孫銳娟，湯建鋼，2*

（1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆伊寧 835000；2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，新疆伊寧 835000）

0 引言

在20 世紀(jì)二三十年代，F(xiàn).Riesz 等人分別將格序結(jié)構(gòu)引入到向量空間，提出了Riesz空間概念，研究了Riesz空間的一些基礎(chǔ)性質(zhì).由于它是把具體的分析問題抽象在一種更加純粹的代數(shù)結(jié)構(gòu)和格序結(jié)構(gòu)中進行研究，由此發(fā)展出的概念和方法，應(yīng)用也就更為廣泛、更加深刻.由于環(huán)的不一定可換，所以有了左模與右模之分.模的概念是19世紀(jì)提出的，但到20世紀(jì)40年代才引起重視；到70年代，人們認(rèn)識到模是當(dāng)代最重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)之一，其重要性超過了線性空間，并且模是域上線性空間概念的推廣.因此，將格序結(jié)構(gòu)引入模的概念中，將Riesz空間推廣到模很有必要.文獻［1］和［2］由淺入深地敘述了范疇與同調(diào)代數(shù)的基本知識,開頭按照模的體系介紹了它的定義、子模、商模、模同態(tài)與同構(gòu)及其性質(zhì)，中間部分講述了范疇和幾類特殊模，在文獻的最后詳細(xì)地介紹了函子和同調(diào)的相關(guān)內(nèi)容.文獻［3］中的前半部分詳盡地介紹了格論的基本性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，后半部分就邁進了格論的專業(yè)研究，例如補格與布爾代數(shù)及同余關(guān)系與同余格繼而進入了偽補代數(shù)與stone代數(shù)這個頗為高深的領(lǐng)域.文獻［4］提出Riesz空間是有代數(shù)結(jié)構(gòu)的序結(jié)構(gòu).文獻［5-9］將格序結(jié)構(gòu)引入群、環(huán)中，得到了格序群、格序環(huán)，以及它們的一些基本性質(zhì).

同態(tài)與同構(gòu)在代數(shù)中有著非常重要的作用，也是研究Riesz模范疇的先決基礎(chǔ).因此，研究左R-模上Riesz空間的同態(tài)與同構(gòu)的相關(guān)性質(zhì)很有必要.文獻［10］研究了l-群的同構(gòu)關(guān)系，將群論中的同構(gòu)定理推廣到格序群，同時也研究了格序群的主凸l-子群的結(jié)構(gòu).文獻［11］用泛代數(shù)的方法研究了格序群上的同余關(guān)系，證明了一個格序群的同余格與它的l-理想格是同構(gòu)的.文獻［12］將基本同態(tài)定理推廣到格序環(huán)和格序模中.本文在l-群、l-環(huán)的基礎(chǔ)上，基于對具有代數(shù)結(jié)構(gòu)序?qū)ο蟮腞iesz空間及其性質(zhì)的研究，類比格序群和格序環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)的性質(zhì)，研究了左R-模上Riesz空間的同態(tài)與同構(gòu)的相關(guān)性質(zhì).

1 預(yù)備知識

定義1.1設(shè)(G,+)是一個Abelian群，≤是群G上的一個偏序關(guān)系，滿足?a,b,c∈G,a≤b?a+c≤b+c，則稱(G,+,≤)為一個Abelian偏序群.

定義1.2設(shè)(G,+,≤)是一個Abelian偏序群，如果偏序集(G,≤)是一個格，則稱(G,+,≤)為一個Abelian格序群，簡稱為Abelian l-群.

定義1.3設(shè)(R,+,·)是一個具單位元的環(huán)，≤是環(huán)R上的一個偏序關(guān)系，滿足?r,s,t∈R，

（1）r≤s?t+r≤t+s，

（2）0 ≤r,0 ≤s?0 ≤rs，則稱(R,+,·,≤)是一個偏序環(huán).

注：記R+={r∈R|r≥0}，則定義1.3中的條件（2）等價于R+R+?R+.

