周濤濤 劉書勇 郁 杰

1（中國(guó)科學(xué)院合肥物質(zhì)科學(xué)研究院 核能安全技術(shù)研究所 合肥 230031）

2（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 合肥 230026）

小型模塊化鉛冷快堆采用液態(tài)金屬鉛或液態(tài)鉛鉍合金作為冷卻劑，具備核燃料增殖以及應(yīng)用場(chǎng)景靈活等優(yōu)勢(shì)。國(guó)際上的快堆燃料組件大多采用繞絲定位的方式，使得燃料棒布置得更加緊湊，減小機(jī)械振動(dòng)的同時(shí)可加強(qiáng)子通道間的湍流交混，展平溫度峰值，但繞絲的存在會(huì)增大燃料組件的壓降。準(zhǔn)確預(yù)測(cè)燃料組件棒束段的壓降對(duì)于燃料芯塊與包殼的安全運(yùn)行限值設(shè)計(jì)至關(guān)重要。摩擦系數(shù)是計(jì)算摩擦壓降的關(guān)鍵參數(shù)，因此評(píng)估現(xiàn)有摩擦壓降模型的適用性并開(kāi)發(fā)新的摩擦壓降模型具有十分重要的意義。

世界各國(guó)對(duì)燃料組件棒束段進(jìn)行了大量以水為冷卻劑和少量以鉛鉍合金為冷卻劑的摩擦壓降實(shí)驗(yàn)研究，并提出一系列用來(lái)預(yù)測(cè)帶繞絲棒束組件截面摩擦系數(shù)的模型。在適用流態(tài)方面，Novendstern［1］和Rehme［2］根據(jù)各自的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)總結(jié)出適用于過(guò)渡流和湍流的摩擦壓降模型。Rehme［2］的研究表明，摩擦系數(shù)會(huì)隨棒束數(shù)量而變化，用截面總濕周長(zhǎng)與截面棒束和繞絲周長(zhǎng)的比值來(lái)引入棒束數(shù)量的影響，由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)包含的棒束數(shù)量范圍較小，導(dǎo)致其預(yù)測(cè)范圍有限；Novendstern［1］未能將棒束數(shù)量作為一個(gè)自變量引入模型中，當(dāng)棒束數(shù)量變化范圍很大時(shí)，將無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)摩擦系數(shù)。在流態(tài)劃分方面，Engel 等［3］和Baxi 等［4］分別提出適用于全流態(tài)的摩擦壓降模型，摩擦壓降模型的預(yù)測(cè)值與各自的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較吻合。由于兩者各自的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有限，導(dǎo)致其流態(tài)劃分沒(méi)有明顯的規(guī)律，同時(shí)兩者的摩擦壓降模型都未提及棒束數(shù)量對(duì)摩擦系數(shù)的影響從而導(dǎo)致其適用范圍有限；Bublis等［5］學(xué)者根據(jù)已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)對(duì)Baxi 等［4］進(jìn)行修正（以下簡(jiǎn)稱BBDD），使得模型在有限范圍預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性更高，但同樣沒(méi)有解決流態(tài)劃分及棒束數(shù)量表征的問(wèn)題。在表征棒束數(shù)量的影響方面，Cheng 等［6］提出的摩擦壓降模型（以下簡(jiǎn)稱CTS 和CTD）適用于全流態(tài)，CTS 和CTD 模型基于大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定流態(tài)劃分的界限，但兩個(gè)摩擦壓降模型都未正確表征棒束數(shù)量的影響，導(dǎo)致其無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；Chen 等［7］增加一個(gè)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)來(lái)更正模型從過(guò)渡流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鬟@個(gè)區(qū)間錯(cuò)誤的預(yù)測(cè)結(jié)果，但同樣未正確表征棒束數(shù)量的影響；Chen 等［8］對(duì)CTD 進(jìn)行第二次修正，修正后的模型（以下簡(jiǎn)稱UCTD）可以反映棒束數(shù)量的趨勢(shì)，能夠較好地預(yù)測(cè)其數(shù)據(jù)庫(kù)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，但是能否準(zhǔn)確預(yù)測(cè)近幾年所發(fā)布新的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)還有待驗(yàn)證。

