許闖，吳寶林

哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150001

在航天器編隊(duì)任務(wù)中，航天器姿態(tài)協(xié)同控制是至關(guān)重要的技術(shù)之一。航天器姿態(tài)協(xié)同控制是指通過控制使編隊(duì)中的所有航天器姿態(tài)趨于一致。按航天器編隊(duì)結(jié)構(gòu)，航天器姿態(tài)協(xié)同控制方法可以大致分為以下幾種：主從方法、虛擬結(jié)構(gòu)方法和基于行為方法。主從方法結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)施，但它是一種集中式結(jié)構(gòu)，一旦主航天器出現(xiàn)故障，那么整個(gè)航天器編隊(duì)就將無法正常工作。Dimarogonas等［1］針對(duì)多智能體或者多航天器系統(tǒng)，基于主從方法提出了一些姿態(tài)協(xié)同控制策略。在虛擬結(jié)構(gòu)方法中，整個(gè)航天器編隊(duì)將被視為一個(gè)虛擬的剛體，然后針對(duì)這個(gè)虛擬的剛體設(shè)計(jì)控制策略，最終實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)［2-3］。文獻(xiàn)［4-8］基于虛擬結(jié)構(gòu)方法設(shè)計(jì)了一些航天器姿態(tài)協(xié)同控制策略。基于行為方法將根據(jù)編隊(duì)控制任務(wù)的各種事件的權(quán)重，來設(shè)計(jì)控制權(quán)重函數(shù)。然后，根據(jù)這個(gè)權(quán)重函數(shù)來設(shè)計(jì)控制器。這種方法是一種分布式控制方法，比較靈活。但是，基于行為方法很難描述系統(tǒng)的整體行為。針對(duì)多航天器姿態(tài)存在外界干擾、模型不確定或者航天器間通信帶寬受限等問題，文獻(xiàn)［9-14］基于行為方法設(shè)計(jì)了一些航天器姿態(tài)協(xié)同控制策略。

收斂時(shí)間是系統(tǒng)的一個(gè)十分關(guān)鍵的性能指標(biāo)，它們通常被用來描述系統(tǒng)響應(yīng)的所需規(guī)格和性能要求。近年來，為了滿足對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間和魯棒性的要求，研究人員提出了很多種控制方法，例如有限時(shí)間控制方法和固定時(shí)間控制方法等。有限時(shí)間控制可以保證系統(tǒng)狀態(tài)在一個(gè)有限的時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)。相比于傳統(tǒng)的漸近穩(wěn)定控制，有限時(shí)間控制具有更快的收斂速度，更快的收斂速度通常意味著閉環(huán)系統(tǒng)具有更好的抗擾特性［15］。因此，有限時(shí)間控制也可以提高整個(gè)控制系統(tǒng)的對(duì)外界干擾的抑制能力。但是，在有限時(shí)間控制中，系統(tǒng)收斂時(shí)間的上界不僅僅取決于系統(tǒng)參數(shù)，還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。這導(dǎo)致當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，有限時(shí)間控制的收斂時(shí)間可能會(huì)很長，從而無法滿足任務(wù)對(duì)系統(tǒng)收斂時(shí)間的要求。

為了解決上述有限時(shí)間控制問題，研究人員提出了固定時(shí)間控制這一方法。固定時(shí)間控制是一種能保證系統(tǒng)狀態(tài)在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)的控制方法，其收斂時(shí)間的上限是一個(gè)只與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)的正常數(shù)［16］，與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)。固定時(shí)間控制與有限時(shí)間控制類似，它相當(dāng)于有限時(shí)間控制的進(jìn)一步延伸。與有限時(shí)間控制相比，固定時(shí)間控制的收斂時(shí)間不依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)。不管系統(tǒng)的初始狀態(tài)如何，固定時(shí)間控制的收斂時(shí)間上界都是固定的。因此，相比于有限時(shí)間控制，即使當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，固定時(shí)間控制的收斂速度也會(huì)很快。此外，固定時(shí)間控制方法不僅明顯提高了系統(tǒng)收斂速度，而且還保留了有限時(shí)間控制方法的高魯棒性，具有很高穩(wěn)態(tài)精度和很強(qiáng)抑制干擾能力。目前固定時(shí)間控制方法可大致歸類為：終端滑模方法［17-21］、加冪積分方法［22-24］和齊次性理論方法［25-28］這3種方法。終端滑模固定時(shí)間控制方法是基于Lyapunov固定時(shí)間穩(wěn)定性定理得到的，設(shè)計(jì)過程簡單，證明思路清晰，并且很容易與自適用控制和干擾觀測器方法結(jié)合來處理存在擾動(dòng)和不確定項(xiàng)的系統(tǒng)，因此這種方法應(yīng)用地最為廣泛。加冪積分固定時(shí)間控制方法是連續(xù)非光滑控制方法的一種，具有很好的抗干擾性能。齊次性理論固定時(shí)間控制方法是基于雙極限齊次性定理來證明系統(tǒng)的固定時(shí)間穩(wěn)定性，它的證明思路也較為清新，同樣具有很好的抗干擾性能，但是證明過程相對(duì)復(fù)雜一些。因此，目前基于齊次性理論固定時(shí)間控制方法的研究成果相對(duì)較少。這3種方法在控制器設(shè)計(jì)上并無本質(zhì)區(qū)別，主要區(qū)別在于系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明中。因此，這3種方法的控制性能相差無幾。

