馬 彬,梁 偉,謝顯中

(1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院,重慶 400065;2.重慶市信產(chǎn)部計算機網(wǎng)絡(luò)與通信技術(shù)重點實驗室,重慶 400065)

0 引 言

認知無線電(cognitive radio,CR)被廣泛認為是解決頻譜利用率低下的有效解決方案之一。當CR中次用戶(second users,SU)發(fā)現(xiàn)授權(quán)頻譜中的空閑頻譜時,CR允許SU機會式接入授權(quán)頻譜。為了避免對主用戶(primary users,PU)造成干擾,CR首要任務(wù)是通過頻譜檢測技術(shù)快速準確地找到可利用的空閑頻譜。

若采用傳統(tǒng)的Nyquist采樣定理對寬帶信號進行頻譜檢測,由于采樣率較高,因而需要高采樣率的模數(shù)轉(zhuǎn)換器。為了解決高采樣率問題,本文提出了一種基于壓縮感知的寬帶頻譜解決方案[1]。壓縮感知(compressive sensing,CS)表明,若信號是稀疏信號,則可以用遠小于奈奎斯特速率進行采樣,然后通過特定的重構(gòu)算法[2]準確重構(gòu)出原始信號。雖然CS技術(shù)能夠有效地降低采樣率,但是也帶來新的問題,即如何估計出信號稀疏度k,稀疏度的準確度決定著寬帶信號的檢測精度。

寬帶信號的高動態(tài)性,使獲取準確的稀疏度k非常困難,而采樣數(shù)目和重構(gòu)精度都與稀疏度k密切相關(guān),大部分貪婪重構(gòu)算法都需要稀疏度k作為其輸入條件,如正交匹配追蹤[3],壓縮采樣匹配追蹤算法等貪婪重構(gòu)算法,此外文獻[4]提出的最優(yōu)k-閾值算法中也是將稀疏度k作為已知信息。因此,如何準確估計出信號稀疏度k尤為重要。文獻[5]利用二項分布精確置信區(qū)間,同時精確估計稀疏度上下界。文獻[6]利用觀測向量中的非零元素的數(shù)目估計出信號稀疏度上界。文獻[7]通過蒙特卡羅實驗仿真分別給出估計信號稀疏度和重構(gòu)信號所需樣本數(shù)目都與稀疏度k有關(guān)。

目前對于信號稀疏度估計的研究中,大都沒有考慮信號噪聲,或者僅僅考慮了測量噪聲,但在實際應(yīng)用中信號噪聲不可忽略。本文主要考慮加性噪聲對信號的影響[8]。在壓縮感知中,信號噪聲經(jīng)過隨機測量后,會被成倍放大,這種現(xiàn)象稱為噪聲折疊[9](noise folding,NF)現(xiàn)象。

由于NF的影響,信號稀疏度估計和信號重構(gòu)過程都帶來新的挑戰(zhàn)。為了減小噪聲NF對壓縮感知的影響,目前的處理方法主要有優(yōu)化感知矩陣和改進重構(gòu)算法兩類。為了能夠在對信號進行采樣時減少對信號噪聲的采樣,文獻[10]假設(shè)噪聲信息先驗已知的情況下,根據(jù)這一先驗信息設(shè)計感知矩陣,智能地過濾噪聲分量。文獻[11]在信號重構(gòu)之后,采樣基于數(shù)據(jù)自適應(yīng)閾值去噪算法對估計出的信號做去噪處理。文獻[12]對重構(gòu)算法做了優(yōu)化處理,引入數(shù)據(jù)預(yù)處理操作,緩解了NF對信號重構(gòu)的影響。

為了解決帶有信號噪聲的寬帶稀疏信號稀疏度估計問題,本文改進基于二項分布的稀疏度估計模型,實現(xiàn)了在已知噪聲信號的方差、觀測向量和感知矩陣的情況下,能夠估出信號稀疏度上界,并且利用稀疏度上界改進了自適應(yīng)閾值去噪算法。

