卓 斌 孔德鵬

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)秦淮科技高中 210007)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱《標(biāo)準(zhǔn)》)在實(shí)施建議中指出[1]:“既要重視教,更要重視學(xué),促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．”正所謂,授人以魚(yú)不如授人以漁．怎樣“促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”呢?我們認(rèn)為,創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié),是促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的一條有效途徑．課堂中最美的聲音是學(xué)生“思維拔節(jié)”的聲音[2],課堂中最大的動(dòng)力是學(xué)生“生命成長(zhǎng)”的力量．

1 數(shù)學(xué)思維拔節(jié)的聲音

拔節(jié)是指稻、麥、高粱、玉米等禾本科植物生長(zhǎng)到一定發(fā)育階段時(shí),主莖的各節(jié)迅速伸長(zhǎng)的現(xiàn)象．據(jù)說(shuō)世界上最美的聲音是“竹子拔節(jié)”的聲音,從后半夜到早晨,在有露水、雨中、雨后的毛竹林,到處充滿拔節(jié)時(shí)“咔咔”的聲響,只有用心的人才能聽(tīng)到這美妙的拔節(jié)聲,這是生長(zhǎng)的力量．

那么,什么是學(xué)生數(shù)學(xué)思維拔節(jié)的聲音呢?我們認(rèn)為,在解題教學(xué)中,思維拔節(jié)就是解題思路多元拓展,向四面八方打開(kāi),而且不斷優(yōu)化與簡(jiǎn)化;思維拔節(jié)就是解題方法多元選擇,有發(fā)散有聚合,最終形成解決一類問(wèn)題的“通解通法”,偶爾還會(huì)產(chǎn)生“奇思妙解的火花”;思維拔節(jié)就是解題過(guò)程規(guī)范精致,條分縷析,走向完美;思維拔節(jié)就是課堂充滿歡聲笑語(yǔ),體現(xiàn)人性關(guān)懷,閃爍智慧光芒．學(xué)生思維拔節(jié)的聲音應(yīng)該是教與學(xué)帶來(lái)的天簌之音,美不勝收．

2 例談數(shù)學(xué)思維拔節(jié)的聲音

圖1

圖2

評(píng)注此法是坐標(biāo)法,學(xué)生抓住了AB⊥AC這個(gè)幾何特征,非常方便建系,實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化,分別利用重心坐標(biāo)公式和解直角三角形的知識(shí)求出O,D兩點(diǎn)坐標(biāo),再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,能夠真切地聽(tīng)到“思維拔節(jié)”的聲音．

正當(dāng)大家感覺(jué)這道題已經(jīng)解決得很完美時(shí),一位學(xué)生自信地說(shuō):“我還有更簡(jiǎn)單的方法”．

評(píng)注方法3更是對(duì)前面方法的進(jìn)一步優(yōu)化,很好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,巧妙地避開(kāi)了研究點(diǎn)O與點(diǎn)D位置的困難．這道題解題思路多元化,向四面八方打開(kāi),通過(guò)學(xué)生之間的智慧接力,我們似乎聽(tīng)到了思維拔節(jié)的美妙之聲．

教師讓一位學(xué)生總結(jié)一下本題的學(xué)習(xí)收獲,有學(xué)生認(rèn)為,三種方法形成了解決向量數(shù)量積的方法體系:一是基底法,關(guān)鍵在于選準(zhǔn)“基底向量”,把所求向量的數(shù)量積向基底向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化;二是坐標(biāo)法,依賴于所給圖形是否適合建系,為后續(xù)計(jì)算帶來(lái)方便;三是投影法,利用數(shù)量積公式的變式a·b=|a||b|cosθ=(|a|cosθ)|b|,再利用平面幾何知識(shí)巧妙解題．我們認(rèn)為,思維拔節(jié)就是要在“橫看成嶺側(cè)成峰”的林林總總的多元選擇中,尋覓一條直達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)的捷徑,體現(xiàn)“多想少算”和“一招制敵”的酣暢淋漓．

圖3

(1)求橢圓C的方程;

(2)過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)A),且AD⊥MN,D為垂足,求△ABD面積的最大值．

評(píng)注此法是常用的直接法:設(shè)直線AM,AN的方程,分別與橢圓方程聯(lián)立解出M,N兩點(diǎn)坐標(biāo),再求出直線MN方程,最后通過(guò)賦值求出定點(diǎn)坐標(biāo)．此法中規(guī)中矩,但是計(jì)算量大,部分學(xué)生深陷計(jì)算的“泥潭”,以致有可能算不對(duì)結(jié)果,屬于“本手”水平．

評(píng)注方法2采取了“設(shè)而不求”策略:設(shè)直線MN方程,不直接求點(diǎn)M,N坐標(biāo),而是利用韋達(dá)定理把AM⊥AN代數(shù)化．此法利用整體思想化繁為簡(jiǎn),思維拔節(jié)恰恰體現(xiàn)在“設(shè)而不求”．

對(duì)于第二個(gè)步驟,學(xué)生大致采取如下兩種思路:

評(píng)注學(xué)生在得出直線MN過(guò)定點(diǎn)后,利用解方程組求出點(diǎn)D坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線的距離公式求出目標(biāo)函數(shù)d=f(k),再利用換元法、基本不等式等工具求出最值,算法復(fù)雜,過(guò)程曲折,思維張力不夠．