定義1.4設(shè)(R,+,·,≤)是一個偏序環(huán)，如果偏序集(R,≤)是一個格，則稱(R,+,·,≤)是一個格序環(huán)，簡稱為l-環(huán).

定義1.5設(shè)M為左R-模，(R,+,·,≤)是具單位元的偏序環(huán)，(M,+,≤)是Abelian偏序群，滿足?m,n,p∈M,?r∈R(r≥0)，都有m≤n，則m+p≤n+p,rm≤rn，則稱(M,+,≤)為左R-模上的偏序模，簡稱為po-模.

注：記M+={m∈M|m≥0}，則定義1.5中的條件對?m,n∈M,?r∈R(r≥0)，若m≤n，則rm≤rn等價于條件?m∈M,?r∈R，若m≥0,r≥0，則rm≥0，并且等價于R+M+?M+.

定義1.6設(shè)(M,+,≤)為左R-模上的偏序模，如果(R,+,·,≤)是具單位元的l-環(huán)，(M,+,≤)是Abelian l-群，則稱(M,+,≤)是左R-模上Riesz空間，也稱為格序左R-模，簡稱為l-R-模.

定義1.7設(shè)(M,+,≤)是一個l-R-模，(N,+)是(M,+)的子模，如果(N,≤)是(M,≤)的一個子格，并且R+N+?N+,則稱(N,+,≤)是(M,+,≤)的一個子l-R-模.

定義1.8若N是l-R-模M的子l-R-模，且N是凸集，即對任意的m∈M,n1,n2∈N′，當(dāng)n1≤m≤n2時，有m∈N′，則N′稱為M的凸子l-R-模.

定義1.9設(shè)(M,+,≤)是l-R-模，對任意m∈M，若m≥0，稱m是一個正元素，m≤0，稱m是一個負(fù)元素.自然地定義m的正部分是m+=m∨0，m的負(fù)部分是m-=(-m) ∨0，M的絕對值是 |m|=m++m-.

定義1.10設(shè)(M,+,≤)是一 個l-R-模，N是(M,+,≤)的子模，如果N滿足正規(guī)性條件，即?m∈M,?n∈N,若|m|≤ |n|時，則m∈N,稱(N,+,≤)是(M,+,≤)的一個（序）理想.

2 基本內(nèi)容

定義2.1設(shè)(M,+,≤)，(N,+,≤)是l-R-模，f:M→N是左R模同態(tài)，若對任意的x,y∈M，有

（1）f(x∨y)=f(x)∨f(y)，

（2）f(x∧y)=f(x)∧f(y)，則稱f為M到N的一個l-R-模同態(tài)，記作M～N.

設(shè)f:M→N是M到N的一個l-R-模同態(tài)，若f是單射，則稱f是l-R-模單同態(tài).若f是滿射，則稱f是l-R-模滿同態(tài).若f是雙射，則稱f是l-R-模同構(gòu)（簡稱同構(gòu)），也稱l-R-模M與N同構(gòu)，記作M?N.若M=N，相應(yīng)的同態(tài)（同構(gòu)）叫做l-R-模M的自同態(tài)（自同構(gòu)）.

設(shè)f:M→N是M到N的一個l-R-模同態(tài)，易見f(M)是N的凸子l-R-模.如果f:M→N是l-R-模單同態(tài)，則M的凸子l-R-模f(M)與M同構(gòu)，我們稱這樣的f是l-R-模M到l-R-模N的嵌入映射.

定義2.2設(shè)f:M→N是l-R-模同態(tài)，把M的所有元素都映射到N的零元素的同態(tài)f(x)=0∈N，?x∈M稱為l-R-模零同態(tài)，記作0:M→N.

命題2.1設(shè)f:M→N是l-R-模同態(tài)，其中(M,+,≤),(N,+,≤)是左R-模上Riesz 空間,定義f:M→N的核與象分別為Kerf=f-1(0)={x∈M}，則Kerf是M的凸子l-R-模，Imf是N的凸子l-R-模.

