由變截面拱圈的截面變化方式引入，依據(jù)微積分弧微分公式計(jì)算曲線長度的原理，推導(dǎo)出懸鏈線拱軸線長度的計(jì)算公式無法用初等函數(shù)表示，由此引入數(shù)值積分的方法求解軸線長度，進(jìn)而深入了解自適應(yīng)辛普森積分法，采用Excel中的Visual Basic語言自編程序驗(yàn)證理論充分可行。

懸鏈線； 變截面； 合理拱軸線； 自適應(yīng)辛普森積分； Visual Basic

U448.22+5 A

［定稿日期］2022-03-23

［作者簡介］白高（1995—），男，本科，助理工程師，從事市政、公路橋梁設(shè)計(jì)工作。

拱橋具有獨(dú)特的山區(qū)地形適應(yīng)能力、強(qiáng)大的跨越能力以及可靠的使用性能，已經(jīng)成為我國公路、鐵路廣泛使用的一種橋型。拱橋主拱圈作為主要受力構(gòu)件，起著傳遞和承受荷載的重要作用，拱橋主拱圈線形又對主拱圈的受力合理性、建設(shè)經(jīng)濟(jì)性起著至關(guān)重要的作用，拱軸線常用類型有圓弧線、拋物線、懸鏈線。圓弧線適用于承受徑向均布荷載的結(jié)構(gòu)，圓弧線拱在水工結(jié)構(gòu)中多見，在橋梁結(jié)構(gòu)中為施工方便，圓弧線多用于跨徑20 m以下的小跨徑拱橋；拋物線形拱軸線適用于拱圈承受均布荷載，理論上拋物線適用空腹式拱；懸鏈線形拱軸線適合承受拱頂至拱腳連續(xù)變化的荷載，是實(shí)腹式拱橋的合理拱軸線。雖然空腹式拱橋采用懸鏈線形拱軸線在恒載作用下壓力線與拱軸線存在偏離，但計(jì)算表明該偏離通常對拱圈控制截面受力是有利的，并且，僅需使拱軸線與恒載壓力線在拱頂、1/4跨徑點(diǎn)和拱腳五點(diǎn)重合即可實(shí)現(xiàn)拱內(nèi)彎矩最小化，因此，懸鏈線是目前大、中跨徑拱橋采用最普遍的拱軸線形［1］。

對大跨徑拱橋，拱圈截面慣性矩采用拱頂至拱腳變化的方式，拱圈慣性矩變化通常是為了適應(yīng)拱內(nèi)內(nèi)力變化，慣性矩的變化通常表現(xiàn)為拱圈高度的變化（圖1），拱圈高度的合理變化有利于充分發(fā)揮拱橋的每個截面的材料強(qiáng)度［2］。對于無鉸拱，通常根據(jù)李特公式（Ritter 公式［1］）來改變截面慣性矩，在設(shè)計(jì)工作中，直接應(yīng)用李特公式逐個計(jì)算截面高度不便操作，原因是工程中拱圈截面形狀復(fù)雜、不同的材料在截面中分布的規(guī)律性與截面高度之間的關(guān)系無法通過簡單的數(shù)學(xué)模型描述（板拱除外），因此對復(fù)雜截面李特公式不能直接快速得到截面高度；為簡單實(shí)用起見，設(shè)計(jì)大跨徑拱橋時工程師常采用沿拱軸線長度（弧線）方向，拱圈截面高度采用拋物線漸變的方式，即拱圈截面高度是拱軸線弧長的拋物線函數(shù)，這就是要解決的問題：如何計(jì)算變截面中各變化點(diǎn)的截面高度，得到拱圈設(shè)計(jì)坐標(biāo)。

將自適應(yīng)辛普森算法的原理通過Excel中VBA語言編制成程序，將程序計(jì)算結(jié)果與實(shí)際工程中的設(shè)計(jì)值對比驗(yàn)證，論證方法的可行性和正確性。