基于現(xiàn)有模型存在諸如無(wú)法正確表征棒束數(shù)量的影響、適用流態(tài)范圍有限等問(wèn)題，本文將歸納整理常用帶繞絲棒束組件的摩擦壓降模型，同時(shí)提出一個(gè)新的摩擦壓降模型，對(duì)比各模型的適用性，為棒束截面摩擦系數(shù)的評(píng)估提供參考。

1 繞絲棒束的水力模型

帶繞絲棒束組件結(jié)構(gòu)如圖1 所示，將組件通道劃分為中心子通道、邊子通道和角子通道。帶繞絲棒束組件的幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜，組件內(nèi)冷卻劑的流動(dòng)狀態(tài)比光滑圓管內(nèi)更加復(fù)雜，因此流動(dòng)的臨界雷諾數(shù)大小與光滑圓管內(nèi)是不同的。將全流態(tài)劃分為層流、過(guò)渡流和湍流，層流與過(guò)渡流的臨界雷諾數(shù)記為ReL，過(guò)渡流與湍流的臨界雷諾數(shù)記為ReT。Re＜ReL，流動(dòng)為層流，ReL＜Re＜ReT，流動(dòng)為過(guò)渡流，Re＞ReT流動(dòng)為湍流。過(guò)渡流的流動(dòng)可以用以下假設(shè)來(lái)解釋：湍流首先出現(xiàn)在各類子通道的中心區(qū)域，然后沿徑向和周向逐漸擴(kuò)散，當(dāng)雷諾數(shù)足夠大時(shí)，層流最終消失［9］。目前已有的摩擦壓降模型主要考慮棒束數(shù)量（Nr）、節(jié)徑比（P/D）、螺徑比（Η/D）這三個(gè)影響因素，接下來(lái)將介紹本文涉及的模型。

圖1 帶繞絲棒束組件結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of wire-wrapped rod assembly construction

Novendstern［1］基于光滑圓管的摩擦壓降模型，通過(guò)引入影響因子M來(lái)修正繞絲和棒束排列間隔帶來(lái)的影響，適用于過(guò)渡流和湍流，模型如式（1）、（2）所示：

式中：Re為雷諾數(shù)。

Rehme［2］模型是等效整個(gè)組件獲得的模型，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合考慮，適用于過(guò)渡流和湍流，模型如式（3）、（4）所示：

式中：D為燃料棒直徑；Dw為繞絲直徑。

Engel［3］模型是基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合適用于全流態(tài)的模型，其中：ReL=400，ReT=5 000。過(guò)渡區(qū)摩擦系數(shù)由層流摩擦系數(shù)和湍流摩擦系數(shù)采用指數(shù)插值法得到，模型如式（5）、（6）所示：

式中：?為過(guò)渡因子。

Bublis［5］模型基于前人的工作修正層流區(qū)域的模型，其中：ReL=400，ReT=5 000。過(guò)渡區(qū)摩擦系數(shù)由層流摩擦系數(shù)和湍流摩擦系數(shù)采用指數(shù)插值法得到，模型如式（7）、（8）所示：

式中：Tw為壁面溫度，K；Tb為流體溫度，K；?為過(guò)渡因子。

Cheng［6］提出適用于帶繞絲組件棒束的摩擦壓降模型，分為簡(jiǎn)單模型（CTS）和復(fù)雜模型（CTD），并總結(jié)出臨界雷諾數(shù)與P/D的關(guān)系。復(fù)雜模型能夠?qū)Σ煌愋妥油ǖ赖淖枇ο禂?shù)加以區(qū)別，簡(jiǎn)單模型則等效整個(gè)組件。CTS 模型如下所示，過(guò)渡區(qū)摩擦系數(shù)由層流摩擦系數(shù)和湍流摩擦系數(shù)采用指數(shù)插值法得到，模型如式（9）～（14）所示：

式中：CbL為層流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)；CbT為湍流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。

