鄭星舟,羅明星

(西南交通大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都 610031)

0 引 言

量子計算機是基于量子疊加原理和量子演化建立的特殊計算模型。量子態(tài)具有疊加性,可以并行表示信息,因此,量子計算機具有并行處理問題的能力,針對某些問題如大整數(shù)分解可以提供比經(jīng)典計算機更高效的計算能力[1]。最近十年,量子計算機在產(chǎn)業(yè)化方面得到非?？焖俚陌l(fā)展,霍尼韋爾、谷歌、IBM、國盾等企業(yè)已經(jīng)建立了上百量子位的量子計算機原型。量子計算技術(shù)的工業(yè)化已日趨成熟,在未來5—10年將實現(xiàn)中等規(guī)模的量子產(chǎn)業(yè)鏈,并對網(wǎng)絡(luò)空間安全、金融安全、化學(xué)制藥、國防安全、量子物理模擬等方面產(chǎn)生深遠影響[2-3]。

與經(jīng)典圖靈機模型基于經(jīng)典邏輯門類似,量子計算基于量子邏輯門構(gòu)建量子線路模型。首先,選擇簡單的初始化,如邏輯0態(tài);然后,針對特定任務(wù)設(shè)計全局量子演化線路,并利用通有的小規(guī)模量子模擬系統(tǒng),如單量子位門或兩量子位門,分解全局量子演化,得到基于小量子邏輯門的量子線路,完成量子態(tài)的演化;最后,利用量子測量讀取信息。這種標準的量子線路模型,便于大規(guī)模集成和工業(yè)設(shè)計,但是其線路設(shè)計的復(fù)雜度非常高,一般都是指數(shù)量級,這也是量子線路模擬的局限。

此外,利用量子系統(tǒng)的物理演化也可以構(gòu)造量子計算模型,即針對特定計算任務(wù)構(gòu)造量子系統(tǒng)的哈密爾頓系統(tǒng),并通過系統(tǒng)的絕熱演化來求解問題[3-5]。這種物理演化不需要設(shè)計量子線路,但是需要針對大規(guī)模量子系統(tǒng)的物理控制,具有非常大的實驗難度,目前的量子控制技術(shù)還無法支持大規(guī)模物理實驗。量子線路模型和絕熱演化模型是等價的,都依賴于量子系統(tǒng)演化的酉(Unitary)不變性。

與這兩個模型不同,文獻[6]提出基于局部量子測量和經(jīng)典通信輔助的單向量子計算模型。這種新的量子計算模型利用特定的量子糾纏態(tài),基于局部測量來完成量子計算任務(wù)。他們引入量子糾纏簇態(tài)作為量子計算資源,并在理論上證明通過只對個別量子位執(zhí)行局部測量就能實現(xiàn)一般的量子線路。單向量子計算是通用的量子計算模型。這種量子計算模型便于物理實現(xiàn)。針對多目標的單向量子計算也有很多研究成果,包括其糾纏特征的量化,量子資源態(tài)的研究,量子計算任務(wù)的設(shè)計等。文獻[7]提出新的框架來刻畫在一維空間上基于局部測量的量子計算對近距離糾纏對稱態(tài)的處理能力。由于基于二維量子位(量子比特)的單向量子計算只能驗證2n-1個量子比特的布爾函數(shù),文獻[8]拓展相關(guān)結(jié)論,構(gòu)造了基于三維量子位的單向量子計算模型,并利用廣義GHZ(Greenberger-Home-Zeilinger)態(tài)為資源,實現(xiàn)最多使用3n-1個量子位的布爾函數(shù)。文獻[9]優(yōu)化了量子計算資源,包括可用量子操作以及可訪問的量子位數(shù)目,并驗證可在非適應(yīng)性的單向量子上計算的布爾函數(shù)。對于受限于穩(wěn)定子理論的非適應(yīng)性單向量子計算,他們給出了計算給定布爾函數(shù)所需要的最少量子位。文獻[10]基于信息流引入單向量子計算模型,并給出多項式時間復(fù)雜度算法找到最優(yōu)的信息流演化過程。文獻[11]在非馬爾可夫環(huán)境下研究了單向量子計算的精確開放系統(tǒng)動力學(xué),以及平均精度與基于泡利X門和Z門的局部觀測的關(guān)系。文獻[12]證明雙酉量子線路可以為擴展單向量子計算提供理想的框架,并將雙酉量子線路應(yīng)用于量子多體系統(tǒng),有效地實現(xiàn)了空間方向上的量子計算。