在實(shí)際的太空應(yīng)用中，航天器的姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出力矩是有限的。如果在設(shè)計(jì)控制策略時(shí)沒有考慮這個(gè)問題，很可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)收斂時(shí)間預(yù)估的不準(zhǔn)確，更為嚴(yán)重的話甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。此外，在航天任務(wù)中，角速度敏感器陀螺可能會(huì)出現(xiàn)故障。在這種情況下，系統(tǒng)將無法獲得角速度測量值，這時(shí)基于角速度測量值的姿態(tài)協(xié)同控制策略將無法使用。據(jù)我們所知，現(xiàn)如今還沒有同時(shí)考慮這2個(gè)約束的航天器固定時(shí)間姿態(tài)協(xié)同控制成果。因此，研究輸入飽和下無需角速度測量的多航天器分布式固定時(shí)間姿態(tài)協(xié)同控制問題是很有必要的。

基于以上討論，本文研究存在航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和與無角速度測量問題下多航天器分布式固定時(shí)間姿態(tài)協(xié)同控制問題。為了解決只有部分航天器可以獲得主航天器姿態(tài)和角速度狀態(tài)信息問題與航天器自身無角速度測量問題，設(shè)計(jì)固定時(shí)間的主航天器狀態(tài)觀測器和固定時(shí)間航天器角速度觀測器，來分別在固定時(shí)間內(nèi)估計(jì)出主航天器狀態(tài)信息和航天器自身角速度信息。然后，基于估計(jì)的主航天器狀態(tài)信息和航天器自身角速度，設(shè)計(jì)了一個(gè)固定時(shí)間姿態(tài)追蹤控制器，并利用齊次性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的固定時(shí)間穩(wěn)定性。此外，本文還進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真來驗(yàn)證所提控制策略的有效性，主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下：

1）針對(duì)有向航天器編隊(duì)通信結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了一個(gè)固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器，來在固定時(shí)間內(nèi)觀測出主航天器的姿態(tài)和角速度信息，解決了航天器編隊(duì)種只有一部分航天器可以獲得主航天器狀態(tài)信息問題。

2）設(shè)計(jì)了一個(gè)固定時(shí)間航天器角速度觀測器，該觀測器可以保證在固定時(shí)間內(nèi)觀測出航天器角速度信息。

3）提出了一種考慮輸入飽和問題的固定時(shí)間航天器輸出反饋?zhàn)藨B(tài)協(xié)同控制策略。在該策略作用下，無需角速度測量信息，所有航天器姿態(tài)可以在固定時(shí)間協(xié)同追蹤上主航天器姿態(tài)軌跡。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)

第i個(gè)航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)方程為

式中：qi=[qi1，qi2，qi3]T∈R3為修正的羅德里格斯參數(shù)（Modified Rodrigues Parameters， MRPs）；ωi∈R3表示航天器本體坐標(biāo)系相對(duì)于參考坐標(biāo)系的姿態(tài)角速度；Ji∈R3×3表示航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ui=[ui，1，ui，2，ui，3]T∈R3為航天器指令力矩；

對(duì)于向量x=[x1，x2，x3]T，x×∈R3×3定義為

若將式（2）用MRPs來表示，則航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出力矩受限下第i個(gè)航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可以寫為

