李雪利， 杜逆索， 歐陽智， ， 朱 鵬

（1 貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 貴陽 550025； 2 貴州大學(xué)貴州省大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)發(fā)展應(yīng)用研究院， 貴陽 550025；3 貴州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 貴陽 550025）

0 引 言

群智能優(yōu)化算法通過模擬生物群體行為所構(gòu)建的優(yōu)化模型，幫助解決了實(shí)際復(fù)雜項(xiàng)目和工程的優(yōu)化問題。 如蟻獅算法［1］、灰狼優(yōu)化算法［2］、蝗蟲優(yōu)化算法［3］、正余弦算法［4］、多元宇宙優(yōu)化算法［5］等，這些算法主要研究在復(fù)雜的多維解空間里尋得全局最優(yōu)解。

白骨頂優(yōu)化算法（Coot Optimization Algorithm，COOT）是Naruei 等［6］在2021 年提出的一種新型智能優(yōu)化算法。 該算法通過模擬白骨頂在水中的不同運(yùn)動(dòng)方式，并將這些運(yùn)動(dòng)方式抽象于數(shù)學(xué)建模以實(shí)現(xiàn)全局尋優(yōu)。 因該算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制參數(shù)少、求解精度高等優(yōu)點(diǎn)，并在測(cè)試中試驗(yàn)結(jié)果良好，故具有廣泛的應(yīng)用前景。 雖然COOT 算法在優(yōu)化方面具有一定優(yōu)勢(shì)，但尋優(yōu)過程中依然存在一些不足。 如：白骨頂?shù)姆N群隨機(jī)初始化和參數(shù)隨機(jī)化會(huì)影響算法的尋優(yōu)性能，白骨頂個(gè)體的位置更新機(jī)制無法很好地平衡局部探索與全局開發(fā)的關(guān)系，以及收斂精度欠缺等問題。

目前，由于群智能算法都存在與COOT 相似的問題，促使研究者對(duì)此開展了相關(guān)研究。 為了實(shí)現(xiàn)更好的尋優(yōu)性質(zhì)，研究人員對(duì)群智能優(yōu)化算法的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，將群智能優(yōu)化算法與反向?qū)W習(xí)［7］、萊維飛行［8］等策略相結(jié)合。 例如，魏偉一等［9］將精英反向?qū)W習(xí)與螢火蟲算法相結(jié)合，并使用了自適應(yīng)步長(zhǎng)平衡算法的探索能力，使算法具有更快的收斂速度，更準(zhǔn)確的收斂精度。 肖子雅等［10］將鯨魚優(yōu)化算法與精英反向?qū)W習(xí)和黃金分割數(shù)相結(jié)合，通過平衡算法的局部搜索和全局優(yōu)化能力，來增強(qiáng)算法的穩(wěn)定性，得到更優(yōu)的搜索結(jié)果。 為了緩解算法容易陷入局部最優(yōu)，無法尋得全局最優(yōu)的問題，楊文珍等［11］將擾動(dòng)機(jī)制和強(qiáng)化萊維飛行融入蝗蟲優(yōu)化算法，增強(qiáng)了算法的全局搜索能力。 唐海波等［12］在算法中加入模擬退火與貪心策略，有效的提高了算法性能。

綜上所述，現(xiàn)已有許多研究針對(duì)各種群體智能優(yōu)化算法的不足之處提出了不同的策略方法，并取得了一定程度的改進(jìn)效果，而針對(duì)白骨頂優(yōu)化算法不足的研究還較少。 本文針對(duì)COOT 算法存在收斂速度慢、收斂精度欠缺的問題，提出了基于擾動(dòng)因子和貪心策略改進(jìn)的白骨頂優(yōu)化算法（PGCOOT）：一方面在白骨頂種群初始化階段結(jié)合精英反向?qū)W習(xí)進(jìn)行初始化，另一方面在白骨頂個(gè)體移動(dòng)中融入擾動(dòng)因子和貪心策略來改變移動(dòng)機(jī)制。 因此，本文所提算法不僅改善了白骨頂種群的位置分布，而且能夠更好的協(xié)調(diào)算法的局部搜索和全局優(yōu)化能力，從而提高算法的收斂性能。