本文的主要貢獻和創(chuàng)新工作如下：①針對帶有高斯白噪聲的寬帶信號,改進了基于二項分布的稀疏度估計模型,推導(dǎo)出觀測向量中噪聲的概率分布函數(shù),在稀疏度估計時,濾除觀測向量中的噪聲分量,提升稀疏度估計性能;②根據(jù)估計出的信號稀疏度的上界計算采樣數(shù)目,在保證能夠準確重構(gòu)出信號的前提下減少采樣數(shù)目,同時利用稀疏度上界改進自適應(yīng)閾值去噪,減少算法的迭代次數(shù),從而可以更準確、更快地確定閾值。

1 壓縮感知中的噪聲折疊現(xiàn)象

假設(shè)長度為N的寬帶頻譜信號s=x+z,若信號是稀疏信號或者在稀疏基Ψ的變換下是稀疏信號,即

X=Ψs=Ψ(x+z)

(1)

(1)式中：z表示服從高斯分布的信號噪聲;Ψ是N×N的矩陣。若變換后X中只有k個非零值,即‖X‖0=k,k?N,則稱X是信號s在稀疏基Ψ變換下的k階稀疏信號。

在CS中,通過M×N(M?N,M是觀測值數(shù)目,M=O(k×log(N/k)))維的感知矩陣A=ΘΨ獲得觀測向量y,由于NF是由信號噪聲引起的,所以本文主要考慮信號噪聲對壓縮感知的影響,即

y=ΘΨs=A(x+z)=Ax+e

(2)

(2)式中：Θ表示M×N(M?N)維的測量矩陣;z表示信號噪聲;e=Az表示有效噪聲。

(3)

當AAT是由(N/M)個正交基組成時,有效噪聲e的協(xié)方差變?yōu)?/p>

(4)

從(4)式可以看出,信號噪聲經(jīng)過壓縮感知的隨機測量協(xié)方差變?yōu)樵瓉淼腘/M倍,這稱為NF現(xiàn)象。

基于改進稀疏度估計模型的壓縮感知去噪算法如圖1所示?？紤]信號噪聲時,受到NF現(xiàn)象的影響,當利用估計樣本對稀疏度進行估計時,由于估計樣本中存在著離散程度較高的噪聲部分,會使得估計出的信號稀疏度不準確。本文做法是先根據(jù)信號噪聲分布和觀測矩陣推導(dǎo)析出估計樣本中噪聲分量的概率統(tǒng)計特征,在估計樣本中去除掉噪聲分量然后再進行稀疏度估計,以提高稀疏度估計的準確性;根據(jù)稀疏度上界確定采樣數(shù)目進行重新采樣,以保證原始信號能夠被準確重構(gòu);同時,根據(jù)稀疏度估計上界值改進自適應(yīng)閾值去噪算法,減少算法在時間以及計算上的開銷。

2 改進基于二項分布的稀疏度估計模型

(5)

2.1 基于二項分布稀疏度估計模型

利用稀疏隨機矩陣作為測量矩陣,先計算估計樣本Me中的非零元素數(shù)目ω,然后根據(jù)二項分布的精確置信區(qū)間估計出了信號稀疏度上界[5],即

(6)

(7)

(6)—(7)式中：「?表示向上取整;Fv1,v2,χ表示自由度為v1,v2的F分布的上100×(1-χ)分位數(shù);χ為顯著水平;ω=‖y‖0。

2.2 二項分布的正態(tài)近似

受到噪聲折疊的影響,估計樣本中不僅含有信號的信息,同時還包含噪聲信息。因此利用估計樣本進行信號稀疏度估計之前,需要先濾除其中的大部分噪聲分量,以保證稀疏度估計的準確性。觀測向量y可以看成是由信號噪聲和測量矩陣的乘積,其中信號噪聲服從高斯分布,而測量矩陣中的元素aij服從二項分布。為了得到y(tǒng)中噪聲分量的概率統(tǒng)計特征,本文把測量矩陣中的元素aij近似為正態(tài)分布。

本文用稀疏隨機矩陣作為測量矩陣,矩陣中的每一個元素aij都服從二項分布,即

aij～B(M,β)

(8)

定理設(shè)隨機變量ηn(n=1,2,…)服從參數(shù)為n,p(0

(9)