式中：

定義主航天器的姿態(tài)及其角速度分別為q0和ω0，則有

定義姿態(tài)追蹤誤差為

1.2 代數(shù)圖論基礎(chǔ)

本文用代數(shù)圖論來描述航天器編隊(duì)中航天器之間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。考慮包含n個(gè)航天器的編隊(duì)，采用有向圖G={N，E，A}表示各個(gè)編隊(duì)成員之間的通信拓?fù)洌渲蠳={n1，n2，…，nn}是一個(gè)有限非空的節(jié)點(diǎn)集合，E?N×N是由不同邊組成的集合，邊(ni，nj)表示節(jié)點(diǎn)nj可以從節(jié)點(diǎn)ni獲得信息。A=[aij]∈Rn×n是圖G的權(quán)值鄰接矩陣。權(quán)值aij定義為：如果(nj，ni)∈E，則aij＞0；否則aij=0。另外，一般假設(shè)節(jié)點(diǎn)與自身不存在連通性，即aii=0。Ni為航天器ni的相鄰航天器集合。Laplacian矩陣L=[lij]∈Rn×n定義為lii=∑j∈Niaij，

將航天器編隊(duì)的參考姿態(tài)視為一個(gè)虛擬的主航天器，并標(biāo)記為第0顆航天器。用圖Gˉ來描述包含n個(gè)跟隨航天器和一個(gè)主航天器的編隊(duì)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。定義A0=diag(a10，a20，…，an0) 為圖Gˉ的主航天器相對(duì)于跟隨航天器的權(quán)值鄰接矩陣。如果第i顆跟隨航天器可以獲得主航天器狀態(tài)信息，則ai0＞0，否則ai0=0。

引理1［29］如果圖Gˉ包含一個(gè)有向生成樹并且根節(jié)點(diǎn)為主航天器，那么存在一個(gè)正定的對(duì)角矩陣W使得Z=WH+HTW為正定矩陣，式中：H=L+A0，[w1，w2，…，wn]T=H-T1n，W=diag(w1，w2，…，wn)。

1.3 齊次性理論

本節(jié)給出了一些關(guān)于齊次性理論的定義及引理。

定義1［30］對(duì)于向量x=[x1，x2，…，xn]T∈Rn和r=[r1，r2，…，rn]T∈Rn(ri＞0，i=1，2，…，n)定義其中ε＞0。

定義2［30］對(duì)于函數(shù)g(x)： Rn→R，如果對(duì)于任意x，r∈Rn和ε＞0恒成立，那么則稱g(x)是r齊次的，并且齊次度為k。

定義3［30］如果函數(shù)f(x)=［f1（x），f2（x），…，的每一個(gè)分量fi(x)（i=1，2，…，n）都是r齊次的，且齊次度為k+ri，即對(duì)于任意ε＞0和恒成立，那么稱f(x)為r齊次的，并且齊次度為k。

定義4［16］對(duì)于連續(xù)函數(shù)g(x)： Rn→R 和連續(xù)不為0的函數(shù)gp(x)，如果下述條件對(duì)于緊集C?Rn{0}恒成立，那么函數(shù)g(x)關(guān)于(rp，kp，gp)是p極限齊次的，其中p=0或者p=∞，rp=[rp1，rp2，…，rpn]∈R+n是權(quán)重向量，kp為齊次度，gp(x)為近似函數(shù)。

定義5［16］對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)： Rn→Rn，如果對(duì)于kp+rpi＞0，fi(x)關(guān)于(rp，kp+rpi，fpi)都是p極限齊次的，則稱函數(shù)f(x)關(guān)于(rp，kp+rpi，fpi)是p極限齊次的， 其中p=0或者p=∞，rp=[rp1，rp2，…，rpn]∈R+n是權(quán)重向量，kp為齊次度，fp(x)為近似函數(shù)。

定義6［16］若一個(gè)函數(shù)既是0極限齊次又是∞極限齊次的，則稱該函數(shù)是雙極限齊次的。

考慮如下系統(tǒng)：

式中：x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)；f(x)：Rn→Rn為連續(xù)函數(shù)，并且f(0)=0。將系統(tǒng)的初始狀態(tài)記為x(t0)，其中t0為系統(tǒng)初始時(shí)刻。