1 白骨頂優(yōu)化算法

白骨頂優(yōu)化算法（COOT）是在研究白骨頂在水中兩種運(yùn)動(dòng)方式的基礎(chǔ)上提出的一種新型智能優(yōu)化算法。 在COOT 優(yōu)化算法中，整個(gè)白骨頂種群由領(lǐng)導(dǎo)者（leader）和普通白骨頂鳥（coot）組成。 領(lǐng)導(dǎo)者是指種群前面的少數(shù)指引種群走向目標(biāo)（食物）的白骨頂。 白骨頂有許多不同的集體行為，COOT 算法的目標(biāo)是模擬白骨頂在水面上的集體運(yùn)動(dòng)。 算法中模擬了白骨頂在水面上4 種不同的移動(dòng)，分別是：個(gè)體的隨機(jī)移動(dòng)、鏈?zhǔn)揭苿?dòng)、根據(jù)群體領(lǐng)導(dǎo)者們調(diào)整位置以及l(fā)eader 帶領(lǐng)種群走向最佳區(qū)域（領(lǐng)導(dǎo)者運(yùn)動(dòng)）。

1.1 初始化階段

使用公式（1）在空間中隨機(jī)生成Coot 種群：

其中，CootPos（i） 為cooti的位置；d為一系列的變量或問題維度；lb為搜索空間的下限；ub為搜索空間的上限；.?為點(diǎn)乘運(yùn)算。

在生成初始群體并確定每個(gè)主體的位置后，隨機(jī)選取NL個(gè)白骨頂個(gè)體作為leader，最后通過目標(biāo)函數(shù)計(jì)算所有白骨頂?shù)倪m應(yīng)度。

1.2 coot 的移動(dòng)

在整個(gè)移動(dòng)過程中，coot每次都從個(gè)體的隨機(jī)移動(dòng)、鏈?zhǔn)揭苿?dòng)、根據(jù)群體領(lǐng)導(dǎo)者們調(diào)整位置這3 種移動(dòng)方式中隨機(jī)選取一種作為移動(dòng)方式。

1.2.1 個(gè)體隨機(jī)移動(dòng)

個(gè)體的隨機(jī)移動(dòng)能對(duì)搜索空間的不同部分進(jìn)行探索。 如果算法陷入局部最優(yōu)，采用隨機(jī)移動(dòng)的方式能夠緩解此類問題。 為了實(shí)現(xiàn)這種移動(dòng)，首先隨機(jī)選取一個(gè)位置， 再將coot移向這個(gè)位置，之后根據(jù)公式（2） 來更新coot的位置。

其中，R2 為區(qū)間［0， 1］ 中的隨機(jī)數(shù)；CootPos（i） 表示cooti的位置；Q為隨機(jī)選取的位置；A值可根據(jù)公式（3）計(jì)算得出。

其中，L表示當(dāng)前迭代次數(shù)，Iter表示最大迭代次數(shù)。

1.2.2 鏈?zhǔn)揭苿?dòng)

實(shí)現(xiàn)鏈移動(dòng)時(shí)，首先計(jì)算兩個(gè)白骨頂位置點(diǎn)之間的距離矢量，然后向其中一個(gè)白骨頂?shù)姆较蛞苿?dòng)另一個(gè)白骨頂，移動(dòng)距離為矢量的一半。 新位置的計(jì)算方法為公式（4）。

其中，CootPos（i） 表示cooti的位置，CootPos（i －1） 表示cooti－1的位置。

1.2.3 根據(jù)群體領(lǐng)導(dǎo)者們調(diào)整位置

當(dāng)前面的幾個(gè)leader 領(lǐng)導(dǎo)族群走向最佳區(qū)域時(shí)，其余的coot 則根據(jù)leader 的位置調(diào)整自己的位置。 由于種群中不止一個(gè)leader，因此coot 在移動(dòng)過程中根據(jù)公式（5）的機(jī)制來選擇某一個(gè)leader 作為參考位置。

其中，i為當(dāng)前coot 的索引號(hào)；NL為初始時(shí)設(shè)置的leader 數(shù)量；K為leader 的索引號(hào)；MOD 表示取余運(yùn)算。