針對量子邏輯門的并行化問題,文獻[13]發(fā)展基于多量子位超圖態(tài)的聯(lián)合受控技術(shù),引入廣義單向量子計算框架,并平衡計算時間和空間復(fù)雜度。由于計算中會產(chǎn)生量子噪聲,文獻[14]提出容錯的單向量子計算模型,將任意有穩(wěn)定子碼的容錯量子計算方案映射到基于局部測量的單向量子計算框架。此外,也有一些研究單向量子計算與時間序列起源、計算復(fù)雜度,以及經(jīng)典的自旋模型的關(guān)系。

單向量子計算也可以用于構(gòu)建量子云系統(tǒng)。任意經(jīng)典的客戶端可以將其計算任務(wù)委托給具有較強量子計算能力的量子工廠。其核心思想就是利用磚形量子邏輯線路和隨機信息隱藏在保證計算正確性的基礎(chǔ)上,保護計算任務(wù)的隱私性[15]。

文獻[16]設(shè)計了一個基于單向量子計算設(shè)計原理的軟件包Q2Graph,用于設(shè)計和測試量子計算算法的簡單圖。文獻[17]將其與applet上的七色板謎題相互關(guān)聯(lián),用于推廣單向量子計算。目前,已有多個實驗團隊通過不同的物理系統(tǒng),譬如光學(xué)、冷原子、原子系綜等實現(xiàn)糾纏簇態(tài)的制備和操作,這為單向量子計算技術(shù)的發(fā)展提供了良好的技術(shù)支持[18]。本文主要給出單向量子計算的基礎(chǔ)模型,總結(jié)其潛在問題和前沿研究方向,為研究者提供借鑒。

1 量子計算

1.1 量子計算起源

量子計算這一概念可以追溯至19世紀80年代[19]。1981年,文獻[20]提出利用量子系統(tǒng)模擬物理現(xiàn)象,而使用經(jīng)典計算機不可能有效地模擬量子系統(tǒng)。隨后,研究者們提出基于量子力學(xué)的圖靈機計算模型,通過使用一個可控的量子系統(tǒng)去模擬另一個量子系統(tǒng)。文獻[21]提出快速量子傅里葉分解算法,并證明量子計算機能以多項式復(fù)雜度完成大整數(shù)的分解。目前最好的經(jīng)典算法需要亞指數(shù)復(fù)雜度。譬如,經(jīng)典計算機分解1個300位整數(shù)會消耗三分之一宇宙年齡,而量子計算機只需要10分鐘。在過去幾十年里,量子實驗技術(shù)取得了很大的進展,雖然目前還沒有建立大規(guī)模的量子計算機,但量子計算已經(jīng)對經(jīng)典密碼學(xué),特別是基于大數(shù)分解的公鑰密鑰系統(tǒng)的安全產(chǎn)生影響。現(xiàn)有的絕大多數(shù)公鑰密碼算法如RSA、Diffie-Hellman、橢圓曲線等都有可能被量子計算機攻破,因此,研究者提出了可以抵抗量子計算攻擊的密碼算法,稱為后量子密碼。目前,量子計算、量子通信、量子信息等方向已經(jīng)發(fā)展成為新的交叉學(xué)科,即量子信息科學(xué)。

1.2 量子線路模型

量子計算是基于量子力學(xué)原理構(gòu)建的計算模型,如圖1所示。

圖1 Bloch球Fig.1 Bloch ball

從信息科學(xué)的角度,量子力學(xué)包括如下3個重要的原理。

1)疊加原理。任意孤立的量子純態(tài)(Pure state)可以表示為復(fù)內(nèi)積空間中的單位向量。與經(jīng)典計算機的0和1兩個比特表示不同,量子純態(tài)可以是單位圓周上的任意單位向量,因而提供了超越經(jīng)典計算機的信息表示和存儲能力。從物理系統(tǒng)角度,疊加是一個波的形式,不同的量子態(tài)可以進行加法運算。對于具有兩個維度的量子純態(tài),可以表示為一個2維單位向量,也稱為量子比特,即|φ〉=α|0〉+β|1〉,其中α和β是兩個任意復(fù)數(shù),滿足|α|2+|β|2=1,見圖1a。