CTD 模型與CTS 模型流態(tài)劃分的臨界雷諾數(shù)完全一致，但CbL、CbT的表達(dá)式不同，具體參考Cheng［6］。

Chen等［7］研究發(fā)現(xiàn)，Cheng［6］提出的摩擦壓降模型在預(yù)測(cè)過(guò)渡流至湍流范圍的摩擦系數(shù)時(shí)，隨著雷諾數(shù)的增大，流動(dòng)狀態(tài)從過(guò)渡流接近湍流時(shí)，會(huì)出現(xiàn)過(guò)渡流區(qū)域的摩擦系數(shù)（FTr）隨著雷諾數(shù)而增大的反常現(xiàn)象，通過(guò)增加一個(gè)修正經(jīng)驗(yàn)常數(shù)γ（γ＞1）修正模型在過(guò)渡流區(qū)間錯(cuò)誤的預(yù)測(cè)結(jié)果，修正模型如式（15）所示：

式中：γ（γ＞1）為修正經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，CTS（CTD）中，γ=14，UCTD中，γ=7。

前文述及棒束數(shù)量（Nr）變化會(huì)對(duì)摩擦系數(shù)產(chǎn)生影響，本文基于CTS 模型提出新的摩擦壓降模型，在§3將重新構(gòu)建以Nr、P/D、Η/D為自變量的層流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbL和湍流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbT的表達(dá)式，在§4 結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求解出CbL、CbT和γ。Liang 等［10］結(jié)合近年來(lái)新增的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更新了Cheng［6］提出的臨界雷諾數(shù)定義式，如式（16）、（17）所示：

本文模型臨界雷諾數(shù)的定義采用式（16）、（17）。需要求解的常數(shù)為新的層流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbL、新的湍流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbT以及過(guò)渡流的修正經(jīng)驗(yàn)常數(shù)γ。

2 不同介質(zhì)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

Chen 等［8］收集了2011 年以前80 組帶繞絲棒束組件的摩擦壓降實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并且求解出各組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的CbL和CbT，其中有19 位學(xué)者提供了79 組CbT，10位學(xué)者提供了22組CbL。本文將補(bǔ)充2011年后至今的帶繞絲棒束組件實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中有8 位學(xué)者提供了11組CbT，3位學(xué)者提供了4組CbL。可收集的帶繞絲棒束實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1 所示，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的排序方式見(jiàn)表注。有20 位學(xué)者提供了52 組數(shù)據(jù)，共有1 753個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。除了LYU 等［12-13］、Pacio 等［24］和Kennedy等［25］為鉛鉍介質(zhì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，Engel［3］層流與過(guò)渡流和Hoffmann［26］為鈉介質(zhì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之外，其他所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均為水介質(zhì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。在§3 中，求解CbL和CbT的表達(dá)式時(shí)，需用到Chen［8］以及本文補(bǔ)充的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（以下簡(jiǎn)稱數(shù)據(jù)庫(kù)），而§4進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)僅使用表1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 1 Experimental data

3 經(jīng)驗(yàn)常數(shù)表達(dá)式的確定

3.1 湍流

Liang等［10］的研究表明：一個(gè)幾何參數(shù)確定的裝置，當(dāng)Re一定時(shí)，邊子通道的摩擦系數(shù)最大，中心子通道的摩擦系數(shù)和邊子摩擦系數(shù)大小相當(dāng)，角子通道的摩擦系數(shù)最小?？紤]到棒束數(shù)量的變化將會(huì)影響子通道數(shù)量的變化，而子通道數(shù)量的變化將會(huì)影響截面摩擦系數(shù)，因此構(gòu)建棒束數(shù)量與子通道數(shù)量的函數(shù)關(guān)系，則可以表征棒束數(shù)量對(duì)截面摩擦系數(shù)的影響。棒束數(shù)量的變化范圍太大（7～271），構(gòu)建函數(shù)關(guān)系較為困難，引入一個(gè)基數(shù)n，以n為中間變量來(lái)構(gòu)建棒束數(shù)量與子通道數(shù)量的函數(shù)關(guān)系，如表2所示。

表2 組件數(shù)量與子通道數(shù)量的函數(shù)關(guān)系Table 2 The number of components as a function of the number of subchannels

