徐鳳旺 成 敏

(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 550025)

1 試題呈現(xiàn)

分析 這是2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽的一道根式函數(shù)求值問題,此題結(jié)構(gòu)簡單,形式上具有數(shù)學(xué)的美感.文[1]對此題給出了不同的解法及試題引申,筆者讀后深受啟發(fā),于是對該題做進(jìn)一步的探索,得到另外四種解法和試題變式的幾個推廣,與大家一起分享.

2 試題解析

評注 此解法在換元后借助不等式,求出函數(shù)的最大值.

評注 此解法通過“先設(shè)后求”的思想,將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題,再利用算術(shù)平均數(shù)和冪平均數(shù)的關(guān)系,求出函數(shù)的最大值.

評注 此解法通過換元法將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用函數(shù)的切線性質(zhì),求得函數(shù)的最大值.

數(shù)學(xué)中的一題多解是從不同的視角出發(fā)、按照不同的思路以及不同的方法給出同一道題的解答.本文中給出四種不同的解題視角,體現(xiàn)了一題多解的數(shù)學(xué)解題思維,將根式函數(shù)的求值問題與不等式、切線性質(zhì)等知識點結(jié)合起來,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的重要性.

3 試題推廣

分析 將試題中的三元推廣到n元.

評注 將試題中的系數(shù)進(jìn)行了一般化.

評注 將試題中的三元推廣到四元,同時將試題中的系數(shù)一般化.

分析 將試題中的三元推廣到n元,同時將其系數(shù)一般化,求得最大值.推廣2、推廣3、推廣4均可由柯西不等式證明.下面證明推廣4,推廣2和推廣3的證明不再敘述.

分析 通過改變試題中未知數(shù)的冪,求得不等式的最小值,可借助琴生不等式證明.

一題多解可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展,使得他們從不同的角度看待問題,形成發(fā)散思維;推廣是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究的一種途徑,它能夠加深學(xué)生對問題的理解,使學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì),掌握其解題的思想方法,有效地提高解決問題的 能力.