在選定某個(gè)leader 作為參考位置后，coot 則朝著參考位置移動(dòng)。 移動(dòng)后的新位置由公式（6）計(jì)算得出。

其中，CootPos（i） 表示cooti當(dāng)前位置；LeaderPos（k） 為選定的leaderk的位置；R1 為區(qū)間［0，1］中的隨機(jī)數(shù)；π 為圓周率；R為區(qū)間［－1，1］中的隨機(jī)數(shù)。

1.3 leader 的移動(dòng)

COOT 優(yōu)化尋優(yōu)過程中，領(lǐng)導(dǎo)者leader 的移動(dòng)至關(guān)重要，leader 需要朝著目標(biāo)（最優(yōu)點(diǎn)）更新位置。有時(shí)領(lǐng)導(dǎo)者需要離開當(dāng)前的最佳位置去尋找更好的位置。 更新領(lǐng)導(dǎo)者位置的計(jì)算如公式（7）。 這個(gè)公式展現(xiàn)了接近和遠(yuǎn)離當(dāng)前最佳位置的策略。

其中，LeaderPos（i） 為leaderi的位置；gBest為迄今為止發(fā)現(xiàn)的最佳位置；R3、R4 為區(qū)間［0，1］中的隨機(jī)數(shù)；π 為圓周率；R為區(qū)間［ －1，1］中的隨機(jī)數(shù)；B可根據(jù)公式（8）計(jì)算所得。

其中，L表示當(dāng)前迭代，Iter表示最大迭代。

隨機(jī)選擇接近或遠(yuǎn)離當(dāng)前最佳位置，并以不同的半徑在迄今最佳的位置周圍進(jìn)行搜索，意味著白骨頂優(yōu)化算法在接近最優(yōu)點(diǎn)的階段也在進(jìn)行探索，以便算法遠(yuǎn)離陷入局部最優(yōu)的困境。

2 白骨頂優(yōu)化算法的改進(jìn)

2.1 精英反向?qū)W習(xí)

一般而言，算法的收斂精度和速度均與初始種群中個(gè)體的位置分布有關(guān)。 與其它算法類似，COOT算法在使用隨機(jī)方式對(duì)coot 種群位置進(jìn)行初始化后，才進(jìn)行優(yōu)化迭代。 但隨機(jī)初始化會(huì)導(dǎo)致COOT算法的可行解范圍較大，造成算法收斂時(shí)間較長(zhǎng)，會(huì)降低算法的搜索能力，影響算法的搜索結(jié)果等問題。

一般而言，精英反向?qū)W習(xí)策略可以對(duì)種群初始化階段進(jìn)行優(yōu)化來提升算法的收斂性能。 首先，在種群初始化階段產(chǎn)生相應(yīng)的反向種群。 生成反向種群的方式表示如公式（9）所示：

其中，CootPos（i） 為當(dāng)前個(gè)體cooti的位置信息；為相應(yīng)的反向種群個(gè)體的位置信息；lb為搜索空間的下限；ub為搜索空間的上限；k是產(chǎn)生于［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)。

其次，根據(jù)公式（10），在得到反向種群位置信息后，依序比較初始種群和反向種群的個(gè)體適應(yīng)度，最后將同一位置的適應(yīng)度更優(yōu)的個(gè)體放入初始種群的對(duì)應(yīng)位置中。

其中，CootPos（i） 為當(dāng)前個(gè)體cooti的位置信息；為相應(yīng)的反向種群個(gè)體的位置信息；為反向種群中個(gè)體的適應(yīng)度值；fi為隨機(jī)初始化種群中個(gè)體cooti的適應(yīng)度值。

2.2 貪心策略移動(dòng)機(jī)制

COOT 優(yōu)化算法尋優(yōu)過程中，由于coot 的移動(dòng)方式是從上述3 種移動(dòng)方式中隨機(jī)選取的。 這種個(gè)體移動(dòng)選擇方式容易出現(xiàn)收斂速度慢、收斂精度低等問題。 因此，考慮在coot 的移動(dòng)方式選取過程中加入貪心策略，來減少移動(dòng)過程的盲目性。 將貪心策略加入到coot 的移動(dòng)中表現(xiàn)為：先通過比較上次迭代移動(dòng)后的位置是否有進(jìn)步，再?zèng)Q定本次迭代過程中移動(dòng)方式的選取［14］。 當(dāng)上次移動(dòng)后的位置有進(jìn)步時(shí)，本次移動(dòng)過程選取與上次相同的移動(dòng)方式；當(dāng)上次移動(dòng)后的位置表現(xiàn)更差時(shí)，本次移動(dòng)過程選擇與上次不同的移動(dòng)方式，以求更好的移動(dòng)表現(xiàn)。其基本規(guī)則如公式（11）所示：

