苗妮,張建文,王旦霞

(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 晉中 030600)

1.引言

Cahn-Hilliard方程最初由Cahn和Hilliard在非線性系統(tǒng)的二元混合物中用來(lái)描述相的分離和粗化現(xiàn)象[1],后來(lái)在材料力學(xué)領(lǐng)域中也有很廣泛的應(yīng)用[2?3].

粘性Cahn-Hilliard方程是在經(jīng)典Cahn-Hilliard方程中添加了粘性項(xiàng)βut,其中β >0.它是由Novick-Cohen提出來(lái)的一種具有慢松弛變量的相分離耦合的連續(xù)模型,近來(lái)在流體動(dòng)力學(xué)中引起了更多的關(guān)注.本文研究的粘性Cahn-Hilliard方程[4]如下:

其中u表示濃度場(chǎng),?是一個(gè)與平衡界面厚度有關(guān)的正數(shù),w代表化學(xué)勢(shì)能,β是粘性系數(shù),? ?Rd,邊界??滿(mǎn)足利普希茨條件,n是邊界??上單位外法向量,f(u)=(u2?1)u是雙阱勢(shì)函數(shù)F(u)=的導(dǎo)數(shù).Cahn-Hilliard方程總能量可以記作

Cahn-Hilliard方程是一個(gè)非線性的拋物型偏微分方程,在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,處理擴(kuò)散項(xiàng)和非線性項(xiàng)非常困難.為了解決上述問(wèn)題,半隱方法[5]被提出,即方程中的線性項(xiàng)被隱式處理,非線性項(xiàng)被顯式處理,但它的穩(wěn)定性不是很好,往往需要很小的時(shí)間步長(zhǎng).為了加快計(jì)算的速度,不變能量二次化(IEQ)方法[6]和標(biāo)量輔助變量(SAV)方法[7]被提出,但是又需要引入更多的輔助變量.后來(lái)Eyre提出了一種凸分裂方法[8],即對(duì)于凸的部分作隱式處理,對(duì)于凹的部分作顯式處理,這樣得到的格式是能量穩(wěn)定的,但是它在時(shí)間上是一階精確的.近年來(lái)二階精確(時(shí)間)的數(shù)值格式受到了極大的關(guān)注,然而,二階格式的研究卻很少.因此,結(jié)合凸分裂方法,本文對(duì)粘性Cahn-Hilliard方程提出了二階數(shù)值逼近,對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)采用二階向后差分(BDF)格式.

本文內(nèi)容安排如下: 第2節(jié)給出粘性Cahn-Hilliard方程的弱形式和離散格式;第3節(jié)證明了格式的能量穩(wěn)定性;第4節(jié),給出有限元解誤差估計(jì)的理論分析;第5節(jié),通過(guò)時(shí)間收斂階、空間收斂階和相分離的數(shù)值算例,驗(yàn)證了格式的收斂性和有效性;第6節(jié),進(jìn)行了總結(jié).

2.離散格式

3.穩(wěn)定性分析

在這一節(jié),將對(duì)提出的全離散格式進(jìn)行穩(wěn)定性分析.

凹的部分寫(xiě)成

利用Cauchy-Schwarz不等式得

結(jié)合上述式子,當(dāng)0<τ <2?2時(shí),得到

根據(jù)自由能的定義(3.1),則定理得證.

推論3.1設(shè)Ξn ≤C0,存在常數(shù)C >0,有下面的估計(jì)式成立

證對(duì)任意的n,將(3.2)式從1到N ?1求和有

則估計(jì)式證畢.

接下來(lái),對(duì)n=1時(shí)刻的全離散格式(2.6)進(jìn)行穩(wěn)定性分析.

則對(duì)任意的τ、?>0,滿(mǎn)足如下的能量耗散定律

將(3.17)和(3.18)相加得

利用下面的等式

對(duì)于凸的部分得

對(duì)于凹的部分可以推出

結(jié)合以上等式得到

根據(jù)自由能的定義(3.15),則定理得證.

4.誤差估計(jì)

在本節(jié),將對(duì)全離散格式(2.5)進(jìn)行誤差估計(jì)的理論分析.首先做出如下正則性假設(shè)

為了之后證明的簡(jiǎn)便,引入下面的記號(hào)

首先,引入下面定義和引理.

定義4.1H?1的范數(shù)定義如下

引理4.1Ritz投影滿(mǎn)足

若p=q=2,則稱(chēng)為Cauchy-Schwarz不等式.

引理4.3(離散的Gronwall不等式) 設(shè)C0,?t是正數(shù),且ak,bk,ck,dk滿(mǎn)足下面條件的非負(fù)序列

接下來(lái),將進(jìn)行誤差估計(jì)的分析.

根據(jù)Ritz投影和離散拉普拉斯算子?h,得

接下來(lái)依次估計(jì)Ji.對(duì)于J1,根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式得

對(duì)于J2,根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式得

對(duì)于J3,根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式得

對(duì)于J4,根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和引理4.1得

對(duì)于J5,根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式得

對(duì)于J6,根據(jù)三角不等式得

接下來(lái)我們對(duì)I1-I4進(jìn)行估計(jì).對(duì)于I1,根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和引理4.1得

對(duì)于I2,根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和引理4.1得

其中C1是與h和τ無(wú)關(guān)的正常數(shù).對(duì)于I3,根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式得

對(duì)于I4,根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式得

其中C2、C3是與h和τ無(wú)關(guān)的正常數(shù).將I1-I4全部相加得

結(jié)合上述不等式得

5.數(shù)值算例

在這一節(jié),采用一些數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證格式的收斂性和可靠性.在下面的模擬中,均采用P2有限元空間,使用軟件Freefem++進(jìn)行數(shù)值模擬[9].

表5.1-5.3給出了H1范數(shù)下的誤差和空間收斂階,初始條件為u=cos(πx)cos(πy).參數(shù)采用?=0.01,0.05,0.10,β=0.1,1.結(jié)果證明的空間收斂階趨于2.我們也給出不同參數(shù)ε,β對(duì)誤差和收斂階影響的結(jié)果.

表5.1 誤差和空間收斂階:ε=0.01

表5.2 誤差和空間收斂階:ε=0.05

表5.4 誤差和時(shí)間收斂階:ε=0.01

表5.5 誤差和時(shí)間收斂階:ε=0.09

表5.4-5.6給出了H1范數(shù)下的誤差和時(shí)間收斂階,初始條件為u=0.2 sinxsiny,參數(shù)采用?=0.01,0.09,0.10.結(jié)果表明‖‖H1的時(shí)間收斂階都趨于2,我們也給出不同參數(shù)下ε,β對(duì)誤差和收斂階影響的結(jié)果.

最后,為了更好的觀察數(shù)值解的變化過(guò)程,在本實(shí)驗(yàn)?zāi)M了粘性Cahn-Hilliard方程的相分離過(guò)程,如圖5.1-5.6,計(jì)算區(qū)域在[0,1]×[0,1],參數(shù)?=0.1和β=1.初始條件取隨機(jī)值u=2rand()?1,其中rand∈[0,1].

圖5.1 T=0.001

圖5.3 T=0.05

圖5.4 T=0.1

圖5.5 T=0.3

圖5.6 T=2

6.總結(jié)

本文主要提出了一種基于凸分裂方法的粘性Cahn-Hilliard方程二階向后差分格式(BDF)的數(shù)值逼近,然后進(jìn)行了能量穩(wěn)定性和收斂性的理論分析,最后進(jìn)行了一些數(shù)值算例驗(yàn)證了格式的可靠性.