2)量子純態(tài)的酉演化。在量子力學(xué)中,量子態(tài)的演化服從薛定諤演化方程[22]。對于孤立的量子系統(tǒng),量子純態(tài)的演化等價于復(fù)空間上的矩陣變換。一般地,量子演化等價于將特定的酉矩陣應(yīng)用于量子純態(tài)的表示向量上。一些基本的小規(guī)模量子系統(tǒng)的演化矩陣稱為量子邏輯門。例如,量子比特翻轉(zhuǎn)門(即經(jīng)典的NOT門,或者泡利X門),其矩陣表示為

(1)

它將Bloch球上指向北極的單位向量|0〉翻轉(zhuǎn)至指向南極|1〉,反之亦然。另一個例子是Hadamard門,其矩陣表示為

(2)

(3)

對于多量子比特系統(tǒng),也可以定義量子純態(tài)的演化矩陣。譬如,2個量子比特的受控相位翻轉(zhuǎn),第一個量子位是控制位,第二個是目標量子位,其量子運算定義為

CZ|i〉|j〉=(-1)ij|i〉|j〉

(4)

它利用控制位的狀態(tài)|1〉來控制目標位|1〉的相位翻轉(zhuǎn)。另一個類似的例子是2個量子比特的受控比特翻轉(zhuǎn),其量子運算定義為

CX|i〉|j〉=|i〉|i⊕j〉

(5)

利用控制位的狀態(tài)1來控制目標位的比特翻轉(zhuǎn)。這些單量子比特邏輯門和兩量子比特邏輯門可以用來模擬任意多比特的量子邏輯門,也稱為通用量子邏輯門。

3)量子測量。與量子系統(tǒng)演化不同,對量子純態(tài)的測量一般得到隨機的輸出,其輸出概率分布取決于量子純態(tài)的形式和測量坐標系。在量子力學(xué)中,任何可觀測的物理量都可表示為厄密矩陣表示,其特征值是實數(shù)?？捎^測量的物理實現(xiàn)是將被觀測量子系統(tǒng)投影到其特征向量上,而觀測結(jié)果就是該特征向量所對應(yīng)的特征值。經(jīng)典物理的觀測對應(yīng)于相互正交的投影測量。量子測量可以表示為更一般的正算子測量,其矩陣表示為正的半定算子。量子測量輸出的概率分布遵守伯恩規(guī)則。例如,對單量子比特態(tài)|φ〉=α|0〉+β|1〉進行投影測量,其輸出0和1的概率分別為

p[0]=〈φ|0〉〈0|φ〉=α2

(6)

p[1]=〈φ|1〉〈1|φ〉=β2

(7)

通常,得到某一輸出的概率是被觀測量子態(tài)與該輸出相關(guān)的特征態(tài)的系數(shù)的模平方[22]。

如果有N個量子比特,則共有2N個正交的基態(tài)(從|0,…,0〉到|1,…,1〉)。一般的N個量子比特態(tài)可以表示為

(8)

它是一個2N維復(fù)空間中的單位向量,包括指數(shù)數(shù)量的系數(shù)。量子電路示意圖如圖2所示。

圖2 量子電路Fig.2 Quantum circuit

從量子實驗角度,要實現(xiàn)N量子比特系統(tǒng)的整體控制和演化非常困難,這也是經(jīng)典計算機無法完成物理系統(tǒng)演化模擬的主要原因。為此,研究者將其分解為更小的可控制的量子邏輯門,譬如單量子比特邏輯門和兩量子CX,見圖2a。

在經(jīng)典計算機中,與、或、非門的集合是普適性的,可以用來構(gòu)造任意經(jīng)典計算線路。與此類似,在量子計算中,也存在這樣的普適邏輯門。事實上,任何多量子比特的酉矩陣都可以分解為單量子比特和兩量子比特邏輯門的序列[23],其中,單量子比特門執(zhí)行局部旋轉(zhuǎn),而兩量子比特邏輯門實現(xiàn)量子關(guān)聯(lián),即量子糾纏。譬如,考慮兩量子比特Bell態(tài)如

(9)

此聯(lián)合系統(tǒng)無法表示為2個孤立的單粒子系統(tǒng),且2個量子比特隨時處在相同的狀態(tài)。一般地,可以利用單量子位泡利矩陣表示4個兩粒子Bell態(tài),即

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

GHZ態(tài)是三量子比特糾纏態(tài),不能分解為兩量子比特與單量子比特態(tài)的張量。

1.3 重要量子態(tài)