1 理論計(jì)算原理

一元函數(shù)積分計(jì)算原理是牛頓-萊布尼茲原理，即找到被積函數(shù)的原函數(shù)，將積分上下限代入原函數(shù)作差，這是微積分的基本原理。牛頓法計(jì)算定積分的前提是被積函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，下面討論懸鏈線方程（圖2）。

由《橋梁工程》教材［1］，懸鏈線的方程為式（1）。

y=fm-1（coshkξ-1）（1）

其中：

k=cosh-1m=ln（m+m2+1）（2）

其中：

ξ=xl1=xl/2=2xl（3）

由《高等數(shù)學(xué)》［3］教材得懸鏈線的弧微分為：

ds=1+y′2dx（4）

將式（1）、式（3）代入式（4），借助數(shù)學(xué)專業(yè)程序Wolfram Mathematica 12.1計(jì)算得到式（4），結(jié)果為式（5）。

ds=1+4f2k2Sin（2kx/l）2l2（m-1）2dx（5）

于是弧長計(jì)算的原函數(shù)用Wolfram Mathematica 12.1程序計(jì)算為：

∫1+4f2k2Sin2kxl2l2（m-1）2dx=-lEllipticE2ikxl，4f2k2l2（m-1）22k+C（6）

式（6）中i為虛數(shù)符號，EllipticEφ，m為第二類橢圓積分，第二類橢圓積分是無法通過初等函數(shù)給出解析式的，牛頓法解決不了這個問題。

考慮用數(shù)值積分來解決問題，一元函數(shù)積分幾何意義是函數(shù)y=f（x）的圖形，在積分上下限區(qū)間上與x軸所圍成的曲邊梯形的面積（圖3）。數(shù)值積分的目的還是求這個曲邊梯形的面積，并且需要滿足一定的精度要求。

［a，b］是一個較小的區(qū)間，見圖4，由于［a，b］區(qū)間很小，［a，b］中曲邊梯形的面積可以近似采用所示的梯形陰影面積來表示，即∫baf（x）dx≈b-a2［f（a）+f（b）］=（b-a）12f（a）+12f（b），這就是數(shù)值計(jì)算梯形公式的原理。

上式中a、b稱積分點(diǎn)，f（a）、f（b）是積分點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值，2個“12”是積分點(diǎn)處函數(shù)值所占的權(quán)重，顯然梯形公式的核心是求2個積分點(diǎn)的函數(shù)值的加權(quán)平均值；加權(quán)平均值越接近［a，b］內(nèi)f（x）的真實(shí)平均值，計(jì)算精度也就越高。由此想到可以在［a，b］間等距插入有限個節(jié)點(diǎn)x0，x1…xn，然后采用合適的權(quán)值A(chǔ)0，A1，…，An，然后令（b-a）∑nk=0Akf（xk）更加精確地表達(dá)陰影部分的面積，觀察上式Ak f（xk）可利用n次拉格朗日型插值多項(xiàng)式構(gòu)造［4］，得到牛頓-柯特斯公式見式（7）。

I（f）=（b-a）∑nk=0C（n）kf（xk）（7）

C（n）k為柯特斯系數(shù)，如n=1時，C（1）0=12，C（1）1=12，這就是梯形公式，當(dāng)n=2時，C（2）0=16，C（2）1=46，C（2）2=16，這時得到的公式稱為辛普森公式［5］見式（8）。

I（f）=（b-a）6f（a）+4fa+b2+f（b）（8）

牛頓-柯特斯公式計(jì)算積分的精度不但與區(qū)間b-a的大小有關(guān)，與區(qū)間b-a內(nèi)所劃分的節(jié)點(diǎn)數(shù)n也有關(guān)（n值越大越精確，但n≥8時，牛頓-柯特斯公式計(jì)算誤差不穩(wěn)定）［6］，現(xiàn)今對n=2時的辛普森公式研究已經(jīng)十分成熟，便于編程應(yīng)用。