證明：易知Kerf是l-R-模M的一個子模，由于Kerf=f-1(0)={x∈M}，對任意的x,y∈Kerf，有f(x∧y)=f(x)∧f(y)=0,故x∧y∈Kerf.同理可得x∨y∈Kerf.則(Kerf,≤)是(M,≤)的子格.?x,y,p∈Kerf,?r∈R(r≥0),當(dāng)x≤y時，有rx≤ry,x+p≤y+p,因 此Kerf是M的 子l-R-模.若?x,y∈Kerf,z∈M,x≤z≤y,則f(x)≤f(z)≤f(y).由f(x)=f(y)=0，可得f(z)=0,即z∈Kerf.故Kerf是M的凸子l-R-模.同理可知Imf是N的凸子l-R-模.

命題2.2設(shè)(M,+,≤)，(N,+,≤)是l-R-模，若M′ 是M的一個凸子l-R-模，定義M/M′={M′+x|x∈M}，則M/M′是一個l-R-模.

證明：在M/M′={M′+x|x∈M} 中,定 義M′+x≥M′+y的充要條件為存在s∈M′,使得s+x≥y,(M′+x)∨(M′+y)=M′+(x∨y),(M′+x)∧(M′+y)=M′+(x∧y),則M/M′是一個格,易知M/M′對于加法(M′+x)+(M′+y)=M′+(x+y)可構(gòu)成一個Abel加群,故M/M′是一個l-加群.

由模論知,對任意r∈R,M′+x∈M/M′,定義r(M′+x)=M′+rx,則M/M′是一個R-模.對任意的r∈R,(M′+x)∈(M/M′)+,則存在s∈M′,使得s+x≥0,因 為r(s+x)=rs+rx≥0，且rs∈M′，則r(M′+x)=M′+rx≥M′.任意的x1,x2,x3∈M，若M′+x1≥M′+x2，則 有(M′+x1)+(M′+x3)=M′+(x1+x3)≥M′+(x2+x3)=(M′+x2)+(M′+x3),因此M/M′是l-R-模.

命題2.3設(shè)f:M→N是l-R-模滿同態(tài)，其中(M,+,≤)，(N,+,≤)是左R-模上Riesz空間，定義l-R-模同態(tài)f的余核和余象分別為：Cokerf=Coimf=M/Kerf，則Cokerf和Coimf是l-R-模.其中是包含Imf的N的最小l-R-模.

命題2.4設(shè)f:M→N和g:N→P都是l-R-模同態(tài)，那么gf是M到P的l-R-模同態(tài)，稱為f與g的復(fù)合.

證明：由文獻［3］可知，gf是模同態(tài).下證gf為格同態(tài).對任意的x，y∈M，有g(shù)(f(x∨y))=g(f(x)∨f(y))=g(f(x))∨g(f(y))=gf(x) ∨gf(y)，同理可得g(f(x∧y))=gf(x) ∧gf(y)，故gf是l-R-模同態(tài).

命題2.5設(shè)M,N,P都是l-R-模，f∈Hom(M,N),g∈Hom(N,P)，則

（1）若f,g都是l-R-模單同態(tài)，則gf是l-R-模單同態(tài)；

（2）若f,g都是l-R-模滿同態(tài)，則gf是l-R-模滿同態(tài)；

（3）若gf是l-R-模單同態(tài)，則f是l-R-模單同態(tài)；

（4）若gf是l-R-模滿同態(tài)，則f是l-R-模滿同態(tài).

證明：由文獻［3］和l-R-模單同態(tài)和l-R-模滿同態(tài)定義可知結(jié)論顯然成立.

命題2.6設(shè)f是M到N的l-R-模同態(tài)：

（1）f為l-R-模單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Kerf=0；

（2）f為l-R-模滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Cokf=0；

（3）f為l-R-模同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)Kerf=0，Cokf=0.

證明：（1）設(shè)f為l-R-模單同態(tài)，對任意的m∈Kerf，則f(m)=0=f(0)，由于f是單同態(tài).故可得m=0，即Kerf=0.反之若Kerf=0，則對任意的m1,m2∈M，有f(m1)=f(m2)=0，可得f(m1-m2)=0.故有m1-m2=0，即m1=m2，故f為l-R-模單同態(tài).

由（1）（2）可得（3）.