其中，Move（i）l為cooti在第l次移動(dòng)時(shí)所選擇的移動(dòng)方式；～表示非運(yùn)算；random表示隨機(jī)選?。籪（i）l為cooti的第l次移動(dòng)的適應(yīng)度值。

2.3 帶擾動(dòng)因子的領(lǐng)導(dǎo)者

在整個(gè)尋優(yōu)過程中，領(lǐng)導(dǎo)者的位置關(guān)乎整個(gè)種群的動(dòng)向［15］。 在leader 的移動(dòng)過程中添加擾動(dòng)因子，能夠改變leader 的探索范圍，協(xié)調(diào)局部搜索和全局優(yōu)化能力，從而得到更優(yōu)的搜索結(jié)果［13］。 當(dāng)leader 朝著接近最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，勘探范圍由大到小過渡，增強(qiáng)局部搜索能力［16－17］；而leader 朝著遠(yuǎn)離最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，搜索范圍由小到大變化，增強(qiáng)了全局探索能力，能有效的避免陷入局部最優(yōu)的問題。 擾動(dòng)因子q定義如公式（12）所示［11，14－15］：

其中，L是當(dāng)前迭代；Iter是最大迭代；π 為圓周率。

通過對(duì)α和β在［0，20］區(qū)間內(nèi)依次取值進(jìn)行組合實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)α＝4、β＝5 時(shí)，全局勘探能力與局部探索能力能夠得到較好的平衡，此時(shí)尋優(yōu)效果最好。 改進(jìn)后的領(lǐng)導(dǎo)者移動(dòng)公式如公式（13）所示：

2.4 PGCOOT 算法描述

綜上所述，本文將精英反向?qū)W習(xí)、貪心策略和擾動(dòng)因子與COOT 算法融合得到PGCOOT 算法。 該算法能更好的協(xié)調(diào)局部搜索和全局優(yōu)化，具有更優(yōu)的搜索性能，從而提升算法的收斂效果。 PGCOOT算法實(shí)現(xiàn)流程如圖1 所示。 算法步驟如下：

圖1 PGCOOT 算法流程圖Fig. 1 PGCOOT algorithm flow diagram

Step 1確定白骨頂種群個(gè)數(shù)N，最大迭代次數(shù)Iter，空間維度d，搜索空間上下限等參數(shù)；

Step 2隨機(jī)產(chǎn)生種群個(gè)體，初始化種群，隨機(jī)選取NL個(gè)leader，并計(jì)算種群適應(yīng)度值；

Step 3采用精英反向?qū)W習(xí)產(chǎn)生反向種群，再選取每個(gè)序號(hào)下最好的個(gè)體作為種群個(gè)體；

Step 4進(jìn)入主循環(huán)，While 當(dāng)前迭代次數(shù)l＜Iter；

Step 5coot 選取移動(dòng)方式。 當(dāng)l＝1 時(shí)，coot隨機(jī)選取移動(dòng)方式；當(dāng)l ＞1 時(shí)，coot 根據(jù)貪婪策略改進(jìn)的機(jī)制（式（11））選取移動(dòng)方式；

Step 6coot 根據(jù)已選取移動(dòng)方式，依據(jù)式（2）～式（6）實(shí)現(xiàn)位置信息更新；

Step 7leader 根據(jù)加入擾動(dòng)因子的領(lǐng)導(dǎo)者運(yùn)動(dòng)式（13）進(jìn)行位置信息更新；

Step 8計(jì)算種群適應(yīng)度，獲取當(dāng)前適應(yīng)度最好的值，并更新leader；

Step 9判斷是否達(dá)到停止條件，滿足則迭代過程結(jié)束；否則返回Step 4 繼續(xù)迭代；

Step 10輸出最優(yōu)適應(yīng)度值和最佳位置。

2.5 PGCOOT 算法復(fù)雜度分析

在標(biāo)準(zhǔn)COOT 算法中，假設(shè)種群規(guī)模為N，求解空間維數(shù)為d， 標(biāo)準(zhǔn)COOT 進(jìn)行參數(shù)初始化的復(fù)雜度為O（1），則個(gè)體適應(yīng)度為O（N），種群復(fù)雜度為O（N×d），此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)COOT 算法的整體復(fù)雜度如公式（14）所示：