各類子通道數(shù)量占總子通道數(shù)量的比例如圖2所示，邊子通道數(shù)量和中心子通道數(shù)量占總子通道數(shù)量的比例隨著n的增加迅速增加，當(dāng)n=7 時(shí)，兩類子通道的比例達(dá)到98.2%，此時(shí)中心子通道和邊子通道貢獻(xiàn)了絕大部分權(quán)重的截面摩擦系數(shù)，當(dāng)n≥7，角子通道數(shù)量占比越來(lái)越小，其貢獻(xiàn)的截面摩擦系數(shù)可忽略不計(jì)。圖3（a）是Rehme［2］中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，當(dāng)P/D、Η/D一定時(shí)，n增加時(shí)，CbT在增大，且P/D越大、Η/D越小時(shí)，CbT增加速度越明顯；圖3（b）是數(shù)據(jù)庫(kù)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（每個(gè)圖例代表該作者所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)），隨著n增大，CbT增加速度減緩，當(dāng)n≥7時(shí)，CbT變化不大?？刂芇/D、Η/D一定時(shí)，通過(guò)對(duì)比不同階次多項(xiàng)式擬合結(jié)果，采用五次多項(xiàng)式能較為準(zhǔn)確地表征兩者相關(guān)性，如式（18）所示：

圖2 子通道數(shù)量占總子通道數(shù)量的比例Fig.2 The ratio of the number of subchannels to the total number of subchannels

圖3 CbT與基數(shù)n的關(guān)系 (a) Rehme實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，(b) 數(shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)Fig.3 Relationship between CbT and n (a) Rehme's experimental data, (b) Database data

式中：n取自然數(shù)，1≤n≤7；a、b、c、d、e、f為待定的常數(shù)；n≥7時(shí)，湍流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbT=（f7）（fP/D，Η/D）；（fP/D，Η/D）是以P/D、Η/D為自變量的函數(shù)（若要用Nr為自變量，由表2求反函數(shù)即可）。

組件排布的幾何特征會(huì)影響組件進(jìn)出口的壓差，計(jì)算燃料組件的摩擦壓降常使用P/D、Η/D為自變 量 擬 合 摩 擦 壓 降 模 型。圖4（a）是Cheng［6］和Rehme［2］中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，保持n、Η/D一定時(shí)，CbT隨著P/D的增大而增大。CbT與P/D符合指數(shù)增長(zhǎng)的關(guān)系，但以P/D=1.1 界限，兩邊指數(shù)增長(zhǎng)速度不一致；圖4（b）中同樣可得。如式（19）所示：

圖4 CbT與節(jié)徑比P/D的關(guān)系 (a) Marten和Rehme實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，(b) 數(shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)Fig.4 Relationship between CbT and P/D (a) Marten's and Rehme's experimental data, (b) Database data

式中：g＞0為待定常數(shù)，P/D＜1.1的值與P/D＞1.1的值不同；P/D的范圍為1.04≤P/D≤1.42；f（Η/D，n）是以Η/D、n為自變量的函數(shù)。

圖5（a）是Rehme［2］中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，保持n、P/D一定時(shí)，當(dāng)Η/D＜35 時(shí)，CbT隨著Η/D的增大而減小，當(dāng)Η/D＞35時(shí)，CbT隨著Η/D而增大，構(gòu)造一個(gè)對(duì)勾函數(shù)（一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的組合）表征該變化，圖5（b）中同樣可得。由于Η/D的取值范圍很大，計(jì)算時(shí)對(duì)其取對(duì)數(shù)處理；對(duì)比圖5（a）中圖例1和圖例6的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，P/D的大小將會(huì)影響指數(shù)函數(shù)的指數(shù)i的大?。╥1＜i2）。如式（20）所示：

圖5 CbT與螺徑比Η/D的關(guān)系 (a) Rehme實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，(b) 數(shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)Fig.5 Relationship between CbT and Η/D (a) Rehme's experimental data, (b) Database data

式中：h、i、j為待定常數(shù)；Η/D的范圍為8≤Η/D≤55；f（P/D，n）是以P/D、n為自變量的函數(shù)。

綜上所述，湍流區(qū)的摩擦壓降模型如式（21）所示：

式中：k為待定常數(shù)。

3.2 層流

在層流區(qū)的數(shù)據(jù)十分有限，一共有26 組，Cheng［6］基于單個(gè)裸燃料棒的阻力系數(shù)與繞絲阻力系數(shù)的關(guān)系，假設(shè)層流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbL與湍流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbT具有相似性。由表2 可知，棒束數(shù)量與子通道數(shù)量是一一對(duì)應(yīng)的，其對(duì)摩擦系數(shù)的影響也是固定的，因此，假設(shè)CbL=f（n）f（P/D，Η/D）中f（n）的表達(dá)式與式（18）一致。對(duì)比圖6和圖4、圖7和圖5，層流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbL與湍流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbT的趨勢(shì)是基本一致的，驗(yàn)證了上述假設(shè)。構(gòu)造層流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbL的新表達(dá)式如式（22）所示：