命題2.7設(shè)M，N，P都是l-R-模，f是M到N的l-R-模同態(tài)，則

（1）f為l-R-模單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)對任意的l-R-模保序映射，g1,g2∈Hom(P,M)，若fg1=fg2，必有g(shù)1=g2.

（2）f為l-R-模滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)對任意的l-R-模保序映射,?1,?2∈Hom(N,Q)，若?1f=?2f，必有?1=?2.

證明：（1）對任意的p1,p2,p3∈P,r∈R,p1≤p2,設(shè)f為l-R-模單同態(tài)，因為fg1(p1)=fg2(p3)，則有g(shù)1(p1)=g2(p3)，g1(r(p1+p3)) ≤g1(r(p2+p3))，g2(r(p1+p3)) ≤g2(r(p2+p3))，故g1=g2.反 之，若g1=g2，則g1(p1)=g2(p3)，因為fg1=fg2，有fg1(p1)=fg2(p3).故f為l-R-模單同態(tài).

（2）設(shè)f是l-R-模滿同態(tài)，?1f=?2f，但是?1≠?2，那么存在n∈N，?1(n) ≠?2(n).因為f是l-R-模滿同態(tài)，存在m∈M,使f(m)=n.所以?1f(m)=?1(n)≠?2(n)=?2f(m).這與?1f=?2f矛盾.因此必有?1=?2.反之，假若f不是l-R-模滿同態(tài)，Cokf=N/Imf≠0，取?1是N到N/Imf的自然l-R-模同態(tài)，?2是N到N/Imf的零同態(tài)，顯然?1≠?2.任意的但?1≠?2，矛盾，因此f是滿同態(tài).

定理2.1設(shè)f:M→M′和g:M→N都是l-R-模同態(tài)，其中g(shù)是滿同態(tài)并且Kerg?Kerf，則存在l-R-模同態(tài)?:N→M′,使得f=?g.此外，Ker?=g(Kerf),Im?=Imf.所以?是單的當(dāng)且僅當(dāng)Ker?=Kerf，?是滿的當(dāng)且僅當(dāng)f是滿的.

證明：由于g是滿的，對任意的元素n∈N,必存在m∈M，使得g(m)=n.如果又有m1∈M，使得g(m1)=n,則g(m-m1)=0，從而m-m1∈Kerg?Kerf,即f(m-m1)=0,f(m)=f(m1).因此，只要規(guī)定?(n)=f(m)，就可定義一個同態(tài)映射?:N→M′滿足?g=f.下證交并同態(tài).對于任意的n1,n2∈N，取m1,m2∈M，使得g(m1)=n1,g(m2)=n2，則對r1,r2∈R,有?(r1m1∨r2m2)=f(r1m1∨r2m2)=r1f(m1)∨r2f(m2)=r1?(n1)∨r2?(n2),?(r1m1∧r2m2)=f(r1m1∧r2m2)=r1f(m1)∧r2f(m2)=r1?(n1)∧r2?(n2).故? 是l-R-模同態(tài).

定理2.2設(shè)φ:M→N是l-R-模滿同態(tài)，其中(M,+,≤)，(N,+,≤)是左R-模上Riesz空間，則

（1）Kerφ是M的凸子l-R-模；

（2）若M′是M的一個凸子l-R-模，則M/M′是一個l-R-模，且自然映射ν:M→M/M′是l-R-模滿同態(tài)；

（3）作為l-R-模M/Kerφ?N.

證明：（1）首 先Kerφ是l-R-模M的一個子模,Kerφ=φ-1(0)={x∈M} .對任意的x,y∈Kerφ有φ(x∧y)=φ(x)∧φ(y)=0，故x∧y∈Kerφ，同理可得x∨y∈Kerφ，則(Kerφ,≤)是(M,≤)的子格；?x,y,p∈Kerφ,?r∈R(r≥0).當(dāng)x≤y時,有rx≤ry，x+p≤y+p,因 此Kerφ是M的 子l-R-模；若?x,y∈Kerφ,z∈M有x≤z≤y,可得z∈Kerφ，故Kerφ是M的凸子l-R-模.