引理2［16］對(duì)于系統(tǒng)式（13），假設(shè)函數(shù)f(x) 關(guān)于(r0，k0，f0)和 (r∞，k∞，f∞)是雙極限齊次的。如果系統(tǒng)x?=f(x)和其近似系統(tǒng)?=f0(x)與?=f∞(x)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，并且k∞＞0＞k0，那么系統(tǒng)式（13）的平衡點(diǎn)是固定時(shí)間穩(wěn)定的。

引理3［31］定義映射p：(0，∞)×Sn→Rn/{0}為那么p的逆映射q：Rn/{0}→(0，∞)×Sn定義為q(y)=p-1=(qε(y)，qx(y))，可得qε和qx在Rn/{0}上為無窮階可微函數(shù)，并且lim||y||→0qε=0， lim||y||→0qx=∞。

1.4 其他相關(guān)引理

引理4［13］設(shè)矩陣M∈Rm×m，矩陣N∈Rn×n，那么有：

1）如果矩陣M和矩陣N是對(duì)稱矩陣，那么矩陣M?N也為對(duì)稱矩陣，?代表克羅內(nèi)克積（Kronecker Product）。

2）設(shè)λ1，λ2，…，λm為矩陣M的特征值，μ1，μ2，…，μm為矩陣N的特征值。那么矩陣M?N的特征值為λiμj()i=1，2，…，m；k=1，2，…，n。

3）設(shè)m=n，并且矩陣M和矩陣N的特征值分別非負(fù)數(shù)和正數(shù)，那么矩陣M+N的特征值為正數(shù)。

引理5［18］對(duì)于xi＞0 ()i=1，2，…，n，有

引理6［32］對(duì)于x，y∈R，如果0＜r≤1，則

引理7［33］對(duì)于x，y∈R，如果r1＞0，r2＞0，p＞0，則

引理8［34］對(duì)于xi≥0 ()i=1，2，…，n，0＜α＜1＜β，α0∈(μ(1+β0)-β0，1)，β0∈(1，β]，其中μ=(α+β)/(1+β)，有下列不等式成立：

式中：r1=(α0+β0)(1+β0)≤1；r2=2β0(1+β0)≥1。

引理9［33］如果系統(tǒng)式（13）存在連續(xù)正定的Lyapunov函數(shù)V(x(t))滿足下述條件：

1）V(x)=0?x=0。

2） dV(x)dt≤-αVp-βVq，其中p＜1，q＞1，α、β、p和q為正常數(shù)。

那么系統(tǒng)式（13）的平衡點(diǎn)是固定時(shí)間穩(wěn)定的，其收斂時(shí)間上界為

2 主要內(nèi)容

首先，介紹一些本文將用到的一些合理假設(shè)：

假設(shè)1航天器的外界干擾力矩di和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的逆Ji都是有界的，即‖‖J-1idi≤cd，式中：cd＞0為常數(shù)。

假設(shè)2主航天器姿態(tài)一階導(dǎo)數(shù)q0和二階導(dǎo)數(shù)是有界的，即其中cq為正常數(shù)。

假設(shè)3跟隨航天器和主航天器組成的航天器編隊(duì)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)含有一個(gè)有向生成樹，并且有向生成樹的根節(jié)點(diǎn)為主航天器。

本文的航天器姿態(tài)協(xié)同控制問題描述如下：

問題1 對(duì)于多航天器姿態(tài)系統(tǒng)式（5）和式（10），在假設(shè)1～假設(shè)3基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一個(gè)考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出力矩受限和無航天器角速度測量情況的姿態(tài)協(xié)同控制策略，使得所有航天器的姿態(tài)和姿態(tài)角速度可以在固定時(shí)間T內(nèi)跟蹤上主航天器的姿態(tài)和姿態(tài)角速度，即limt→Tqei(t)=0，為控制參數(shù)相關(guān)的系統(tǒng)收斂時(shí)間。

為了解決問題1，本文提出了一種考慮輸入飽和的分布式固定時(shí)間輸出反饋?zhàn)藨B(tài)協(xié)同控制策略。首先，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)分布式固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器來觀測主航天器狀態(tài)信息。接著，設(shè)計(jì)了一個(gè)固定時(shí)間航天器角速度觀測器來估計(jì)航天器的角速度。然后，設(shè)計(jì)了一個(gè)固定時(shí)間滑模面。最后，基于觀測器的估計(jì)值和固定時(shí)間滑模面，設(shè)計(jì)了一個(gè)固定時(shí)間輸出反饋?zhàn)藨B(tài)追蹤控制器。