PGCOOT 算法在初始化階段使用精英反向?qū)W習(xí)策略，替換隨機(jī)初始化后復(fù)雜度為O（N×d）；在個(gè)體適應(yīng)度計(jì)算階段使用貪心策略后，復(fù)雜度為O（N×d），干擾因子復(fù)雜度為O（N×d）；算法整體復(fù)雜度如公式（15） 所示：

顯然O（COOT）＝O（PGCOOT）。 可見，相比于標(biāo)準(zhǔn)COOT 算法，本文所提算法與標(biāo)準(zhǔn)COOT 算法時(shí)間復(fù)雜度一致。

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為證明PGCOOT 算法加入不同改進(jìn)策略的有效性，并且具有更好的性能，將其算法與其他算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析。 實(shí)驗(yàn)從以下3 方面進(jìn)行：

（1）將PGCOOT 算法與貪心策略下的改進(jìn)算法COOT1、精英反向?qū)W習(xí)初始化與加入擾動(dòng)因子的領(lǐng)導(dǎo)者運(yùn)動(dòng)改進(jìn)后的算法COOT2、標(biāo)準(zhǔn)COOT 算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證不同策略的有效性。 同時(shí)，為了驗(yàn)證PGCOOT 的時(shí)間復(fù)雜度，與COOT 進(jìn)行了比較分析。

（2）將PGCOOT 算法與蟻獅算法（ALO）、 灰狼優(yōu)化算法（GWO）、蝗蟲優(yōu)化算法（GOA）、正余弦算法（SCA）、多元宇宙優(yōu)化算法（MVO） 和原始的COOT算法在d＝ 30 條件下做實(shí)驗(yàn)比較，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)論證PGCOOT 算法的可行性、有效性和優(yōu)越性。 再根據(jù)尋優(yōu)能力的表現(xiàn)，選取前三名算法在d＝ 100 時(shí)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

（3）將PGCOOT 算法與蟻獅算法（ALO）、 灰狼優(yōu)化算法（GWO）、蝗蟲優(yōu)化算法（GOA）、正余弦算法（SCA）、多元宇宙優(yōu)化算法（MVO） 和原始的COOT算法進(jìn)行Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)，以此驗(yàn)證PGCOOT 算法相較于其他算法具有顯著性差異。

為了檢驗(yàn)本文所提PGCOOT 算法的尋優(yōu)能力，實(shí)驗(yàn)使用8 種標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)來對(duì)算法進(jìn)行不同尋優(yōu)特征上的測(cè)試。 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)見表1。 其中F1、F2、F3、F4為單峰函數(shù)，F(xiàn)5、F6、F7、F8是多峰函數(shù)，存在多個(gè)局部極值，求解難度較高。

表1 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Tab. 1 Standard test function

實(shí)驗(yàn)環(huán)境：本文所有實(shí)驗(yàn)均在Intel? CoreTMi5－7500 CPU＠3.40 GHz，RAM 8.0 GB，運(yùn)行環(huán)境為64位Window10 操作系統(tǒng)，MATLAB 2018b 軟件上進(jìn)行。 為了與其它算法進(jìn)行公平比較，將種群規(guī)模都設(shè)為N＝30，設(shè)置領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)量占比為0.1，最大迭代次數(shù)Iter為500、α為4，β為5。 每個(gè)測(cè)試函數(shù)都進(jìn)行了30 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，以排除隨機(jī)性對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，并記錄最優(yōu)值（Best）、平均值（Mean）與標(biāo)準(zhǔn)差（Std），來整體評(píng)價(jià)各算法的性能。 其中，平均值用于表示算法的平均尋優(yōu)能力，最優(yōu)值用于表示算法的尋優(yōu)極限，標(biāo)準(zhǔn)差表示算法的魯棒性。

3.1 不同策略比較

為驗(yàn)證PGCOOT 算法中各策略的有效性，將原始算法COOT 與COOT1、COOT2、PGCOOT 在d＝30時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較，從而驗(yàn)證各策略的有效性。 各策略算法獨(dú)立運(yùn)行30 次后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表2，可視化結(jié)果如圖2 所示。 從對(duì)表2 和圖2 的分析可知：