1)圖態(tài)。圖態(tài)是重要的量子資源。量子位在圖的頂點。圖態(tài)可以用一個量子演化過程來定義：所有量子位的初始化態(tài)為|+〉,相鄰兩個量子位之間可以定義類似Ising的相互作用,并利用CZ邏輯門實現(xiàn)一對相鄰量子位的關(guān)聯(lián)操作,即

(15)

2)簇態(tài)。與一般的量子圖態(tài)不同,簇態(tài)要求底層圖是正則圖,即每個頂點具有相同數(shù)量的鄰點。低維簇態(tài)包括一維晶格或二維正方形晶格,如圖3所示。

圖3 簇態(tài)示意圖Fig.3 Schematic diagram of cluster state

考慮一個d維的晶格,在位置a處的系統(tǒng)關(guān)聯(lián)哈密頓量定義為

(16)

它等價于低溫量子Ising模型,其哈密頓量為

HIsing=-g(t)∑a,a′f(a-a′)ZaZa′

(17)

簇態(tài)是正則圖上的一種特殊圖態(tài),也是通有的量子計算資源,可以用來構(gòu)建針對一般量子計算任務(wù)的單向量子計算模型。

3)矩陣乘積態(tài)。矩陣乘積態(tài)是一種特殊量子態(tài),在基態(tài)時表示系數(shù)可以通過矩陣乘積來計算。矩陣乘積態(tài)的思想來源于密度矩陣重整化群。由于基態(tài)的參數(shù)存儲復(fù)雜度隨量子個數(shù)N的增加呈指數(shù)上升,經(jīng)典計算機無法嚴格對角化來求解基態(tài)。但是,可以將整體態(tài)表示為基態(tài)上的系數(shù)張量。例如,一維晶格上的量子態(tài)可以表示為

A[N]sN)|s1,…,sN〉

(18)

(18)式中：A[i]si表示關(guān)于位置i量子態(tài)si的矩陣表示;d表示物理系統(tǒng)的維數(shù)。3階張量如圖4所示。

圖4 3階張量示意圖Fig.4 Schematic diagram of the third order tensor

(19)

直積態(tài)可以表示為

|00…0〉k+1?…?|00…0〉N

(20)

其中

A[i]0=1,A[i]1=0(i≠k),

(21)

對于N維GHZ態(tài),其量子態(tài)表示為|0〉?N+|1〉?N,其矩陣乘積態(tài)系數(shù)表示為

(22)

矩陣乘積態(tài)為低維量子基態(tài)問題提供了高效的計算方法,可以大大降低計算復(fù)雜度。矩陣乘積態(tài)具有以下性質(zhì)：①任意將系統(tǒng)分為左右兩部分,基于糾纏度量可以計算一維帶能隙系統(tǒng)基態(tài)的性質(zhì);②矩陣乘積態(tài)對應(yīng)的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)隨著距離指數(shù)下降。這也是一維帶能隙系統(tǒng)基態(tài)的性質(zhì)。在嚴格對角化過程中,量子純態(tài)的參數(shù)個數(shù)隨N呈指數(shù)增加。但在矩陣乘積態(tài)中,給定輔助指標的截斷維數(shù),其包含的參數(shù)個數(shù)隨N僅呈線性增加。事實上,如果將多量子比特態(tài)表示為N個二階或三階張量構(gòu)成的矩陣乘積形式,可以將求解基態(tài)問題轉(zhuǎn)換為張量的最優(yōu)化問題,表示為

Emin=minφTr(H|φ〉〈φ|)

(23)

對于一般高維矩陣乘積態(tài)而言,雖然張量的計算復(fù)雜度非常低,但其存儲具有指數(shù)復(fù)雜度。

4)投影糾纏對態(tài)。投影糾纏對態(tài)是可以用局部量子位到局部物理自由度的投影來描述的量子態(tài)。矩陣乘積態(tài)是特殊的投影糾纏對態(tài)。利用無限長度的投影糾纏對態(tài)可以模擬近鄰或次近鄰相互作用的、正方形晶格上的二維量子模型。與密度矩陣重整化群及量子Monte-Carlo方法相比,投影糾纏對態(tài)可以表示糾纏面積定律,也可以用于研究Fermionic模型,Hubbard模型等。

5)張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)(Tensor network states)。張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)是一種特殊的量子態(tài)。在張量網(wǎng)絡(luò)表示中,高階張量可以表示為多個低階張量縮并的形式。一般地,n階張量用n個指標表示,任意2個張量的指標縮并對應(yīng)于相同指標的鏈接。局域張量與投影對糾纏態(tài)的投影有關(guān),如圖5所示。