圖6 CbL與節(jié)徑比P/D的關(guān)系Fig.6 Relationship between CbL and P/D

圖7 CbL與螺徑比Η/D的關(guān)系Fig.7 Relationship between CbL and Η/D

過(guò)渡流的修正經(jīng)驗(yàn)常數(shù)γ將在§4 第1 部分進(jìn)行求解。

4 經(jīng)驗(yàn)常數(shù)表達(dá)式的求解及摩擦壓降模型的統(tǒng)計(jì)分析

平均相對(duì)誤差（Mean Relative Error，MRE）能反映預(yù)測(cè)值自身的離散程度，MRE 越小，則自身預(yù)測(cè)值離散程度?。幌鄬?duì)誤差的均方根（Root Mean Square，RMS）用來(lái)衡量預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值的整體偏差，RMS越小，表明預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值的整體偏差小。

式中：δ為相對(duì)誤差；Fm是實(shí)驗(yàn)?zāi)Σ料禂?shù)值；Fc是摩擦壓降模型的預(yù)測(cè)摩擦系數(shù)值。

4.1 經(jīng)驗(yàn)常數(shù)表達(dá)式的求解

數(shù)值解是通過(guò)求解a～k這10個(gè)常數(shù)的變化范圍和指定求解步長(zhǎng)，使表1中Fm與Fc之間的RMS最小來(lái)實(shí)現(xiàn)。變化范圍是通過(guò)控制變量的方式獲得：獲取CbT的a～f變化范圍，可將已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的Re、Fm、P/D和Η/D，代入式（9）和（21）求解得出。以圖3（a）為例，圖3（a）中第6組數(shù)據(jù)的CbT最大，這組數(shù)據(jù)具有小Η/D、大P/D的特點(diǎn)，將這組數(shù)據(jù)點(diǎn)代入式（9）、（21）可求出一組a～k的上邊界，同理第4組數(shù)據(jù)的CbT最小，這組數(shù)據(jù)具有大H/D，將這組數(shù)據(jù)點(diǎn)代入式（9）、（21）可求出一組a～k的下邊界。g～k同理可得。使用式（9）、（21）和（22）代入每個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的Re、n、P/D和Η/D將得到一組Fm與a～k的等式。對(duì)于每一組a～k，使用式（25）計(jì)算得到RMS。對(duì)所有集合的a～k重復(fù)此過(guò)程，最后RMS為極小值時(shí)a～k的值即為所求的常數(shù)值。

當(dāng)1.04＜P/D≤1.1時(shí)，層流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbL如下：

當(dāng)1.04＜P/D≤1.1時(shí)，湍流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbT如下：

當(dāng)1.1＜P/D≤1.42時(shí)，層流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbL如下：

當(dāng)1.1＜P/D＜1.42時(shí)，湍流經(jīng)驗(yàn)常數(shù)CbT如下：

如圖8所示，以Choi等［19］的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，現(xiàn)使用求解出的CbL和CbT表達(dá)式代入式（15），γ在一定范圍內(nèi)變化，指定γ可求出Fm與Fc之間的RMS。針對(duì)表1中的所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)重復(fù)上述過(guò)程，可求解出γ取0～100時(shí)Fm與Fc對(duì)應(yīng)的RMS。由表3可知，γ取4時(shí)，過(guò)渡區(qū)摩擦系數(shù)的MRE 較小，RMS 最小，所以γ=4。

表3 修正經(jīng)驗(yàn)常數(shù)Table 3 Modified empirical constants

圖8 Fm與Re的關(guān)系Fig.8 Relationship between Fm and Re

綜上所述，本文的層流摩擦常數(shù)CbL如式（26）、（28）所示，湍流摩擦常數(shù)CbT如式（27）、（29）所示，過(guò)渡流修正經(jīng)驗(yàn)常數(shù)γ=4。