2.1 固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)

在本節(jié)的控制策略中，需要用到主航天器的狀態(tài)信息q0和但是，編隊(duì)中只有一部分航天器可以直接獲得主航天器的狀態(tài)信息。為了解決這個(gè)問題，本節(jié)設(shè)計(jì)了一個(gè)分布式固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器來估計(jì)主航天器的狀態(tài)信息q0和

關(guān)于固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器式（20）和式（21），可以得到以下定理。

定理1對(duì)于固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器式（20）和式（21），如果假設(shè)2和假設(shè)3成立，并且λ1＞cq，λ2＞cq，那么估計(jì)值p1i和可以在固定時(shí)間Tob內(nèi)分別收斂到q0和，Tob為

式中：μ1、μ2、r1和r2為正常數(shù)，并且其具體的定義會(huì)在后面證明中給出。

證明首先證明估計(jì)值p1i可以在固定時(shí)間Tob內(nèi)收斂到q0。

定義如下的Lyapunov函數(shù)

式中：χ1i=[χ1i，1，χ1i，2，χ1i，3]T；wi＞0為正定的對(duì)角矩陣W的對(duì)角元素；W的詳細(xì)定義請參考引理1。

Lyapunov函數(shù)Vq的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

式中：sig2(χ)=sign(χ)|χ|2。

定義

將式（25）代入式（24）可得

定義

當(dāng)χ1i，k＜0時(shí)，可得ni，k-≥0和ni，knj，k≥0，因此Φi，k≤0。當(dāng)χ1i，k＞0時(shí)，可得ni，k-≤0和ni，k-nj，k≤0，因此Φi，k≤0。當(dāng)χ1i，k=0時(shí)，可得Φi，k=0。綜上可得，Φi，k≤0恒成立。

那么，式（26）變?yōu)?/p>

式中：

估計(jì)值p2i在固定時(shí)間Tob內(nèi)收斂到的證明過程與p1i可以在固定時(shí)間Tob內(nèi)收斂到q0的證明類似，按照第一部分類似的證明過程，可得估計(jì)值p2i在固定時(shí)間Tob內(nèi)收斂到因此，估計(jì)值p1i和p2i可以在固定時(shí)間Tob內(nèi)分別收斂到q0和

2.2 固定時(shí)間航天器角速度觀測器設(shè)計(jì)

當(dāng)航天器角速度測量模塊出現(xiàn)故障時(shí)，航天器無法測量自身的角速度，因此，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)航天器角速度觀測器來觀測航天器姿態(tài)的一階導(dǎo)數(shù)

定義qi和的估計(jì)值分別為z1i和z2i。估計(jì)誤差定義為基于文獻(xiàn)［27］，固定時(shí)間航天器角速度觀測器設(shè)計(jì)為

估計(jì)誤差和的導(dǎo)數(shù)為

式中：

定義

注意到矩陣M1為Hurwitz矩陣。因此，存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣N1滿足M1TN1+N1M1=-I6。構(gòu)建一個(gè)如下的徑向無界的函數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)［27，31］，可以得到以下性質(zhì)：

性質(zhì)1定義如下函數(shù)

式中：?(·)∈C∞(R，R)定義為

2） 存在常數(shù)c1和c2使得對(duì)于任意

性質(zhì)2定義如下函數(shù)

2） 存在常數(shù)c4和c5使得對(duì)于任意

性質(zhì)3存在常數(shù)ε∈(0，1)，使得對(duì)于任意相對(duì)于擴(kuò)展向量是常數(shù)σ2∈(1-ε，1)和任意向量恒成立。

性質(zhì)4存在常數(shù)ε∈(0，1)，使得對(duì)于任意常數(shù)σ2∈(1-ε，1)和任意向量恒成立。

性質(zhì)5相對(duì)于擴(kuò)展向量是齊次的，且齊次度為2，并且其中κ2為正常數(shù)。

性質(zhì)6相對(duì)于擴(kuò)展向量是齊次的，且齊次度為2，并且，其中κ4為正常數(shù)。

關(guān)于觀測器式（30），可以得到定理2。

定理2對(duì)于多航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)式（5）與固定時(shí)間航天器角速度觀測器式（30），如果假設(shè)1成立，并且初始狀態(tài)zi(0)=位于下列集合內(nèi)