圖5 張量網(wǎng)絡(luò)與隱形傳態(tài)示意圖Fig.5 Schematic diagram of tensor networks and teleportation

圖5考慮局域相互作用的多量子系統(tǒng),由于粒子數(shù)很多,其張量階數(shù)也很高,相應(yīng)的低階張量也多,圖形是一種很好的表達形式。張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)適用于描述量子多體系統(tǒng)基態(tài)的特定糾纏結(jié)構(gòu),即通過小張量縮并得到的量子態(tài)能精確表示多體系統(tǒng)的基態(tài)和低激發(fā)態(tài)。這樣極大地減小了數(shù)值復(fù)雜度。譬如,一維帶能隙態(tài)對應(yīng)于矩陣乘積態(tài);二維帶能隙態(tài)(包括有拓撲序)對應(yīng)于投影糾纏對態(tài)。張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)表示也被應(yīng)用到其他領(lǐng)域,如統(tǒng)計物理、量子化學(xué)、機器學(xué)習(xí)等。張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)是一種普適的量子態(tài)表示方法,可以表示一般的量子態(tài)。各種量子資源態(tài)對比如表1所示。

表1 各種量子資源態(tài)的對比Tab.1 Comparison of different states

6)貝爾態(tài)測量。也稱作貝爾基測量,對應(yīng)于對兩個量子位的聯(lián)合測量,其測量表示見(10)—(13)式,測量的結(jié)果是將兩個量子位投射到4個貝爾態(tài){|Bij〉}中的任何一個。兩量子態(tài)的聯(lián)合測量在實驗執(zhí)行上具有一定難度,可以通過先執(zhí)行兩量子變換,再執(zhí)行量子投影測量。

2 基于測量的量子計算

基于測量的量子計算利用量子糾纏資源、單量子位測量和經(jīng)典通信輔助來完成量子計算任務(wù),目前,已經(jīng)拓展到基于量子隱形傳態(tài)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移和相關(guān)空間的量子計算模型。這些方法為發(fā)展基于單向模型的量子計算提供了新的研究方法。

2.1 單向量子計算與簇態(tài)

單向量子計算是基于量子簇態(tài)構(gòu)建的量子計算模型。單量子位測量只能減少多量子系統(tǒng)的糾纏量,因此,量子簇態(tài)中量子測量的計算是單向的。標準量子線路模型的量子電路可以轉(zhuǎn)換成簇態(tài)的測量。利用不同的測量基和測量線路可以改變量子計算的線路。在單向量子測量過程中,量子糾纏作為量子資源被消耗,具體來講,在局部位的量子測量中,泡利矩陣和單量子比特旋轉(zhuǎn)門的演化滿足

Rx(θ)X=XRx(θ)

(24)

Rz(θ)X=XRz(-θ)

(25)

Rx(θ)Z=ZRx(-θ)

(26)

Rz(θ)Z=ZRz(θ)

(27)

(24)—(27)式中：Rx(θ)表示沿泡利x軸旋轉(zhuǎn)θ;Rz(θ)表示沿泡利z軸旋轉(zhuǎn)θ。一般地,可以得到

UX=X(XUX)

(28)

UZ=Z(ZUZ)

(29)

(28)—(29)式中：X,Z為泡立矩陣;U為單粒子旋轉(zhuǎn)變換。利用單粒子測量,可以得到

Rz((-1)bβ)ZaXbRx(α)|ψ〉=

ZaXbRz(β)Rx(α)|ψ〉

(30)

兩粒子的演化方式為

CZ(Z?I)=(Z?I)CZ

(31)

CZ(X?I)=(X?Z)CZ

(32)

(31)—(32)式中,CZ為受控非門。

圖6 單項量子計算機的通用門實現(xiàn)Fig.6 Universal gate implementation of one-way quantum computing model

與任意的單量子邏輯門相比,測量軸的適配性并不是實現(xiàn)兩量子比特受控非門的必要條件。基于二維晶格模型,利用局部測量也可以實現(xiàn)任何的量子電路。因此,二維簇態(tài)也是量子計算的通用資源。這種計算模型的優(yōu)勢主要在于其通用性,原則上可以處理所有問題。在實際應(yīng)用中,這種模型也存在缺點,譬如量子簇態(tài)的設(shè)計和制備、量子局部關(guān)聯(lián)的演化和測量誤差的傳遞問題等?？紤]到這些問題,基于簇態(tài)的單向量子計算模型比較適合于小規(guī)模的量子計算和量子系統(tǒng)模擬。