4.2 摩擦壓降模型的統(tǒng)計(jì)分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的P/D、Nr和Η/D超出了部分摩擦壓降模型的推薦使用范圍，本文將依舊針對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)的范圍來(lái)評(píng)估每個(gè)摩擦壓降模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性，根據(jù)每個(gè)摩擦壓降模型各自的定義來(lái)流態(tài)劃分的界限。通過(guò)這種方式可以評(píng)估每個(gè)摩擦壓降在推薦范圍之內(nèi)和推薦范圍之外的預(yù)測(cè)能力，表4概括不同壓降模型的推薦使用范圍，表5概括不同壓降模型的MRE和RMS。

表4 摩擦壓降模型Table 4 Friction pressure drop model

表5 統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果Table 5 Statistical analysis results

以實(shí)驗(yàn)值為橫坐標(biāo)，摩擦壓降模型預(yù)測(cè)值為縱坐標(biāo)繪圖，如圖9 所示，圖中的點(diǎn)越接近于y=x這一條線，則說(shuō)明摩擦壓降模型的預(yù)測(cè)值越接近實(shí)驗(yàn)值，最終的預(yù)測(cè)質(zhì)量越高。

從圖9（a）可以發(fā)現(xiàn)，Novendstern［1］模型明顯不適用于預(yù)測(cè)層流的摩擦系數(shù)，同時(shí)存在明顯低估部分過(guò)渡流摩擦系數(shù)的情況，而在湍流范圍內(nèi)則出現(xiàn)明顯高估摩擦系數(shù)的情況，由表（5）可知，在過(guò)渡流及湍流范圍內(nèi)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的MRE=6.09%，RMS=24.06%。從圖9（b）可以發(fā)現(xiàn)，Rehme［2］模型在湍流范圍內(nèi)預(yù)測(cè)的質(zhì)量不錯(cuò)，盡管在過(guò)渡流范圍內(nèi)預(yù)測(cè)的質(zhì)量相比于湍流范圍內(nèi)稍有降低，但總體而言，RMS基本都在20%以內(nèi)，比較反常的現(xiàn)象是其在層流區(qū)域?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)的平均相對(duì)誤差較小。有不少層流區(qū)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差大于20%，正負(fù)抵消使得其預(yù)測(cè)質(zhì)量表現(xiàn)得較好，由表（5）可知，在過(guò)渡流及湍流范圍內(nèi)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的MRE=1.66%，RMS=16.79%。

從圖9（c）可以發(fā)現(xiàn)，Engel［3］模型在全流態(tài)摩擦系數(shù)的預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值偏差均較大，只有少部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在其預(yù)測(cè)范圍內(nèi)。由表（5）可知，整體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的MRE=34.05%，RMS=54.83%。從圖9（d）可以發(fā)現(xiàn)，BBDD［5］模型在層流范圍內(nèi)的預(yù)測(cè)質(zhì)量較高，在過(guò)渡流范圍內(nèi)也有不錯(cuò)的表現(xiàn)，但是明顯高估了湍流范圍的摩擦系數(shù)，由表（5）可知，整體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的MRE=8.96%，RMS=20.17%。

從圖9（e）可以發(fā)現(xiàn)，CTS 模型低估了層流區(qū)域的摩擦系數(shù)，高估了湍流區(qū)域的摩擦系數(shù)，在過(guò)渡流區(qū)域的預(yù)測(cè)質(zhì)量較高，由表（5）可知，整體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的MRE=4.76%，RMS=18.82%；從圖9（f）可以發(fā)現(xiàn)，CTD模型顯著地低估了層流區(qū)域的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，高估了湍流區(qū)域的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，過(guò)渡流區(qū)域的預(yù)測(cè)質(zhì)量較高，由表（5）可知，整體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的MRE=1.4%，RMS=22.04%；從圖9（g）可以發(fā)現(xiàn)，UCTD模型低估了層流和過(guò)渡流區(qū)域的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，湍流區(qū)域的預(yù)測(cè)質(zhì)量較高，由表（5）可知，整體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的MRE=-3.62%，RMS=18.89%；從圖9（h）可以發(fā)現(xiàn)，本文模型在全流態(tài)范圍預(yù)測(cè)質(zhì)量較好，由表（5）可知，整體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的MRE=-0.28%，RMS=9.89%。