（2）在M/M′={M′+x|x∈M} 中，定義M′+x≥M′+y的充要條件為存在s∈M′，使得s+x≥y，(M′+x)∨(M′+y)=M′+(x∨y)，(M′+x)∧(M′+y)=M′+(x∧y)，則M/M′是一個l-加群.由文獻［2］知，對任意r∈R,M′+x∈M/M′,定義r(M′+x)=M′+rx，則M/M′是一個R-模.對任意的r∈R,(M′+x)∈(M/M′)+,存在s∈M′，使得s+x≥0，因為r(s+x)=rs+rx≥0，且rs∈M′，則r(M′+x)=M′+rx≥M′.任意的x1,x2,x3∈M，若M′+x1≥M′+x2，則 有因此M/M′是l-R-模.

對任意x∈M，因為ν(x)=M′+x，由文獻［2］知ν是一個R模同態(tài).對任意x∨y∈M，因為ν(x∨y)=M′+(x∨y)=(M′+x)∨(M′+y)=ν(x)∨ν(y)，同理ν(x∧y)=ν(x)∧ν(y).顯然ν是滿射，故ν是l-R-模滿同態(tài).

（3）由（1）（2）和定理2.1顯然成立.

命題2.8設(shè)N和K是M的l-R-模，定義N+K={n+k|n∈N,k∈K}，則N+K是一個l-R-模.

證明：對任意N1，N2和K1，K2有(N1+K1)∨(N2+K2)=(n1+k1)∨(n2+k2)=(n1∨n2)+(k1∨k2)，(N1+K1)∧(N2+K2)=(n1+k1)∧(n2+k2)=(n1∧n2)+(k1∧k2)，其中n1,n2∈N，k1,k2∈K，則N+K是一個格.易知N+K對加法(N1+K1)+(N2+K2)=(n1+k1)+(n2+k2)=(n1+n2)+(k1+k2)可構(gòu)成一個Abel加群，故N+K是一個l-加群.

由文獻［2］可知，對任意的r∈R，n+k∈N+K，定義r(n+k)=rn+rk，則N+K是一個R模.對任意的r∈R+,n+k∈(N+K)+，則存在n1∈N,k1∈K，使得(n+k)+(n1+k1)=(n+n1)+(k+k1) ≥0，因 為r((n+k)+(n1+k1))=r(n+k)+r(n1+k1)=(rn+rk)+(rn1+rk1)=(rn+rn1)+(rk+rk1)≥0，且(rn+rn1)+(rk+rk1)∈N+K，則r(n+k)=rn+rk≥0，對任意n1,n2,n3∈N,k1,k2,k3∈K，若n1+k1≥n2+k2，則可得(n1+k1)+(n3+k3)=(n1+n3)+(k1+k3)≥(n2+n3)+(k2+k3)=(n2+k2)+(n3+k3)，因此N+K是一個l-R-模.

定理2.4設(shè)N和K都是M的凸子l-R-模，則K是N+K的凸子l-R-模，N∩K是N的凸子l-R-模，且(N+K)/K?N/(N∩K).

證明：由文獻［1］知，K是N+K的子模，對任意的k1,k2∈K，有k1∧k2=(0+k1)∧(0+k2)∈K,k1∨k2=(0+k1)∨(0+k2)∈K,故(K,≤)是(N+K,≤)的子格.?r(＞0)∈R,k1,k2,k3∈K,若k1≤k2，則r(k1+k3)≤r(k2+k3)=rk2+rk3，則K是N+K的子l-R-模.任意的k1,k2∈K，n+k∈N+K，當(dāng)k1≤n+k≤k2時，可得n+k=0+k=k∈K，因此可知K是N+K的凸子l-R-模.同理可得N∩K是N的凸子l-R-模.

設(shè)f:N→(N+K)/K，由文獻［1］知，f是模同態(tài)，且f是滿的.下證f是格同態(tài).對任意的n1,n2∈N,有f(n1∨n2)=(n1∨n2)+K=(n1+K)∨(n1+K)=f(n1)∨f(n2),f(n1∧n2)=(n1∧n2)+K=(n1+K)∧(n1+K)=f(n1)∧f(n2).故f是l-R-模滿同態(tài).