2.2 基于隱形傳態(tài)的單向量子計算模型

基于測量的隱形傳態(tài)量子計算如圖7所示?；诹孔蛹m纏,文獻[24-25]基于量子隱形傳態(tài)構(gòu)造一種量子計算模型,其基本原理見圖7a。引入單量子比特旋轉(zhuǎn)基B：={|BU〉cd},量子隱形傳態(tài)的理論依據(jù)為

圖7 基于測量的隱形傳態(tài)量子計算Fig.7 Measurement based quantum computation of teleportation

(33)

|Bcd〉=ZcXd?I|B00〉

(34)

基于共享的糾纏對|B00〉(4個貝爾狀態(tài)之一),或者其他量子糾纏態(tài)作為量子信道,信息傳遞方對信道上的粒子和輸入的未知粒子作兩粒子的貝爾聯(lián)合測量,并將測量結(jié)果編碼為兩比特經(jīng)典信息cd,發(fā)送給接收方。接收方基于經(jīng)典的測量結(jié)果cd利用單量子比特操作ZcXd可以恢復(fù)出傳輸?shù)奈粗孔颖忍亍；陔[形傳態(tài)[24-26],利用局部測量和分布式量子糾纏資源就可以執(zhí)行一般的量子計算。這種計算模型的主要原理是基于糾纏信道實現(xiàn)量子態(tài)和單量子比特旋轉(zhuǎn),見圖7b。

另一方面,利用兩量子比特邏輯門U可以旋轉(zhuǎn)2對貝爾態(tài)的4量子位態(tài),實現(xiàn)兩量子位門的遠程變換,見圖7c。利用4量子比特的聯(lián)合測量,可以遠程執(zhí)行兩量子比特邏輯門,如CX門。單量子邏輯門和兩量子CX門是普適的,圖7提供了一個通用的量子計算模型。

基于隱形傳態(tài)的量子計算模型不依賴于量子資源態(tài),如簇態(tài)。因此,可以將所有量子位設(shè)置為固定的|0〉狀態(tài)。量子糾纏可以通過糾纏交換來實現(xiàn)。與單向量子計算機的單個量子位測量不同,本模型需要聯(lián)合多量子位的測量,是單向量子計算模型的拓展[6,27]。由于聯(lián)合測量在實驗上較難,有研究者提出減少聯(lián)合測量的量子位數(shù)[28-29]。最近,研究者證明兩個模型是等價的[30]。進而,文獻[31]將兩個模型統(tǒng)一起來,如圖8所示。

圖8 量子邏輯門的遠程執(zhí)行Fig.8 Remote implementation of quantum gates

2.3 基于量子態(tài)轉(zhuǎn)移的量子計算方案

Perdrix基于量子態(tài)的轉(zhuǎn)移提出一種單向量子計算模型[32],其主要思想是利用單量子位和雙量子位操作,如圖9所示。

圖9 基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移實現(xiàn)單向量子計算Fig.9 One way quantum computation via state transition

假設(shè)所有觀察值都有0、1(或者+1、-1)2個結(jié)果,其基本的狀態(tài)轉(zhuǎn)移見圖9a。圖9a中,每個方框表示一個可觀察對象,代表投射到其可觀察特征態(tài)的+1或-1子空間上的2個測量結(jié)果。與隱形傳態(tài)不同,量子態(tài)轉(zhuǎn)移只使用2個量子比特來傳輸1個量子比特。事實上,任意的單量子比特門可以通過旋轉(zhuǎn)量子態(tài)轉(zhuǎn)移中的可觀察對象來實現(xiàn),見圖9b。通過輔助量子位和投影測量相結(jié)合可以實現(xiàn)兩量子CX門,見圖9c。利用這種量子態(tài)轉(zhuǎn)移,可以在一維簇態(tài)下將單向量子計算和基于隱形傳態(tài)的量子計算聯(lián)系起來[33]。在量子態(tài)傳輸和隱形傳態(tài)模型中,可以通過兩量子位測量來實現(xiàn)量子計算的普適性。因而也可以研究兩量子位聯(lián)合測量的模擬實驗難度[29,31]。除了量子計算的量子態(tài)轉(zhuǎn)移,還可以構(gòu)造基于測量的量子圖靈機模型[34]。與基于量子隱形傳態(tài)的計算模型相似,這種量子態(tài)轉(zhuǎn)移計算模型也不依賴于量子簇態(tài)資源,便于量子任務(wù)的構(gòu)造,是普適的量子計算模型。但是,這需要考慮兩粒子的聯(lián)合測量,以及一般的酉變換,其實驗難度較大?；诹孔討B(tài)傳輸和隱形傳態(tài)模型的量子計算模型比較適合于分布式的環(huán)境,可以構(gòu)造量子云計算,或者量子代理計算模型。