棣莫弗—拉普拉斯定理表明,正態(tài)分布是二項分布的極限分布,若滿足

①np≥5;②np(1-p)≥5;則二項分布可近似為正態(tài)分布,即

B(n,p)≈N(np,np(1-p))

(10)

本文測量矩陣中的參數(shù)d=6,np=Mβ=d,滿足條件①。

np(1-p)=d(1-d/M),當采樣數(shù)目M≥6d時,可以滿足條件②,鑒于采樣數(shù)目M=O(klog(N/k)),對于寬帶信號而言很容易滿足M≥6d的前提條件。

綜上所述,本文中測量矩陣中的元素aij可以近似為正態(tài)分布。

2.3 改進的稀疏度估計模型

隨機矩陣中的每一個元素aij～B(M,d/M)。根據(jù)(10)式,此二項分布則可以近似為正態(tài)分布,即

aij～B(M,d/M)≈N(d,d(1-d/M))

(11)

同時信號噪聲也是一個服從N0～N(0,σ2)的正態(tài)分布。

兩個正態(tài)分布相乘后仍然是被壓縮或者是放大的正態(tài)分布,即均值分別為μf、μg,標準差分別為σf、σg的兩個正態(tài)分布相乘后仍為正態(tài)分布,且乘積后的均值μfg和標準差σfg分別為

(12)

(13)

根據(jù)棣莫弗—拉普拉斯定理,測量矩陣中的元素aij可以近似成均值為d、方差為d(1-d/M)的高斯分布,那么與均值為0、方差為σ2的高斯噪聲相乘后,根據(jù)(12)—(13)式,乘積后的均值和標準差分別為

(14)

(15)

至此,求得觀測向量y中噪聲分量是一個均值為μ標準差為σ的正態(tài)分布,令

(16)

此時ξ服從標準的正態(tài)分布,即

(17)

綜上所述,本文把測量矩陣中的元素由二項分布近似為標準正態(tài)分布,為了能夠濾除觀測向量中的大部分噪聲分量,根據(jù)正態(tài)分布的統(tǒng)計特征,給定一個概率p可以通過查標準正態(tài)分布表得到上界ξ1,將求得的ξ1值代入(16)式得到觀測向量中噪聲分量的區(qū)間上界γ。利用噪聲分量的閾值γ先濾除觀測向量中的大部分噪聲分量,根據(jù)觀測向量中大于γ的數(shù)目來估計帶有信號噪聲的寬帶信號的稀疏度,即

h=sum(|y(：)|>γ)

(18)

(19)

(20)

3 基于稀疏度上界改進的自適應(yīng)閾值去噪算法

由于信號稀疏度未知,以及噪聲折疊現(xiàn)象對信號重構(gòu)的影響,經(jīng)壓縮感知重構(gòu)出來的信號會包含被放大過的信號噪聲部分,提高了頻譜檢測的虛警概率,因此在信號重構(gòu)之后加一個自適應(yīng)閾值去噪算法去除重構(gòu)信號的噪聲部分。

本文信號重構(gòu)算法主要討論基追蹤降噪(basis pursuit de-noising,BPDN),BPDN算法的主要目標是尋找欠定方程最優(yōu)解的問題,即

min‖s‖1s.t.‖As-y‖2≤ε

(21)

(21)式中ε>‖c‖2,c表示為測量噪聲。

本文的閾值去噪算法采用了文獻[14]中的自適應(yīng)閾值去噪算法,并基于估計出的稀疏度對自適應(yīng)閾值去噪算法進行改進。該方法可以根據(jù)信號噪聲的變化而自適應(yīng)調(diào)整獲得最優(yōu)的閾值并且可以不用噪聲信息先驗已知,其閾值估計方法示意圖如圖2所示。

圖2 閾值估計方法示意圖Fig.2 Schematic diagram of threshold estimation method

圖2中,重構(gòu)信號按照幅值降序排列,實線代表正確的解向量,點畫線代表重構(gòu)信號中的噪聲分量。選擇重構(gòu)信號最大的幅值w[1]和較小的幅值w[N1]來構(gòu)造一條虛擬的線y=ax+b,其中a=(w[N1]-w[1])/(N1-1),利用點到直線的距離公式得