在表4 所示的8 個(gè)摩擦壓降模型中：在湍流區(qū)域，Rehme 模型、UCTD 模型和本文模型的MRE 較小，本文模型RMS 最?。辉谶^(guò)渡流區(qū)域，BBDD 模型、CTS 模型和本文模型的MRE 較小，其中BBDD模型、CTD模型和本文模型RMS較??；在層流區(qū)域，BBDD模型和本文模型的MRE較小，本文模型RMS較??；總體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)看，CTS 模型、UCTD 模型和本文模型的MRE較小，本文RMS最小。

在相同的流動(dòng)條件以及幾何形狀下，其符合雷諾相似準(zhǔn)則和幾何相似準(zhǔn)則，流動(dòng)的摩擦系數(shù)將僅僅與雷諾數(shù)有關(guān)，而與介質(zhì)無(wú)關(guān)，雷諾數(shù)一致時(shí)，其摩擦系數(shù)將一致［27］。針對(duì)表1 中鉛鉍介質(zhì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用表4 中的摩擦壓降模型進(jìn)行檢驗(yàn)。從圖10可以看出，Engel不適用于預(yù)測(cè)鉛鉍介質(zhì)實(shí)驗(yàn)數(shù)。整體 預(yù) 測(cè) 質(zhì) 量 而 言，Rehme［2］模 型、BBDD［5］模 型、CTS［6］模 型 和 本 文 模 型 的MRE 較 小，分 別 為-8.08%、6.15%、0.93% 和-5.64%；Rehme［2］模 型、CTS［6］模 型 和 本 文 模 型 的RMS 較 小，分 別 為10.27%、10.86%和7.79%。綜合來(lái)看，本文的模型預(yù)測(cè)鉛鉍介質(zhì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)質(zhì)量較高。

圖10 不同模型預(yù)測(cè)值與鉛鉍實(shí)驗(yàn)?zāi)Σ料禂?shù)的對(duì)比Fig.10 Predicted friction coefficients of the different models νs. the LBE experimental friction coefficients

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)7 種摩擦壓降模型的局限性進(jìn)行分析，本文提出一個(gè)用于預(yù)測(cè)棒束組件全流態(tài)截面平均摩擦系數(shù)的摩擦壓降模型，模型包含棒束數(shù)量（Nr）、節(jié)徑比（P/D）、螺徑比（Η/D）?；诂F(xiàn)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)對(duì)上述8 個(gè)摩擦壓降模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，可得出如下結(jié)論：

1）棒束數(shù)量對(duì)摩擦系數(shù)具有顯著影響，通過(guò)構(gòu)造棒束數(shù)量與子通道數(shù)量函數(shù)關(guān)系的方式能夠提高模型預(yù)測(cè)的質(zhì)量。

2）對(duì)于水介質(zhì)實(shí)驗(yàn)的摩擦系數(shù)而言，在湍流區(qū)域，建議使用Rehme 模型、UCTD 模型和本文模型，其中本文的預(yù)測(cè)質(zhì)量最高；在過(guò)渡流區(qū)域，建議使用BBDD模型、CTD模型和本文模型，其中本文模型預(yù)測(cè)質(zhì)量最高，在層流區(qū)域，BBDD模型和本文模型的MRE較小，本文模型RMS較小，預(yù)測(cè)質(zhì)量高。綜上所述，本文提出的模型在各流態(tài)預(yù)測(cè)質(zhì)量高。

3）鉛鉍介質(zhì)實(shí)驗(yàn)的摩擦系數(shù)建議使用Rehme模型、CTS模型和本文模型，其中CTS的MRE最小，本文模型的RMS最小。

作者貢獻(xiàn)聲明周濤濤負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)采集，數(shù)據(jù)分析以及文章主體內(nèi)容的撰寫；劉書勇負(fù)責(zé)文章框架的構(gòu)建以及知識(shí)性內(nèi)容批評(píng)性的審閱；郁杰提供研究經(jīng)費(fèi)、行政和材料上的支持。