楊 娜，劉國(guó)政

基于接觸變形量修正模型的圓錐滾子軸承剛度計(jì)算

楊 娜1，劉國(guó)政2

（1.河南工學(xué)院 車輛與交通工程學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003；2.上汽大眾汽車有限公司，上海 201805）

軸承接觸受力以及剛度計(jì)算是一個(gè)非線性力學(xué)問題，文章基于修正的Palmgren模型對(duì)圓錐滾子軸承的滾子接觸力和接觸剛度進(jìn)行了計(jì)算。通過對(duì)所有滾子的接觸力、力矩以及其對(duì)軸承內(nèi)外圈造成的接觸變形的計(jì)算和疊加，推導(dǎo)了圓錐滾子軸承的剛度模型。為了驗(yàn)證模型，建立網(wǎng)格數(shù)量多、精度較高的圓錐滾子軸承有限元模型，計(jì)算了滾子以及外圈的應(yīng)力分布情況，通過對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果接觸力和接觸變形量的提取，識(shí)別了軸承剛度并與文章所建立模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明，所建立模型是準(zhǔn)確的。

圓錐滾子軸承；剛度計(jì)算；修正模型；接觸變形

軸承可以說是現(xiàn)代工業(yè)的基礎(chǔ)，在機(jī)械系統(tǒng)的應(yīng)用非常廣泛。軸承在工作過程中需要承受較大的接觸力，其接觸剛度的計(jì)算是否準(zhǔn)確直接影響整個(gè)軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模的準(zhǔn)確度。目前對(duì)于軸承接觸剛度計(jì)算主要采用兩種方式：有限元法和基于經(jīng)驗(yàn)公式的數(shù)值計(jì)算法[1]。有限元法的計(jì)算精度往往隨著網(wǎng)格數(shù)量等計(jì)算規(guī)模的擴(kuò)大而增加[2]，但其計(jì)算量也迅速增加，計(jì)算收斂度急劇下降[3]。數(shù)值計(jì)算方法收斂性好，計(jì)算量小，但是因?yàn)槠湟蕾嚱?jīng)驗(yàn)公式，存在適應(yīng)性差的問題[4]。本文擬基于一種修正的接觸變形量計(jì)算模型，對(duì)圓錐滾子軸承的接觸剛度進(jìn)行計(jì)算，并探究計(jì)算方法的適應(yīng)性問題。

1 軸承接觸受力建模

圓錐滾子軸承中的接觸屬于線接觸，對(duì)于線接觸中的接觸變形量存在多種的經(jīng)驗(yàn)公式，其中比較著名的是PALMGREN在1959年提出的Palmgren經(jīng)驗(yàn)公式[5]，如式（1）所示。

式中，為接觸變形量；為接觸區(qū)的法向載荷；為接觸線長(zhǎng)度。

Palmgren經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)用于平面線接觸計(jì)算的精度還是比較高的。但對(duì)于軸承而言，其內(nèi)外支承圈存在曲率，不同尺寸的軸承，其曲率也是不同的，這就造成了該經(jīng)驗(yàn)公式在計(jì)算圓錐滾子軸承的接觸問題時(shí)可能存在巨大的誤差。因此，洛陽軸承研究所的羅繼偉對(duì)Palmgren公式進(jìn)行了改進(jìn)，加入了軸承滾子直徑和軸承內(nèi)、外圈直徑等參數(shù)[6]，如式（2）所示。

式中，為接觸變形量；w為滾子直徑；為接觸區(qū)的法向載荷；為接觸線長(zhǎng)度（即滾子長(zhǎng)度）；=w/r，r為滾道直徑。式（2）中括號(hào)內(nèi)的正負(fù)號(hào)代表接觸面曲率情況，正號(hào)代表滾子與內(nèi)圈接觸，負(fù)號(hào)代表滾子與外圈接觸。