表2 PGCOOT 與COOT、COOT1、COOT2 結(jié)果Tab. 2 Results of PGCOOT and COOT， COOT1 and COOT2

圖2 各策略算法的平均收斂曲線Fig. 2 Average convergence curves of several strategy algorithms

（1）對(duì)于F1和F3，COOT、COOT2 和COOT1 并未收斂至最優(yōu)值。 COOT1 與原始算法相比，收斂精度略有提升；COOT2 的精度則比原始算法提升了至少200 個(gè)數(shù)量級(jí)。 而融合了COOT1 和COOT2 策略的PGCOOT 算法則在迭代接近450 次時(shí)就收斂至理論最優(yōu)值，并且PGCOOT 的收斂平均值（Mean）和標(biāo)準(zhǔn)差（Std）均為0。 這表明在30 次實(shí)驗(yàn)中，PGCOOT 能100%取得理論最優(yōu)解。

（2）對(duì)于F2和F4，各策略算法均未收斂至理論最優(yōu)值，但PGCOOT 最接近理論最優(yōu)值，與原始算法相比提升了170 個(gè)數(shù)量級(jí)左右，并且COOT1 和COOT2 的改進(jìn)策略結(jié)果也優(yōu)于原始的COOT。

在相同條件下，對(duì)于單峰函數(shù)F1～F4的對(duì)比分析結(jié)果，展現(xiàn)了改進(jìn)策略COOT1 和COOT2 在收斂速度與收斂精度的有效性，而PGCOOT 算法融合了COOT1 和COOT2 的優(yōu)點(diǎn)，在各函數(shù)上都獲得了更高的準(zhǔn)確性和更快的收斂速度，表明了所提算法的優(yōu)越性。

在多峰函數(shù)時(shí)，對(duì)于F5來看，各策略算法均未收斂至最優(yōu)值。 收斂平均值（Mean）表明，與COOT相比，COOT1 收斂精度相對(duì)更高，COOT2 的收斂精度則大幅提升，而融合了COOT1 和COOT2 策略的PGCOOT 收斂精度最高，最接近理論值。 通過最優(yōu)值（Best）和標(biāo)準(zhǔn)差（Std）的比較，表明了PGCOOT 的尋優(yōu)極限更高、收斂效果更加穩(wěn)定。 分析F6與F8時(shí)的結(jié)果，各策略算法均實(shí)現(xiàn)最優(yōu)值（Best）與理論值相等；但收斂平均值（Mean）和標(biāo)準(zhǔn)差（Std）結(jié)果則表明了COOT 和COOT1 并不能保證100%取得理論最優(yōu)解，而PGCOOT、COOT2 的30 次運(yùn)行均能夠100%取得理論最優(yōu)解。 從收斂速度來看，PGCOOT的收斂速度比COOT2 更快。

綜上，在多峰函數(shù)F5～F8時(shí)，融合了COOT1 和COOT2 策略的PGCOOT 在尋優(yōu)精度、穩(wěn)定性和收斂速度上都表現(xiàn)出了遠(yuǎn)優(yōu)于其他算法的性能。

為了驗(yàn)證PGCOOT 的時(shí)間復(fù)雜度，在上述條件下，將PGCOOT 與COOT 在相同函數(shù)下獨(dú)立運(yùn)行30次的總時(shí)間進(jìn)行記錄，結(jié)果見表3。 從表3 可以看出，PGCOOT 與COOT 運(yùn)行30 次所用時(shí)間均在3 s左右，不存在較大的差異。 說明本文算法在標(biāo)準(zhǔn)COOT 算法中使用多種策略后，時(shí)間復(fù)雜度并沒有上升，運(yùn)行效率也未受到影響。

表3 PGCOOT 與COOT 獨(dú)立運(yùn)行30 次時(shí)間（s）比較Tab. 3 Comparison between PGCOOT and COOT when running independently for 30 times