式中：Δ為足夠大的正常數(shù)，那么觀測誤差?可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到區(qū)域≤Δz?i內(nèi)，Δz?i的詳細(xì)定義請見式（51）。

證明證明分為2種情況：案例 1（V?≥1）和案例2（V?＜1）。

案例1構(gòu)建Lyapunov函數(shù)=。由性質(zhì)2，可得當(dāng)V?≥1時(shí)，≥1恒成立。的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)性質(zhì)4可得，存在常數(shù)ε1∈(0，1)，使得對(duì)于任意常數(shù)σ2∈(1-ε1，1)和任意向量恒成立。由性質(zhì)2和性質(zhì)6可得，存在常數(shù)ε2∈(0，ε1)，使得對(duì)于任意常數(shù)σ1∈(1-ε2，1)和任意向量成立。那么，式（40）變?yōu)?/p>

由性質(zhì)2可得，存在常數(shù)c6使得不等式恒成立。構(gòu)建如下集合

當(dāng)狀態(tài)zi和yi均位于集合F1內(nèi)時(shí)，存在常數(shù)c7使得不等式恒成立。此外，根據(jù)假設(shè)1可得，存在常數(shù)cd使得不等式成立。那么，式（41）變?yōu)?/p>

式中：參數(shù)μ0滿足參數(shù)μ5滿足那么，式（43）可以寫為

因此，在緊集F1內(nèi)，可以在時(shí)間Tso1=內(nèi)收斂到區(qū)域≤1內(nèi)。

由上述分析可知，緊集F1是前不變集合［35］。這意味著當(dāng) (zi(0)，yi(0))∈F1時(shí)，(zi，yi)∈F1恒成立。

案例2當(dāng)V?＜1，可知Vη＜1。構(gòu)建Lyapunov函數(shù)由性質(zhì)1可得，當(dāng)Vη＜1時(shí)，的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為恒

根據(jù)性質(zhì)3可得，存在常數(shù)ε3∈(0，1)，使得對(duì)于任意常數(shù)σ2∈(1-ε3，1)和任意向量恒成立。 由性質(zhì)1和性質(zhì)5可得，存在常數(shù)ε4∈(0，ε3)，使得對(duì)于任意常數(shù)σ1∈(1-ε4，1)和任意向量成立。

接著，按照案例1的證明過程，可得

V1的導(dǎo)數(shù)為

式中：參數(shù)μ0滿足

這意味著V1(?)可以在時(shí)間Tso2=內(nèi)收斂到下列區(qū)域內(nèi)：

那么，ηi可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到下列區(qū)域內(nèi)：

觀測誤差?可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到下列區(qū)域內(nèi)：

綜上分析可得，觀測誤差?可以在固定時(shí)間Tso=Tso1+Tso2內(nèi)收斂到下列區(qū)域‖≤Δz?i內(nèi)。

2.3 固定時(shí)間姿態(tài)追蹤控制器設(shè)計(jì)

在本文中，使用主航天器狀態(tài)估計(jì)值p1i和p2i來替代主航天器狀態(tài)實(shí)際值q0和使用航天器姿態(tài)一階導(dǎo)數(shù)估計(jì)值z2i來替代航天器姿態(tài)一階導(dǎo)數(shù)實(shí)際值

定義如式（52）～式（53）所示新的姿態(tài)追蹤誤差：

那么，由和表示的動(dòng)力學(xué)方程為

分布式姿態(tài)協(xié)同追蹤控制率設(shè)計(jì)為

式中：k1和k2為正常數(shù)。

式中：

定義

注意到矩陣M2為Hurwitz矩陣。因此，存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣N2滿足MT2N2+N2M2=-I6。構(gòu)建一個(gè)如下的徑向無界的函數(shù)

構(gòu)建如下Lyapunov函數(shù)