軸承結(jié)構(gòu)中存在保持架等結(jié)構(gòu)，其與軸承之間受力較小，因此，在本文的計(jì)算中忽略保持架結(jié)構(gòu)；另外認(rèn)為滾子與內(nèi)外圈沒有間隙；實(shí)際使用過程中滾子與內(nèi)外圈之間極少存在滑動(dòng)，因此，認(rèn)為滾子與內(nèi)外圈是純滾動(dòng)的；在動(dòng)力學(xué)分析中，由于滾子的質(zhì)量引起的慣性力相對(duì)于接觸力來說要小得多，因此，本文在計(jì)算和建模過程中不考慮慣性力。

圖1 圓錐滾子軸承結(jié)構(gòu)與受力圖

某圓錐滾子軸承的幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示，圖中i和e分別是圓錐滾子與內(nèi)外圈的接觸角，是圓錐滾子的錐角，而且三者存在如式（3）所示關(guān)系。圓錐滾子受到三個(gè)外力：外圈的法向接觸力e、內(nèi)圈的法向接觸力i以及內(nèi)圈擋邊的接觸力f。其中f的方向平行于滾子的軸線，i和e的方向分別垂直于軸承的內(nèi)外圈。將上述三個(gè)力分解到垂直于滾子軸線的方向上，根據(jù)滾子受力平衡可得這個(gè)三個(gè)接觸力之間的關(guān)系如式（4）所示，可以看出滾子與內(nèi)外圈間的接觸力大小相等[7]。

我們?cè)賮矸治鰡蝹€(gè)滾子的受力情況，如圖2所示，滾子與內(nèi)外圈之間的剛度分別為i和e，滾子與內(nèi)外圈之間的彈性變形量分別為Ei和Ee，因此，滾子與內(nèi)外圈之間類似于兩個(gè)彈簧串聯(lián)。以軸承外圈的接觸位移為參照，將內(nèi)圈與滾子的接觸位移投影到外圈接觸力方向上，Ei在e方向上的投影為Eicos，因此，軸承內(nèi)外圈在e方向上總的相對(duì)位移如式（5）所示。

圖2 單個(gè)滾子受力分析圖

因?yàn)閳A錐滾子的錐角較小，在計(jì)算過程中我們將其當(dāng)作圓柱滾子處理，W為圓錐滾子的平均直徑。根據(jù)修正的接觸變形量計(jì)算公式（2），滾子與內(nèi)外圈的接觸位移分別如式（6）和式（7）所示。

將式（6）和（7）代入到式（5）中，可得軸承內(nèi)外圈總的相對(duì)位移，如式（8）所示。

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利用式（8）可以求得軸承的外圈法向接觸力，如式（9）所示。

我們可以得到式（10），其中ne稱為外圈接觸的剛度系數(shù)。

2 圓錐滾子軸承剛度模型

2.1 軸向與徑向受力分析

圓錐滾子軸承的受力情況如圖3所示，在外力的作用下，軸承內(nèi)圈與外圈之間的軸向和徑向位移分別為δ和δ。取軸承內(nèi)圈的中心點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，內(nèi)圈的軸線為軸，正方向?yàn)閺臐L子大端指向小端。將軸承內(nèi)圈-滾子作為一個(gè)整體，僅考慮外圈與滾子之間的法向位移，則最頂端的滾子處，外圈的軸向和徑向位移分別為δ和δ，由幾何關(guān)系可以得到外圈的法向位移量，如式（11）所示。

式中，αe是軸承外圈的壓力角。

圖3中，是滾子的方位角，第個(gè)滾子的方位角φ=2π(-1)，根據(jù)幾何關(guān)系，第個(gè)滾子處，軸承外圈的徑向位移δcos，軸向位移，所以第個(gè)滾子處軸承外圈之間的法向位移量可以由式（12）求得

將式（12）代入到式（10）中，可以求出第個(gè)滾子與外圈的法向載荷e。如圖4所示，將軸承內(nèi)圈-滾子作為力學(xué)分析的隔離體，分別計(jì)算每個(gè)滾子法向接觸力e的軸向分力Q和徑向分力Q。再將各個(gè)滾子的軸向力和徑向力疊加，就能得到軸承整體所受到軸向力F和徑向力F，分別如式（13）和式（14）所示。