(22)

最優(yōu)的閾值是距該虛擬直線最遠的一個點的值,即

τ=w[i*],i*=argmaxd(i)

(23)

本文方法可以根據(jù)信號噪聲的變化而自適應(yīng)調(diào)整,獲得最優(yōu)的閾值并且可以不用噪聲信息先驗已知。為了保證在信號稀疏度未知的條件下,能夠準確得到最優(yōu)閾值,通常選取較大的N1。如果選擇的N1小于信號的稀疏度k,此時估計的閾值會偏大,從而提高誤警概率;而選擇較大的N1時,雖然保證了估計出閾值的準確性,但是會增加自適應(yīng)去噪算法的時間開銷。為了既準確得到閾值τ又減少自適應(yīng)閾值去噪算法的時間開銷,本文根據(jù)估計出上界的信號稀疏度 對此方法進行改進。

改進后的自適應(yīng)閾值去噪算法如算法1所示。

算法1改進后的自適應(yīng)閾值去噪算法

輸出：去噪后的稀疏信號x。

4.dis=[];

d_new=abs(a×i+b-x1(i))/sqrt(a2+1);

dis=[dis,d_new];

End

5.[a,g]=max(dis);

6.τ=x1(g);

7.Forj=1：N

xi=0;

else

4 實驗仿真

本文主要從稀疏度估計、采樣率、自適應(yīng)閾值去噪算法的時間開銷、重構(gòu)精度以及檢測精度5個方面進行。前兩組實驗說明本文所改進的稀疏度估計模型能夠估計出帶有信號噪聲的稀疏信號稀疏度以及本文的采樣率大小,其中采樣率的大小與不考慮信號噪聲的二項分布稀疏度估計模型[5]對比分析改進后的性能。第三組實驗是與自適應(yīng)閾值算法[14]對比分析改進后算法的迭代次數(shù),第四組實驗與僅采用BPDN算法對比分析改進的自適應(yīng)閾值去噪算法的重構(gòu),最后一組實驗與文獻[5]、文獻[14]所提算法對比分析檢測概率。仿真實驗重構(gòu)信號的準確性用虛警概率Pf1和誤警概率Pf2之和來表示。計算式為

(24)

Pf1表示原始信號是空閑狀態(tài)的而重構(gòu)信號是被占用狀態(tài),這種情況會使SU可以用的頻譜資源變少;Pf2表示原始信號是占用狀態(tài)而重構(gòu)信號是空閑狀態(tài),這種情況下SU將會干擾PU通信,不符合認知無線電初衷。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

4.1 稀疏度上界估計以及估計成功率

對帶有高斯白噪聲,信噪比分別為SNR=10、SNR=5、SNR=0和SNR=-5的稀疏信號進行稀疏度估計,并與文獻[5]中不考慮信號噪聲的稀疏度估計的成功率進行比較。稀疏度k在閉區(qū)間[10,30]以1為間隔等間距取值,估計樣本在[60,120]以3為間隔等間距設(shè)置采樣數(shù)目。

圖3是稀疏度上界估計成功率隨著估計樣本Me變化的仿真結(jié)果圖。圖3中稀疏度k=10,估計樣本Me在[10,80]以10為間隔等間距取值。由圖3可知,隨著樣本數(shù)目的增加,本文改進的稀疏度估計模型和文獻[5]中的稀疏度估計模型的估計成功率都不斷在增加并且成功率都最終接近于1。本文模型在SNR=10時,在估計樣本達到40時,稀疏度上界估計成功率就接近于1。而文獻[5]中的稀疏度估計模型雖然稀疏度上界估計的成功率也隨著估計樣本的增加在不斷增大,但其成功率仍然小于本文的模型。說明本文的稀疏度估計模型更加適用于帶有信號噪聲的稀疏信號。從圖3中可以看出,在樣本數(shù)達到70時,稀疏度上界估計的成功率較高。以下仿真實驗中,稀疏度k=10時,估計樣本數(shù)均為70。