3.2 不同算法比較

本次實(shí)驗(yàn)運(yùn)用8 個(gè)測(cè)試函數(shù)，在參數(shù)設(shè)置統(tǒng)一的條件下，測(cè)試PGCOOT 算法的尋優(yōu)速度與尋優(yōu)精度。 通過最優(yōu)值（Best） 、平均值（Mean） 與標(biāo)準(zhǔn)差（Std） 3 個(gè)指標(biāo)，評(píng)價(jià)PGCOOT 的尋優(yōu)能力。

本文選取蟻獅算法（ALO）、 灰狼優(yōu)化算法（GWO）、蝗蟲優(yōu)化算法（GOA）、正余弦算法（SCA）、多元宇宙優(yōu)化算法（MVO） 和原始的COOT 算法等，與改進(jìn)算法PGCOOT 在d＝30 時(shí)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表4，收斂曲線如圖3 所示。

表4 PGCOOT 及其他算法結(jié)果Tab. 4 Results of PGCOOT and other algorithms

圖3 PGCOOT 及其他算法收斂曲線Fig. 3 Convergence curves of PGCOOT and other algorithms

由對(duì)表4 和圖3 的分析可知：

（1）對(duì)于單峰函數(shù)F1～F4，PGCOOT 能迅速收斂至最優(yōu)值或最優(yōu)值附近，而其余算法收斂精度較低，收斂速度較慢。 其中，在F1、F3上只有本文所提出的PGCOOT 獲得了理論最優(yōu)值，其余算法均未尋到理論最優(yōu)值。 從平均值與標(biāo)準(zhǔn)差來看，PGCOOT尋優(yōu)成功率高達(dá)100%，具有比其他算法更好的穩(wěn)定性。 從對(duì)應(yīng)的收斂曲線中可以看到，雖然GWO與COOT 有著不錯(cuò)的效果，但是PGCOOT 在收斂速度上占有明顯優(yōu)勢(shì)。 對(duì)于F2、F4而言，雖然所有算法均未尋到理論最優(yōu)值，但PGCOOT 的結(jié)果最接近理論值；從平均值與標(biāo)準(zhǔn)差來看，PGCOOT 也具有更好的魯棒性和平均尋優(yōu)能力。

（2）從多峰函數(shù)F5～F8的結(jié)果可見，在F5函數(shù)上，雖然所有算法均未尋到理論最優(yōu)值，但從接近理論最小值的程度來看，PGCOOT 的結(jié)果最接近于理論最優(yōu)值。 在F6和F8函數(shù)上，PGCOOT、GWO 與COOT 均跳出局部最優(yōu)，尋到理論最優(yōu)值，但是從平均值與標(biāo)準(zhǔn)差來看，PGCOOT 具有更好的穩(wěn)定性，能夠100%尋得理論最優(yōu)值。 對(duì)于F7， 雖然PGCOOT與其他算法均未尋到理論最優(yōu)值，但PGCOOT 獲得的最優(yōu)值8.881 8E－16 是所有算法中最接近理論值的結(jié)果之一。 并且從平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果可以看到，PGCOOT 的穩(wěn)定性最好。 這表明了在F7函數(shù)下，PGCOOT 相對(duì)于其它算法仍然最具競(jìng)爭(zhēng)力。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提PGCOOT 算法，將與上述結(jié)果中表現(xiàn)最好的GWO 和COOT 在d＝ 100 時(shí)再次進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。 所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表5，收斂曲線見圖4。

表5 PGCOOT、GWO、COOT 結(jié)果Tab. 5 Results of PGCOOT、GWO、COOT

圖4 PGCOOT、GWO、COOT 收斂曲線Fig. 4 Convergence curves of PGCOOT， GWO and COOT

從圖4 可見，對(duì)于F1～F4來看，PGCOOT、GWO、COOT 的尋優(yōu)表現(xiàn)結(jié)果相似。 PGCOOT 的收斂曲線下降迅速，而GWO、COOT 的收斂曲線則較為緩和。從表5 和圖4 來看，PGCOOT 在F1能夠100%尋得理論最優(yōu)值，其余算法均未尋到理論最優(yōu)值。 在F2、F4函數(shù)下，PGCOOT 雖未取得理論最優(yōu)值，但與GWO 和COOT 相比，接近程度更勝一籌。 并且PGCOOT 在平均值與標(biāo)準(zhǔn)差上具有更好的穩(wěn)定性。 在F3函數(shù)下，PGCOOT 雖不能夠保證100%尋得理論最優(yōu)值，但仍保持收斂精度和收斂速度第一。 由此可見，在高維單峰函數(shù)的實(shí)驗(yàn)中，GWO 和COOT 在尋優(yōu)能力和收斂速度上都會(huì)產(chǎn)生波動(dòng)，甚至是下降的情況，與之相比PGCOOT 仍能保持良好的尋優(yōu)能力，進(jìn)一步表明了PGCOOT 整體性能的優(yōu)越性。