上述分析過程只考慮了軸承內(nèi)外圈之間的軸向和徑向位移。從圖4可以看出，各個(gè)滾子受到的軸向力，會(huì)對(duì)軸承中心產(chǎn)生一個(gè)附加力矩，迫使軸承內(nèi)圈產(chǎn)生轉(zhuǎn)角。根據(jù)力矩平衡，要想保持軸承受力平衡，必須給軸承內(nèi)圈提供一個(gè)和附加力矩大小相同，方向相反的力矩，如式（15）所示。下一小節(jié)中我們將詳細(xì)分析軸承所受力矩情況。

式中，m為滾子節(jié)圓半徑，即軸承內(nèi)外圈半徑的平均值。

圖4 圓錐滾子軸承受力與力矩

2.2 力矩分析

當(dāng)軸承內(nèi)外圈存在相對(duì)轉(zhuǎn)角時(shí)，如圖5所示，第個(gè)滾子相對(duì)于外圈存在如式（16）所示的軸向位移。

與引起的軸向位移量δ相比，由引起的滾子徑向位移δ可以忽略[6]，因此，軸承滾子總的軸向位移量如式（17）所示。

則依據(jù)式（12）可以計(jì)算第個(gè)滾子處，軸承外圈相對(duì)于滾子的法向位移量。

考慮到徑向位移δ包括沿著和兩個(gè)方向的位移δ和δ，轉(zhuǎn)角也包括軸和繞軸兩個(gè)方向的轉(zhuǎn)角θ和θ，所以軸承外圈相對(duì)于滾子的法向位移如式（19）所示。

當(dāng)δ＞0時(shí)，說明滾子發(fā)生變形，將上式代入到式子（10）中，就可以求出各個(gè)滾子與外圈的法向載荷e；但是當(dāng)δ≤0時(shí)，表示軸承滾子的運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)離軸承外圈，滾子不會(huì)發(fā)生接觸變形，此時(shí)e=0。

將每個(gè)滾子的徑向力、軸向力以及由軸向力產(chǎn)生的附加力矩進(jìn)行疊加，可以得到軸承整體所受到的力和力矩，如式（21）所示。

假設(shè)軸承外圈固定不動(dòng)，當(dāng)軸承內(nèi)圈受到力F()和轉(zhuǎn)矩M()時(shí)，軸承內(nèi)圈會(huì)產(chǎn)生位移δ()和轉(zhuǎn)角θ()。依據(jù)上述力與位移的關(guān)系，我們可以對(duì)軸承的剛度進(jìn)行計(jì)算和描述。

3 圓錐滾子軸承剛度模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證式（21）所示圓錐滾子軸承剛度模型的正確性，以某圓錐滾子軸承為例，建立軸承有限元模型，仿真分析其軸向和徑向剛度，并與軸承理論模型的計(jì)算結(jié)果作對(duì)比。

對(duì)圓錐滾子軸承幾何模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和幾何清理[8]，建立的有限元模型如圖6所示。

圖6 圓錐滾子軸承有限元模型

圖7和圖8分別是軸承受到軸向和徑向載荷時(shí)，滾子和外圈的應(yīng)力云圖，可以看出滾子和外圈基本是線接觸，對(duì)于軸向載荷，每個(gè)滾子承受的載荷基本一致；軸承受到徑向力時(shí)，在力的作用線上的滾子受到的應(yīng)力最大，其它滾子的受力情況關(guān)于力的作用線對(duì)稱，共有7個(gè)滾子承受載荷。

圖7 圓錐滾子軸承軸向受力100 kN

圖8 圓錐滾子軸承徑向受力100 kN

為了分析應(yīng)力沿著軸承滾子母線方向的分布，沿著滾子母線方向提取滾子表面與外圈接觸區(qū)的應(yīng)力，如圖9所示，由于滾子和內(nèi)外圈是有限長(zhǎng)接觸，在滾子大端和小端邊緣處均會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力集中，滾子小端的應(yīng)力大于大端。但是除了滾子的兩端，滾子母線上的應(yīng)力變化不是很大，接觸應(yīng)力基本平均分布。