若n∈Kerf,則f(n)=n+K=0,n∈K,但n∈N.故n∈N∩K.反之，設(shè)n∈N∩K，因為f(n)=n+K，而n∈K，則f(n)=K，即n∈Kerf.因此Kerf=N∩K，由定理2.2知(N+K)/K?N/(N∩K).

定義2.4設(shè)θ是l-R-模M上的一個等價關(guān)系，對任意m,n∈M,m與n具有關(guān)系θ，記作m≡n(modθ).如果對任意的m,n,p,q∈M,r∈R,m≡p(modθ),n≡q(modθ)?m∨n(modθ)≡p∨q(modθ)且m∧n(modθ)≡p∧q(modθ),m+n≡(p+q)(modθ)，rm≡rp(modθ),則稱θ是l-R-模M上的同余關(guān)系,對任意m∈M，m所在的等價類記作m/θ，即m/θ={n∈M|n≡m(modθ)}.則稱M/θ={m/θ|m∈M}為M關(guān)于同余關(guān)系θ的商.

定理2.6設(shè)M是一個l-R-模,θ為M的一個同余關(guān)系，0 是M的零元，任意r∈R,令K=0/θ={m∈M|m≡0(modθ)}，則K是M的凸子l-R-模且對任意的m,n∈M,m≡n(modθ)?m-n∈K.反之，設(shè)K是M的一個凸子l-R-模，在M上規(guī)定一個二元關(guān)系θ:m≡n(modθ)?m-n∈K,則θ是M上的同余關(guān)系.

證明：（1）設(shè)θ是M上的一個同余關(guān)系，r∈R，令K=0/θ={m∈M|m≡0(modθ)}，由模論可知rm-0∈K，故rm≡0(modθ)，p∈M,m∈K，則p≡p(modθ)，m≡0(modθ)，-p≡-p(modθ)，從而p+m-p≡p+0-p(modθ)，即p+m-p≡0(modθ)，p+m-p∈K，且對任意m,n∈K,m≡0(modθ),n≡0(modθ),rm≡0(modθ),從而m∨n≡0 ∨0(modθ)≡0(modθ)，m∧n≡0 ∧0,(modθ)≡0(modθ),m+n≡0+0(modθ)≡0(modθ),-m≡0-m(modθ)≡(0-0)(modθ)=0(modθ)，從 而m+n,-m,rm,m∧n,m∨n∈K，對任意的r∈R+，當(dāng)m∈K+，顯然有rm≥0,rm∈K，所以K是M的l-R-子模.

對任意p∈M,m,n∈K，若m≤p≤n，則p∧m=m,p∧n=p,由m≡0(modθ)≡n(modθ)，有p∧m≡p∧n(modθ)，即m≡p(modθ)，從而p≡m(modθ)≡0(modθ)，從而p∈K，所以K是凸集，即K是M的凸l-R-子模.

對任意的m,n∈M，若m≡n(modθ)，則由-n≡-n(modθ)，m-n≡n-n(modθ)，即m-n≡0(modθ)，m-n∈K.反之，若m-n∈K，則m-n≡0(modθ)，m-n+n≡0+y(modθ)，即m≡n(modθ).

（2）設(shè)K是M的一個凸子l-R-模，在M上規(guī)定一個二元關(guān)系θ:m≡n(modθ)?m-n∈K.由模論可知θ是模M 上的同余關(guān)系,現(xiàn)設(shè)m,n,p,q∈K，則m-n∈K,p-q∈K,(m-n)∨(p-q)∈K,(m-n)∧(p-q)∈K，

從而(m-p)∧(n-q)≤m∧n-p∧q≤(m-p)∨(n-q).

因為K是凸的且(m-n)∨(p-q)∈K,(m-n)∧(p-q)∈K，所以m∧n-p∧q∈K，即m∧n≡p∧q(modθ).同樣可證m∨n≡p∨q(modθ)，故θ是M上的同余關(guān)系.