可以證得，存在正常數(shù)δ1、δ2、δ3和δ4使得恒成立。

關(guān)于固定時(shí)間姿態(tài)協(xié)同控制器式（55），可以得到以下定理。

定理3對(duì)于有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出力矩受限的多航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)式（5），如果假設(shè)1～假設(shè)3成立，固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)為式（20）和式（21），固定時(shí)間航天器航天器角速度觀測器設(shè)計(jì)為式（30），固定時(shí)間姿態(tài)協(xié)同控制器設(shè)計(jì)為式（55），航天器初始狀態(tài)位于下列集合內(nèi)：

式中：Δ1為足夠大的正常數(shù)，那么姿態(tài)追蹤誤差qei和可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到區(qū)域‖qei‖≤Δq?i和≤Δq?i+Δz?i內(nèi)。

證明與定理2的證明類似，該定理的證明分為2種情況：案例1 (V??i＞1)和案例2 (V??i≤1)。

案例1構(gòu)建Lyapunov函數(shù)因此當(dāng)V??i＞1時(shí)，＞1恒成立。

構(gòu)建如下集合

在集合F3內(nèi)，Δui=Γ(ui)-ui是有界的。接著與定理2的證明類似，可得緊集F3是一個(gè)前不變集合［35］。當(dāng) (qi(0)，zi(0)，yi(0))∈F3時(shí)，可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到區(qū)域V4()≤1內(nèi)。

案例2構(gòu)建Lyapunov函數(shù)=可得，當(dāng)?shù)臅r(shí)間導(dǎo)數(shù)為

與定理2的證明類似，可得存在正常數(shù)ζ4和ζ5使得式（65）成立：

式中：δ5為正常數(shù)。這意味著V3可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到下列區(qū)域內(nèi)：

那么，可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到下列區(qū)域內(nèi)：

追蹤誤差和可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到下列區(qū)域內(nèi)：

由定理1和定理2可知，估計(jì)值p1i和可以在固定時(shí)間Tob內(nèi)分別收斂到q0和?，觀測誤差?可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到區(qū)域內(nèi)。因此，姿態(tài)追蹤誤差qei和可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到下列區(qū)域內(nèi)：

3 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證所提出的固定時(shí)間姿態(tài)協(xié)同控制策略的有效性，本文對(duì)所提出的控制策略進(jìn)行了仿真并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了分析。首先對(duì)固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器式（20）和式（21）進(jìn)行一些數(shù)學(xué)仿真，驗(yàn)證了主航天器狀態(tài)觀測器的性能。然后，對(duì)所提出的固定時(shí)間航天器角速度觀測器式（30）進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了該觀測器的有效性。然后，基于固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器和固定時(shí)間航天器角速度觀測器的觀測結(jié)果，對(duì)所提出的固定時(shí)間姿態(tài)協(xié)同控制器式（55）進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了該控制器的有效性。

仿真考慮了由6個(gè)航天器和一個(gè)虛擬領(lǐng)導(dǎo)航天器組成的編隊(duì)，航天器間的通信拓?fù)淙鐖D1所示，其中SC-i代表航天器i。在本節(jié)仿真中，跟隨航天器的初始姿態(tài)和初始角速度、主航天器的姿態(tài)軌跡、航天器間的鄰接權(quán)值矩陣、航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和外界干擾力力矩設(shè)置如表1所示。固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器式（20）和式（21）的初值和參數(shù)設(shè)置如表2所示。固定時(shí)間航天器角速度觀測器式（30）的初值和參數(shù)設(shè)置如表3所示。

表1 航天器仿真參數(shù)Table 1 Numerical simulation parameters of spacecraft

表2 主航天器狀態(tài)觀測器仿真參數(shù)Table 2 Numerical simulation parameters of the leader spacecraft’s attitude observer

表3 航天器角速度觀測器仿真參數(shù)Table 3 Numerical simulation parameters of spacecraft state observer

圖1 航天器間通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Inter-spacecraft communication topology

固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器式（20）和式式（21）的觀測誤差p?1i=p1i-q0和p?2i=p2i-q?0的響應(yīng)曲線分別如圖2和圖3所示。由圖2可以看出，觀測誤差p?1i可以在2 s內(nèi)收斂到原點(diǎn)附近。在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，觀測誤差p?1i小于4×10-4。由圖3可以看出，觀測誤差p?2i可以在1.5 s內(nèi)收斂到原點(diǎn)附近。在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，觀測誤差p?2i小于2×10-6。仿真結(jié)果表明固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器式（20）和式（21）具有很快的收斂速度和很高觀測精度。