評(píng)注此法可謂“秒手”,緣于對(duì)條件的深刻分析,將點(diǎn)D看成圓上的點(diǎn),利用直線與圓的位置關(guān)系這一模型輕松解決,妙筆生花,思維拔節(jié)步步高．比較上述兩個(gè)步驟的兩種不同思路,不難看出,兩個(gè)“方法2”的運(yùn)算量大為減少,學(xué)生“既能走進(jìn)去,也能走出來(lái)”,充分體現(xiàn)了“思維拔節(jié)”的曼妙;唯有“多想”,方能“少算”．

如今，媽媽正沉睡在遙遠(yuǎn)的美國(guó)西部大地、零下一百多攝氏度的低溫里。再見(jiàn)面，最短也要50年。這是科學(xué)家們給出的預(yù)言。預(yù)言可能落空，實(shí)驗(yàn)可能失敗，但總有希望。我會(huì)努力，像媽媽一樣努力，活到那個(gè)時(shí)候，等著見(jiàn)媽媽。

讓學(xué)生展示了不同解法之后,教師請(qǐng)一位學(xué)生反思一下有哪些收獲.該學(xué)生認(rèn)為:一是解決定點(diǎn)問(wèn)題,如何設(shè)直線方程可以簡(jiǎn)化計(jì)算量,滲透了直線方程數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化思想;二是處理定圓上動(dòng)點(diǎn)到定直線距離的最值問(wèn)題,究竟采用幾何法還是目標(biāo)函數(shù)法?不難看出,幾何法簡(jiǎn)潔明了．我們認(rèn)為,方法的優(yōu)劣決定了解題路徑的長(zhǎng)短與計(jì)算量的大小,“思維拔節(jié)”還體現(xiàn)在解題方法的多元選擇上,既要兼顧“通解通法”,又不乏“奇思妙解”,既要苦練解題基本功,又要閃爍人類智慧的光芒．

3 傾聽(tīng)數(shù)學(xué)思維拔節(jié)聲音的教學(xué)建議

章建躍先生提出了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該貫徹“四個(gè)理解”,即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)．我們認(rèn)為這“四個(gè)理解”正是傾聽(tīng)到數(shù)學(xué)思維拔節(jié)聲音的重要抓手,具體建議如下:

(1)理解數(shù)學(xué),掌握通法

沒(méi)有對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深刻理解,就沒(méi)有精彩的教學(xué)過(guò)程．作為數(shù)學(xué)教師,只有清晰地理解所教的數(shù)學(xué)知識(shí)“是什么”,并深刻地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、科學(xué)價(jià)值與育人價(jià)值,才有可能在課堂上予以落實(shí),并充分準(zhǔn)確地進(jìn)行表達(dá)．理解數(shù)學(xué),首先要引領(lǐng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和解決一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的“通解通法”,其次要善于指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思,提煉出解決一類問(wèn)題的方法體系,這樣才能為傾聽(tīng)到思維拔節(jié)聲音奠定扎實(shí)的學(xué)科基礎(chǔ)。

(2)理解學(xué)生,敢于放手

(3)理解教學(xué),朋輩互助

理解教學(xué)就是要解決“怎樣教”才能使學(xué)生獲得最大效益的問(wèn)題．課堂是人的生命成長(zhǎng)的場(chǎng)所,優(yōu)秀的課堂應(yīng)該溫馨如詩(shī)、浪漫似畫(huà)．我們認(rèn)為,朋輩互助是一種高效的學(xué)習(xí)方式,即讓班級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生去教學(xué)困生,去解答學(xué)困生的疑惑,去講解自己獨(dú)特的解題思路,去分享數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)做法．在班級(jí)要建立良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)合作交流氛圍,要做到“認(rèn)真地想,靜靜地聽(tīng),輕輕地說(shuō)”,要引導(dǎo)學(xué)生更清晰、更深入、更全面、更合理地去思考數(shù)學(xué)問(wèn)題,促進(jìn)學(xué)生思維更好地生長(zhǎng)．

(4)理解技術(shù),精準(zhǔn)教學(xué)

理解技術(shù)是解決“用什么方式”更有效地進(jìn)行對(duì)話與交流、探索與互動(dòng)、展示與呈現(xiàn)的問(wèn)題．工欲善其事,必先利其器．譬如,利用“智學(xué)網(wǎng)”進(jìn)行周練與限時(shí)作業(yè)的批閱,借助大數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,提高講評(píng)試卷的針對(duì)性;利用實(shí)物投影技術(shù),現(xiàn)場(chǎng)投影學(xué)生的解題過(guò)程,再有針對(duì)性地點(diǎn)評(píng)糾正;利用當(dāng)堂板演變式問(wèn)題,既檢測(cè)例題的學(xué)習(xí)成效,又磨礪學(xué)生的臨場(chǎng)應(yīng)變能力．又如,在解析幾何的問(wèn)題研究中,適時(shí)地利用GeoGebra或幾何畫(huà)板展示圓錐曲線動(dòng)態(tài)過(guò)程,有助于從數(shù)形結(jié)合的視角整體把握代數(shù)運(yùn)算,促進(jìn)理性思維發(fā)展．

數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該有“花開(kāi)的聲音”,課堂上最美的應(yīng)該是學(xué)生思維拔節(jié)的聲音．