在多峰函數(shù)F5～F8中，PGCOOT 在F5函數(shù)上表現(xiàn)了更好的尋優(yōu)能力，從表5 和圖4 的結(jié)果可以看到，與GWO 和COOT 相比PGCOOT 更接近于理論最優(yōu)值。 在F6～F8函數(shù)上，PGCOOT 的收斂速度比GWO 與COOT 快，能夠迅速收斂至最優(yōu)值附近。 與d＝ 30 時(shí)相比，PGCOOT 的收斂精度、速度和穩(wěn)定性均保持一致，這表明PGCOOT 具有保持較強(qiáng)的魯棒性和穩(wěn)定性。 綜合F5～F8函數(shù)的結(jié)果來看，在高維多峰函數(shù)的情況下，PGCOOT 仍保持良好的尋優(yōu)能力和收斂速度，而GWO、COOT 在高維度求解復(fù)雜函數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定性不強(qiáng)，尋優(yōu)能力驟降的情況。

因此，不管在低維還是高維條件下，PGCOOT 都具有更好的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性、更快的尋優(yōu)速度，這也表明了PGCOOT 能夠有效解決低維和高維的函數(shù)優(yōu)化問題。

3.3 Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)

為驗(yàn)證PGCOOT 算法與蟻獅算法（ALO）、 灰狼優(yōu)化算法（GWO）、蝗蟲優(yōu)化算法（GOA）、正余弦算法（SCA）、多元宇宙優(yōu)化算法（MVO） 和原始的COOT 算法在全局尋優(yōu)上是否存在顯著性區(qū)別，對(duì)各算法進(jìn)行了性能測(cè)試比較。 考慮到數(shù)據(jù)為非正態(tài)分布，因此使用均值的非參數(shù)檢驗(yàn)方法，本文采取Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)。

Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)的步驟為：首先，提出原假設(shè)H0：PGCOOT 算法與其他算法之間性能不存在明顯差異。 備擇假設(shè)H1：PGCOOT 算法與其他算法之間性能有著明顯差異。 然后，根據(jù)Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)原理計(jì)算出P值。 最后，利用檢驗(yàn)結(jié)果的P值來比較兩種算法是否存在差異。 當(dāng)P值小于0.05 時(shí)，拒絕H0，即認(rèn)為兩種算法在性能上存在明顯區(qū)別；當(dāng)P值大于0.05，不拒絕H0， 即不認(rèn)為兩種算法之間存在明顯差異，兩種算法在全局尋優(yōu)上性能相當(dāng)。Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)結(jié)果見表6。

從表6 Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)可以看出，PGCOOT算法與其他算法之間由Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)所得的P值最大值為2.495 5E－95，最小值為3.015 3E－183，大部分值處于9.35E－162 附近，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.05。 因此拒絕H0， 認(rèn)為PGCOOT 算法與其他算法之間存在明顯差異。 結(jié)合PGCOOT 算法的優(yōu)異表現(xiàn)，即認(rèn)為本文所提改進(jìn)算法PGCOOT 比其他算法具有更好的搜索能力。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)COOT 優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)、收斂精度低等問題，提出了融合擾動(dòng)因子和貪心策略的PGCOOT 算法。 將PGCOOT 與其他多個(gè)算法在8 個(gè)經(jīng)典測(cè)試函數(shù)上對(duì)收斂速度、精度進(jìn)行比較。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出的精英反向?qū)W習(xí)初始化和貪心策略以及擾動(dòng)因子相結(jié)合的PGCOOT 算法的有效性，表明了PGCOOT 算法在全局尋優(yōu)以及局部搜索具有更優(yōu)秀的尋優(yōu)精度與速度。 今后的研究將繼續(xù)改進(jìn)算法，進(jìn)一步提高算法的尋優(yōu)性能，同時(shí)將PGCOOT 算法應(yīng)用于實(shí)際問題。