2.4 張量網(wǎng)絡(luò)

文獻[35]使用Valence-Bond態(tài)圖來構(gòu)造單向量子計算模型,利用Valence-Bond張量網(wǎng)絡(luò)來解釋量子簇態(tài),也稱為投影對糾纏態(tài)。除邊界外,每個圖的頂點有4個虛擬的量子位,2個相鄰的虛擬量子位形成最大量子糾纏對,或者一種Bond。由于每個點也都是一個量子位,因此,通過|0000〉→|0〉和|1111〉→|1〉,即重復(fù)編碼,將4個虛擬量子位映射到1個物理量子位。除重復(fù)編碼外,一般的投影對糾纏態(tài)需要更一般的局部映射。量子計算在虛擬量子位上執(zhí)行[25,27]。隨后,文獻[36]提出相關(guān)空間的單向量子計算,利用量子態(tài)的張量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),例如一維矩陣積態(tài)[37]以及二維投影糾纏對態(tài)[35,38]來實現(xiàn)量子計算任務(wù)。

基于張量網(wǎng)絡(luò)的量子計算模型可以快速求解一些特定的物理問題,譬如低維晶格上的量子基態(tài),以及低激發(fā)態(tài)的量子糾纏;也可以應(yīng)用于解決一些量子態(tài)模擬問題,譬如量子化學(xué)、凝聚態(tài)物理等。張量網(wǎng)絡(luò)是一種構(gòu)造單向量子計算的方式,其局部張量的縮并是加快量子計算的關(guān)鍵,也是其應(yīng)用的局限。針對特定的問題,需要考慮量子張量態(tài)的快速表示,這是張量網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用的另一個瓶頸。各種量子計算模型的性能對比如表2所示。一方面,大部分量子計算模型都是普適的,可以用來構(gòu)造一般的量子計算機;另一方面,這些普適模型存在相應(yīng)的缺點,對一般問題的加速能力有限,這也是量子計算的主要問題。因此,單向量子計算的發(fā)展方向與其他量子計算模型一樣,都應(yīng)該聚焦在特定應(yīng)用場景。此外,考慮到這些模型的特點,可以嘗試設(shè)計各種特定的應(yīng)用模型。

表2 各種量子計算模型對比Tab.2 Comparison of different quantum computation models

3 基于測量的量子計算實驗進展

基于測量的量子計算模型,特別是基于光子、離子阱、超導(dǎo)、量子點等物理模型構(gòu)建的量子計算模型在物理實驗上也取得了很多進展。光量子態(tài)作為現(xiàn)代量子通信的主要載體,被廣泛應(yīng)用于量子計算模型[38]。2001年,文獻[39]首先實現(xiàn)了線性光學(xué)的量子計算。2005年,文獻[40]利用線性光學(xué)實現(xiàn)基于隱形傳態(tài)的計算模型中的受控邏輯門。文獻[41]等制備4光子簇態(tài)并實現(xiàn)一些基本的邏輯門,以及簡單的Grover算法。對于一般的圖態(tài),光子的多自由可以用來構(gòu)造高維量子系統(tǒng)[42]。文獻[43]基于多自由光子和糾纏態(tài)來實現(xiàn)傳輸量子門的實驗方案。文獻[44-45]利用連續(xù)變量實現(xiàn)單向量子計算。通過輔助前饋技術(shù)降低測量隨機誤差,從而可以完成近似確定的單向量子計算邏輯門[46-47]。基于單向量子模型可以模擬各種常見的算法[48-51]。目前,光學(xué)模擬系統(tǒng)的主要挑戰(zhàn)在于構(gòu)造高保真邏輯門和控制錯誤概率等方面。