圖9 滾子接觸應(yīng)力提取路徑與分布情況

圖10和圖11為軸承剛度的有限元仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果的對(duì)比圖，可以看出，整體上軸承的軸向剛度小于徑向剛度；在相同的位移下，無論是載荷還是剛度值，有限元仿真結(jié)果均稍大于理論模型，這是由于有限元建模時(shí)將滾子與軸承內(nèi)圈綁定在一起，導(dǎo)致兩者之間接觸面的剛度變大；軸承剛度隨著位移的增加呈現(xiàn)出明顯的非線性，尤其當(dāng)位移在0.02 mm以內(nèi)時(shí)，當(dāng)剛度位移量超過0.02 mm后，剛度基本呈現(xiàn)線性增加；軸承的徑向剛度大于軸向剛度。雖然非線性軸承模型與仿真結(jié)果存在一定的差異，但是兩者的變化趨勢(shì)基本一致，說明本文推導(dǎo)的非線性軸承理論模型是正確的，其綜合考慮了軸承內(nèi)外圈直徑對(duì)彈性變形量的影響、滾子錐角對(duì)滾子與內(nèi)外圈剛度系數(shù)的影響，以及各個(gè)滾子承受載荷的差異。

圖10 軸承軸向剛度計(jì)算與有限元仿真對(duì)比

圖11 軸承徑向剛度計(jì)算與有限元仿真對(duì)比

4 結(jié)論

本文基于修正的Palmgren經(jīng)驗(yàn)公式，對(duì)軸承中單個(gè)滾子的受力情況進(jìn)行了計(jì)算和分析，推導(dǎo)并建立了圓錐滾子軸承法向接觸力模型，定義了軸承滾子與外圈接觸剛度系數(shù)。

通過對(duì)圓錐滾子軸承每個(gè)滾子的徑向力、軸向力以及由軸向力產(chǎn)生的附加力矩進(jìn)行計(jì)算和疊加，推導(dǎo)了圓錐滾子軸承整體軸向和徑向力，以及相應(yīng)力矩的表達(dá)式，建立了圓錐滾子軸承剛度模型。

本文通過有限元方法對(duì)所建立的軸承剛度模型進(jìn)行了驗(yàn)證，兩者的計(jì)算結(jié)果無論從數(shù)值差還是變化趨勢(shì)相似度上，都表明本文所建立的圓錐滾子軸承剛度理論模型是正確的，探明了基于修正的Palmgren公式進(jìn)行的軸承受力與剛度計(jì)算公式是可以適用于圓錐滾子軸承的，而利用本文所建立模型計(jì)算軸承受力與剛度等數(shù)據(jù)所耗費(fèi)的時(shí)間要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于有限元法，證明本文研究方法可以有效改善圓錐滾子軸承的計(jì)算效率。

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Stiffness Calculation of Tapered Roller Bearing Based on Modified Contact Deformation Model

YANG Na1, LIU Guozheng2

( 1.School of Vehicle and Traffic Engineering, Henan Institute of Technology, Xinxiang 453003, China;2.SAIC Volkswagen Company Limited, Shanghai 201805, China )

The calculation of bearing contact force and stiffness is a nonlinear mechanical problem. This paper calculates the roller contact force and contact stiffness of tapered roller bearing based on the modified palmgren model. Through the calculation and superposition of the contact forces and moments of all rollers and the contact deformation caused by them on the inner and outer rings of the bearing, the stiffness model of tapered roller bearings is derived in this paper. In order to verify the model, this paper establishes a finite element model of tapered roller bearing with a large number of grids and high accuracy, calculates the stress distribution of the roller and outer ring, identifies the bearing stiffness by extracting the contact force and contact deformation from the finite element calculation results, and compares the calculation results with the model established in this paper. The results show that the model established in this paper is accurate.

Tapered roller bearing; Stiffness calculation; Modified model; Contact deformation

U463.5

A

1671-7988(2023)10-119-06

10.16638/j.cnki.1671-7988.2023.010.025

楊娜（1991—），女，工程師，研究方向?yàn)槠囅到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)，E-mail:yangna1216@163.com。