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        尋根求源 變式探究

        2023-06-14 19:17:10彭秋月
        初中生世界·九年級 2023年5期
        關(guān)鍵詞:垂徑中考題平分

        彭秋月

        教材中的例題是非常典型的數(shù)學(xué)問題,背后蘊含著豐厚的價值。其實,很多中考題都是由教材中的例題改編而來的,因此我們要足夠重視它們。

        原題呈現(xiàn) (蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第67頁例3)如圖1,AB是⊙O的直徑,弦AD平分∠BAC,過點D的切線交AC于點E。DE與AC有怎樣的位置關(guān)系?為什么?

        詳細解答過程見教材。

        變式1 如圖2,AB是⊙O的直徑,弦AD平分∠BAC,過點D作DE⊥AC,垂足為E,連接BD。若AE=4,ED=2,求⊙O的半徑。

        【解析】求⊙O的半徑可轉(zhuǎn)化為求線段AB的長度,利用勾股定理和相似三角形對應(yīng)邊成比例可以輕松解決問題。

        ∵ED=2,AE=4,∴AD=[AE2+DE2]=[25]。

        ∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°。

        ∵∠EAD=∠BAD,∴△ADE∽△ABD。

        ∴[AEAD]=[ADAB]?!郃B=5。

        ∴⊙O的半徑為[52]。

        【點評】我們可以利用勾股定理或者相似三角形來解決求線段長度的問題。

        變式2 如圖3,AB是⊙O的直徑,弦AD平分∠BAC,過點D的切線交AC于點E。AE與⊙O交于點F,延長ED、AB交于點G,試探究AB、AF、EF三者之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論。

        【解析】構(gòu)造垂徑定理基本圖形。如圖4,連接OD,過點O作OH⊥AF于點H,易證四邊形ODEH為矩形,所以O(shè)D=EH。

        ∵OH⊥AF,∴HF=[12]AF。

        ∴OD=EH=EF+HF=EF+[12]AF,

        ∴2OD=2EF+AF,即AB=2EF+AF。

        【點評】本題是2017年鹽城市中考題第25題的第(3)小題。我們利用垂徑定理也能解決長度的計算問題。

        (作者單位:江蘇省鹽城市康居路初級中學(xué))

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