設(shè)拱軸線的曲線長度積分區(qū)間為［x1，x2］，（x1，x2∈0，l/2，x1

如何控制積分區(qū)間的劃分是一個重要的問題，令積分區(qū)間［a，b］中點(diǎn)為c=a+b2，用S（a，c）表示采用辛普森公式計(jì)算區(qū)間［a，c］的積分值，S（a，b）、S（c，b）同理表示用辛普森公式計(jì)算的不同區(qū)間的積分值，由數(shù)值分析的知識可以得到S（a，b）的絕對誤差近似計(jì)算為［4］式（9）。

eps=|S（a，b）-（S（a，c）+S（c，b））|15（9）

將eps作為程序循環(huán)計(jì)算的精度判斷條件，可自行控制計(jì)算精度，由此理論完備。

2 程序?qū)崿F(xiàn)

用Excel中的Visual Basic語言編制程序，曲線長度計(jì)算的核心代碼如圖5所示，代碼能實(shí)現(xiàn)給定積分區(qū)間，返回該區(qū)間的懸鏈線弧長，代碼中的yfsenal變量即上述eps，至此引言問題得解。

3 數(shù)據(jù)驗(yàn)證

筆者找到了廣西南寧市某大橋拱肋線形設(shè)計(jì)圖，該橋拱肋高度按照2.5次拋物線變化，由作者自編程序計(jì)算得到的拱圈坐標(biāo)，與設(shè)計(jì)文件所給坐標(biāo)對比完全吻合，選取有代表性的7個點(diǎn)對比（表1）。

4 結(jié)論

通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出懸鏈線的曲線長度是不可通過初等函數(shù)表達(dá)的結(jié)論，利用數(shù)值分析中求一元函數(shù)積分的辛普森公式，在辛普森公式中又引入了復(fù)化和自適應(yīng)的算法，結(jié)合Excel中的Visual Basic語言編制成實(shí)用的計(jì)算程序，程序通過與實(shí)橋的設(shè)計(jì)文件對比驗(yàn)證，論證了理論的正確性，并且達(dá)到了足夠的精度。橋梁設(shè)計(jì)是一門綜合了數(shù)學(xué)、力學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等多自然學(xué)科的綜合技術(shù)，在橋梁設(shè)計(jì)工作中，跨學(xué)科的綜合應(yīng)用有很多，工程師不可能熟練掌握各個學(xué)科的各種理論，因此，工程師們在遇到復(fù)雜問題時，需要冷靜分析，大膽尋求解決問題的方法，小心求證方法的可行性和正確性，準(zhǔn)確有效地解決橋梁設(shè)計(jì)中的疑難問題，保證橋梁結(jié)構(gòu)安全可靠的使用性能，是廣大橋梁工程師的使命。

參考文獻(xiàn)

［1］ 顧安邦，向中富.橋梁工程（下冊）［M］.3版.北京：人民交通出版社股份有限公司，2017（7）：83，135-137.

［2］ 宋功譚.700m級鋼管混凝土拱橋主拱圈構(gòu)造研究［D］.重慶：重慶交通大學(xué)，2021.

［3］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）［M］.6版.北京：高等教育出版社，2007.4：169-170.

［4］ （美）薩奧爾（Sauer， T.）著；裴玉茹，馬賡宇譯.數(shù)值分析（原書第2版）［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014.10：124-126，240.

［5］ 劉佳霖，臧婷.兩種定積分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法的比較［J］.電子技術(shù)，2021，50（7）：252-253.

［6］ 林承初.牛頓—柯特斯求積公式穩(wěn)定性分析［J］.社科與經(jīng)濟(jì)信息，2001（9）：172-173.

［7］ 唐珺，楊道杰.自適應(yīng)積分的遞歸實(shí)現(xiàn)研究［J］.中國高新技術(shù)企業(yè)，2016（27）：13-16.