基于離子阱的系統(tǒng)將離子囚禁在二維阱中,利用其冷卻后的能級編碼量子態(tài)。通過調(diào)整阱的幾何結(jié)構(gòu)可以用來制備低維簇態(tài)[52-53],模擬邏輯門操作[54]。這種技術(shù)可以用來實現(xiàn)長時間的相干和信息存儲[55-57]。另一種方案是基于超導(dǎo)量子系統(tǒng),基于超導(dǎo)約瑟夫森結(jié)編碼,通過調(diào)控電流、電場或微波實現(xiàn)量子門操作。超導(dǎo)量子電路可以制備大規(guī)模簇態(tài)[58]。光子、離子阱和超導(dǎo)量子技術(shù)發(fā)展非常迅速,具有優(yōu)勢,不過,沒有哪種技術(shù)具備量子計算機的所有優(yōu)點,還需要克服各個模擬系統(tǒng)的技術(shù)屏障,為真正實現(xiàn)量子計算提供支撐。

4 量子糾纏資源

在基于測量的計算中,算法的量子部分是在量子資源態(tài)中進行的局部量子測量,而其他經(jīng)典信息對應(yīng)于量子測量的選擇以及對測量結(jié)果的后驗處理。其具體形式可以概括為2種：①允許(自適應(yīng)選擇)局部量子變換以及局部量子測量;②允許量子層只有深度1,而經(jīng)典層可以有任何深度。在這種形式中,任何單向量子計算都可以看作是經(jīng)典和量子層的交互序列?？偟牧孔討B(tài)從一個量子層傳遞到下一個量子層,下一層中進行的量子作用由前一層量子測量結(jié)果的經(jīng)典計算來確定。因此,任何多項式時間復(fù)雜的量子計算都可以用多項式數(shù)量的量子層來實現(xiàn)。但是,一般地,任何多項式時間復(fù)雜的量子算法需要多少量子層并無從知曉。

5 結(jié)束語

單向量子計算是量子計算的重要模型,具有很好的可擴展性和實驗?zāi)M性。它具有類似量子線路模型和量子絕熱演化模型的通用性,也具有量子隱形傳態(tài)的優(yōu)勢,可以實現(xiàn)遠程的量子計算。單向量子計算將信息處理和多體系統(tǒng)中的問題相聯(lián)系,相關(guān)方向還在不斷拓展和深化。以下列舉一些潛在的研究重點。

1)基于不同資源態(tài)構(gòu)建單向量子計算模型。譬如,保持拓撲序的Union Jack態(tài),基于超圖的超圖態(tài),基于特定物理模型的量子晶格態(tài)等。研究的重點集中在表示能力、計算復(fù)雜度、計算魯棒性等。

2)基于多模型的融合。結(jié)合量子線路模型和單向量子計算,量子絕熱演化模型等發(fā)展混合任務(wù)處理模型。

3)量子測量錯誤控制?；诹孔泳幋a技術(shù)和實驗技術(shù)控制量子測量誤差擴散。

4)高保真的量子邏輯門。單向量子計算與量子線路模型一樣,本質(zhì)上也需要實現(xiàn)一些基本的邏輯門。如何實現(xiàn)高保真量子邏輯門是量子計算的基礎(chǔ)。

5)高效的量子信息讀寫。量子數(shù)據(jù)的讀寫是實現(xiàn)大規(guī)模量子資源態(tài)的基礎(chǔ)。一方面要提供理論上高效的量子讀寫模型,另一方面也要發(fā)展量子讀寫技術(shù)。

6)單向量子計算模型的量子應(yīng)用。探索單向量子計算在特定計算任務(wù)中的優(yōu)勢,譬如多體系統(tǒng)的基態(tài)計算、量子模擬、量子化學(xué)、量子制藥等。

7)量子計算與量子信息之間的關(guān)系。探索量子計算與量子糾纏、量子關(guān)聯(lián)、量子內(nèi)稟性、量子通信、量子互聯(lián)網(wǎng)等之間的關(guān)系。

近年來,很多研究者從理論和實驗上都充分證明了這種量子計算模型的優(yōu)勢。此外,它與量子張量網(wǎng)絡(luò)、量子多體問題等相互關(guān)聯(lián),為理解量子力學(xué)的基礎(chǔ)性質(zhì)提供有效的方法。國內(nèi)也有很多研究成果,限于篇幅在此不再贅述。目前,相關(guān)研究還在進行中,期待早日構(gòu)建大規(guī)模的量子計算機,實現(xiàn)重要的量子計算應(yīng)用。