圖3 觀測器式（21）的誤差p2i-q0Fig.3 Errors p2i-q0 by observer in Eq.（21）

圖4為固定時(shí)間航天器角速度觀測器式（30）的觀測誤差z?2i。由圖4可以看出，觀測誤差z?2i可以在3 s內(nèi)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，觀測誤差小于0.001。該仿真結(jié)果證明了所提出的固定時(shí)間航天器角速度觀測器式（30）的有效性。

圖4 固定時(shí)間航天器角速度觀測器式（30）的誤差Fig.4 Errors in fixed-time spacecraft angular velocity observer in Eq.（30）

在仿真中，固定時(shí)間姿態(tài)協(xié)同控制器式（55）的控制參數(shù)設(shè)置為k1=0.08，k2=0.4。圖5為航天器指令力矩ui的曲線，圖6為航天器姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)實(shí)際輸出Γ(ui)的曲線。從圖5和圖6可以看到，盡管航天器指令力矩ui的大小遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過3 N·m，但是航天器姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)實(shí)際輸出Γ(ui)一直保持在3 N·m內(nèi)，并且當(dāng)航天器姿態(tài)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，航天器姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)實(shí)際輸出Γ(ui)也會(huì)相應(yīng)的變得很小。圖7和圖8分別航天器姿態(tài)追蹤誤差和角速度追蹤誤差響應(yīng)曲線。由圖7和圖8可以看出，航天器姿態(tài)追蹤誤差和角速度追蹤誤差可以在30 s內(nèi)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。在控制器式（55）的作用下，航天器姿態(tài)追蹤誤差和角速度追蹤誤差的穩(wěn)態(tài)誤差分別為0.1°和0.003 （°）·s-1。仿真結(jié)果表明在輸入飽和與無角速度測量的約束下，固定時(shí)間輸出反饋?zhàn)藨B(tài)協(xié)同控制器式（55）仍可以實(shí)現(xiàn)很快的收斂速度和很高控制精度。

圖5 航天器姿態(tài)控制指令力矩uiFig.5 Attitude command control torques ui of spacecraft

圖6 航天器姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出力矩Γ(ui)Fig.6 Attitude actuator output torques Γ(ui) of spacecraft

圖7 航天器姿態(tài)追蹤誤差Fig.7 Attitude tracking errors of spacecraft

圖8 航天器角速度追蹤誤差Fig.8 Angular velocity tracking errors of spacecraft

此外，本文還將所提出的固定時(shí)間控制策略與文獻(xiàn)［36］中的有限時(shí)間航天器姿態(tài)協(xié)同控制方法做了對(duì)比。為了方便比較，首先定義以下變量來描述系統(tǒng)的控制性能。

式中：Φ(q)表示MRPs對(duì)應(yīng)的歐拉角。

由圖9可以看出，與文獻(xiàn)［36］中的控制方法相比，盡管本文所提方法在控制初期所需的控制力矩更多一些，但是姿態(tài)追蹤誤差SKM和相對(duì)姿態(tài)誤差FKM收斂速度更快。

圖9 對(duì)比結(jié)果Fig.9 Comparison results

4 結(jié)論

本文研究了存在航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出力矩飽和與無角速度測量情況下分布式多航天器固定時(shí)間姿態(tài)協(xié)同控制問題。本文首先設(shè)計(jì)了一個(gè)分布式固定時(shí)間主航天器狀態(tài)觀測器來估計(jì)主航天器狀態(tài)信息。接著，設(shè)計(jì)了一個(gè)固定時(shí)間航天器角速度觀測器。該觀測器可以在固定時(shí)間內(nèi)觀測出航天器角速度信息。然后，基于主航天器的姿態(tài)信息的觀測值和航天器角速度觀測器的觀測值，設(shè)計(jì)了一個(gè)固定時(shí)間航天器姿態(tài)追蹤控制器，并且證明了整個(gè)航天器姿態(tài)系統(tǒng)在該控制器作用下是固定時(shí)間穩(wěn)定的。本文還進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真來驗(yàn)證所提控制策略的性能。仿真結(jié)果表明，當(dāng)航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出力矩存在飽和問題時(shí)，本章所提的控制策略可以保證所有航天器的姿態(tài)追蹤誤差可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂到一個(gè)與輸出力矩上界有關(guān)的界內(nèi)。