圖3 稀疏度上界估計成功率Fig.3 Upper bound estimation success rate of sparsity

圖4是稀疏度上界估計的仿真結(jié)果。由圖4可知,本文模型在SNR=10、SNR=5、SNR=0、SNR=-5時,都能夠成功估計出信號的稀疏度上界,這表明本文改進的稀疏度估計模型適應(yīng)于帶有噪聲的稀疏信號,且對于不同的SNR都能夠準確地估計出稀疏度上界,對噪聲具有魯棒性。

圖4 稀疏度估計Fig.4 Sparsity estimation

4.2 采樣率大小對比

本文根據(jù)估計出的信號稀疏度上界計算信號采樣率。采樣率定義為M/N,N在閉區(qū)間[300,2 100]以300為間隔等間距取值。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 本文與不考慮信號噪聲模型的采樣率對比Fig.5 This paper compares the sampling rate with the model without considering signal noise

由圖5可知,在信號稀疏度一定時,隨著信號長度的增加,采樣率逐漸降低。在信號長度相同時,兩種方法的采樣率都大于實際稀疏度的采樣率。兩者都利用估計出上界的稀疏度來計算采樣數(shù)目M,雖然增加了一定的采樣成本,但是能夠確保準確重構(gòu)出原始信號。在信號長度較小時,本文的采樣率基本與文獻[5]相同;在信號長度較大時本文的采樣率略高于文獻[5]的采樣率。這說明本文模型適用于帶有噪聲的寬帶稀疏信號的稀疏度估計,能夠和文獻[5]沒有考慮信號噪聲的情況相比擬,極大地降低了帶有噪聲的寬帶稀疏信號的采樣率。

4.3 閾值去噪算法時間開銷對比

圖6展示了不同算法迭代次數(shù)變化情況。在稀疏度k=10時,估計樣本Me在[60,80]以2等間隔增加。從圖6可以看出,文獻[14]中的自適應(yīng)閾值去噪算法的迭代次數(shù)在60次左右,而利用稀疏度的上界改進的自適應(yīng)算法的迭代次數(shù)得到顯著降低,迭代次數(shù)僅僅略大于信號真實的稀疏度,極大地減少了自適應(yīng)閾值去噪算法的時間開銷,能夠滿足認知網(wǎng)絡(luò)的高動態(tài)性要求。

圖6 迭代次數(shù)比較Fig.6 Comparison of iterations

4.4 檢測精度比較

圖7是檢測精度隨著信號稀疏度k變化的仿真結(jié)果。估計樣本Me=70,稀疏度k在[10,30]以2為間隔等間距取值,本文與文獻[14]都在原始稀疏信號中加入了SNR=10的高斯白噪聲,而文獻[5]的原始信號中不含有信號噪聲。檢測概率Ptrue=1-Pf1-Pf2。

圖7 不同算法之間檢測精度對比Fig.7 Comparison of detection accuracy between different algorithms

從圖7中可以看出,隨著稀疏度k的增大,3種檢測算法的檢測精度都呈現(xiàn)下降的趨勢這是因為估計樣本數(shù)目不變時隨著信號稀疏度k的增大,信號稀疏度k的估計成功率降低,最終影響了寬帶信號的檢測精度。圖7中文獻[5]的檢測精度最高,原因是本文和文獻[14]都在原始的稀疏信號中都加入了高斯白噪聲,經(jīng)過隨機測量后,信號噪聲被成倍放大,從而影響了信號的重構(gòu)效果。本文模型檢測精度優(yōu)于文獻[14],原因是本文對文獻[14]的閾值去噪算法進行了改進,能夠根據(jù)估計出的信號稀疏度自適應(yīng)調(diào)整閾值去噪算法中的N1參數(shù),從而使得檢測精度增加。這說明本文算法對重構(gòu)信號的去噪效果要優(yōu)于文獻[14]。

5 結(jié)束語

本文利用改進的稀疏度估計模型,較為準確地估計出了帶有高斯白噪聲的稀疏信號稀疏度上界,并利用稀疏度上界確定采樣數(shù)目M,減少了不必要采樣;利用稀疏度上界對自適應(yīng)閾值去噪算法進行改進,在保證算法的有效性的同時也減少了自適應(yīng)閾值去噪算法迭代次數(shù)。