jì)矩；下標(biāo)“identified”和“exact”分別表示識(shí)別值和真實(shí)值。采用蒙特卡洛方法，在結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)的情況下利用結(jié)構(gòu)部分響應(yīng)模擬識(shí)別10000次得到真實(shí)值。

采樣持續(xù)時(shí)間為0.8 s，傳感器采樣頻率為1000 Hz。移動(dòng)荷載后輪位于簡(jiǎn)支梁左端時(shí)采樣開(kāi)始，移動(dòng)荷載前輪行駛至簡(jiǎn)支梁末端時(shí)采樣結(jié)束。加速度傳感器部署在結(jié)構(gòu)第2，4，5，6，7，9，10節(jié)點(diǎn)，應(yīng)變傳感器部署在結(jié)構(gòu)第2，5，6，10節(jié)點(diǎn)。且獲取的傳感器信號(hào)都受到2% RMS噪聲。

在多重隨機(jī)場(chǎng)（彈性模量、質(zhì)量線密度）下，利用KF?UI和I2PEM，可得到未知移動(dòng)荷載的前三階矩如圖3～8所示。

圖3～5為前輪移動(dòng)荷載統(tǒng)計(jì)矩（一階矩、二階矩和三階矩）的識(shí)別情況，圖6～8為后輪移動(dòng)荷載統(tǒng)計(jì)矩的識(shí)別圖。圖中表明，利用I2PEM和KF?UI得到的識(shí)別值與準(zhǔn)確值非常接近，說(shuō)明了即便是存在雙隨機(jī)場(chǎng)（彈性模量和質(zhì)量線密度），I2PEM結(jié)合KF?UI識(shí)別算法仍然具備有效性。

表1研究了結(jié)構(gòu)雙隨機(jī)場(chǎng)下，簡(jiǎn)支梁在I2PEM方法下前后輪移動(dòng)荷載統(tǒng)計(jì)矩識(shí)別的相對(duì)誤差。橫向研究對(duì)象包含識(shí)別的一階矩、二階矩和三階矩，豎向研究對(duì)象分別為前后輪移動(dòng)荷載的識(shí)別。移動(dòng)荷載統(tǒng)計(jì)矩識(shí)別的相對(duì)誤差隨著階數(shù)提高而增大，但是前輪移動(dòng)荷載識(shí)別的最大相對(duì)誤差不超過(guò)1.5%，后輪移動(dòng)荷載識(shí)別的最大相對(duì)誤差不超過(guò)0.9%，說(shuō)明所用識(shí)別算法的有效性。

3 結(jié) 論

本文考慮了橋梁結(jié)構(gòu)隨機(jī)性識(shí)別的移動(dòng)荷載統(tǒng)計(jì)矩有效估計(jì)。隨機(jī)結(jié)構(gòu)的逆問(wèn)題研究通常涉及帶有不確定性傳播和逆問(wèn)題計(jì)算的雙環(huán)過(guò)程，提出的方法基于橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)的KL展開(kāi)與KF?UI識(shí)別和I2PEM的結(jié)合，首先通過(guò)KL展開(kāi)將服從空間分布的隨機(jī)場(chǎng)（彈性模量和質(zhì)量線密度）轉(zhuǎn)化為若干個(gè)隨機(jī)變量的組合。然后基于I2PEM對(duì)每個(gè)不確定隨機(jī)變量的近似位置進(jìn)行選擇，將不確定性逆問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多個(gè)確定性逆問(wèn)題。最后基于橋梁結(jié)構(gòu)的部分響應(yīng)對(duì)每個(gè)隨機(jī)變量選擇的位置進(jìn)行確定性的移動(dòng)荷載識(shí)別，估計(jì)移動(dòng)荷載的統(tǒng)計(jì)矩。利用移動(dòng)荷載在梁橋模型下的數(shù)值模擬，驗(yàn)證了橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機(jī)場(chǎng)情況下識(shí)別的移動(dòng)荷載統(tǒng)計(jì)矩的估計(jì)方法的有效性。

本文考慮橋梁結(jié)構(gòu)的彈性模量和質(zhì)量線密度為服從高斯分布的隨機(jī)場(chǎng)，實(shí)際工程下橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)服從其他類型分布時(shí)，如非高斯分布，可用混沌多項(xiàng)式展開(kāi)，類似地進(jìn)行移動(dòng)荷載識(shí)別的統(tǒng)計(jì)矩的有效估計(jì)。本文中采用點(diǎn)估計(jì)方法進(jìn)行橋梁移動(dòng)荷載統(tǒng)計(jì)矩的估計(jì)，由于點(diǎn)估計(jì)方法在隨機(jī)變量均值處采用泰勒展開(kāi)，當(dāng)隨機(jī)變量的變異系數(shù)較大時(shí)，統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)精度會(huì)受到影響。這需要進(jìn)一步研究加以改進(jìn)。另外，本文假定車輛重量為確定，也需研究拓展到考慮車輛荷載為隨機(jī)變量的實(shí)際情況。

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Identification of statistical moments of moving loads on bridge structures with spatial random fields

RAO Yong-pingZHANG Fu-boLEI Ying

School of Architecture and Civil Engineering， Xiamen University， Xiamen 361005， China

Abstract Bridge structures are often of random characters due to the uncertainty of materials and other factors. Therefore， the identified moving loads on bridges based on the responses of the bridge structure are also uncertain. However， there are only a few of relevant researches. In this paper， its proposed to explore the effective identification of the statistical moments of the identified moving loads on bridge structures with random fields. The proposed method is based on the combination of Karhunen-Loeve （KL） expansion of the random fields of bridge structural parameters， Kalman filter with unknown input （KF-UI） and the improved two-point estimation method （I2PEM）. First， the spatially correlated random fields of bridge structural parameters are transformed into a combination of multiple random variables through KL expansion. Then， in the uncertainty propagation of multiple random variables， the I2PEM is adopted so the uncertain inverse problem is transformed into several deterministic inverse problems. Finally， the identification of moving load based on KF-UI is performed on the selected points of each random variable， and the statistical moments of the moving loads are efficiently estimated. The proposed estimation method is successfully verified by a numerical simulation example.

Keywords moving load; Karhunen-Loeve expansion; improved two-point estimation; unknown inputs; Kalman filter