華晟驍，胡啟立，馮佳濠，姜 律，楊燕燕，吳晶晶，俞 琳，胡立發(fā)*

（1.江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122；2.光電對抗測試與評估技術(shù)重點實驗室，河南 洛陽 471003；3.江蘇省輕工光電工程技術(shù)研究中心，江蘇 無錫 214122）

1 引 言

在使用地基光學望遠鏡進行天文觀測時，人們利用自適應(yīng)光學系統(tǒng)（Adaptive optics system，AOS）補償大氣湍流造成的像差［1-7］。夏克哈特曼波前探測器（Shack-Hartmann wavefront sensor，SHWFS）是AOS 中最重要的單元之一，它主要包括微透鏡陣列和CCD。在天文觀測中，自然導(dǎo)星或人造導(dǎo)星一般比較暗弱，同時大氣湍流實時變化，大氣湍流比較強時會導(dǎo)致SHWFS 獲得的部分光斑太弱，對這些光斑的質(zhì)心進行計算時誤差較大，導(dǎo)致波前重構(gòu)精度低。同時，天文觀測等應(yīng)用要求SHWFS 能快速對大氣湍流的波前進行測量。雖然減少微透鏡的數(shù)量和使用像素數(shù)較少的CCD 可以提高波前測量速度，但會導(dǎo)致波前測量的空間分辨率降低，這意味著波前測量精度也會降低。

近年來，人們將壓縮感知技術(shù)引入波前測量，以少的斜率測量來提高波前測量速度。2014 年，Polans 提出了壓縮波前探測，他利用Zernike 多項式對斜率進行稀疏化并對由幾個低階Zernike 模式組成的簡單波前像差進行了仿真驗證［8］。理論上它只需要較少數(shù)量的微透鏡，因此可以提高波前的探測速度。Howland 等人提出了一種基于壓縮感知單像素相機的波前探測器，用于靜態(tài)的暗弱目標的波前測量［9］。它將隨機二進制圖案應(yīng)用于高分辨率空間光調(diào)制器，從10 000 個投影中可以獲得高質(zhì)量的256×256 波前。2016 年，Eddy等人基于Polans 的斜率稀疏化方法，使用壓縮波前探測方法測量自由曲面光學元件的面形［10］。2022 年，Ke 等人使用壓縮波前探測進行了波前校正實驗［11］。然而，在前述已報道的稀疏斜率重構(gòu)方法中，具有較小值的斜率通常被忽略為0，這明顯增加了小壓縮比時的波前重構(gòu)誤差，因此，他們主要用低階Zernike 模式組成的簡單波前進行重構(gòu)和驗證，而無法測量大氣湍流引起的復(fù)雜波前畸變。大氣湍流引起的像差非常復(fù)雜，導(dǎo)致斜率分布范圍廣，而小的斜率值也可能對重構(gòu)復(fù)雜波前的高頻成分有貢獻，直接視為0 會導(dǎo)致波前中的部分高頻信息丟失。如果斜率恢復(fù)的精度低會導(dǎo)致波前重構(gòu)的精度相應(yīng)降低，因此，已有的壓縮波前探測算法很難應(yīng)用于地基大口徑光學望遠鏡的自適應(yīng)光學系統(tǒng)中。

為了解決該問題，我們提出了深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來提高稀疏斜率的恢復(fù)精度。傳統(tǒng)的算法可以從光點陣計算斜率并重構(gòu)波前，但針對暗弱空間目標探測時，湍流擾動引起的光點亮度起伏會導(dǎo)致部分光點信噪比差，甚至不能用于波前重構(gòu)，導(dǎo)致重構(gòu)精度降低。近年來，人們利用深度學習技術(shù)直接從光點陣預(yù)測波前且具有較高的波前重構(gòu)精度，但它們的算法嚴重依賴于硬件和數(shù)據(jù)訓(xùn)練，計算時間通常高達幾十毫秒［12-15］，外場環(huán)境中的光點陣和對應(yīng)波前的數(shù)據(jù)集很難同時準確獲得，使其目前還不能用于外場的大氣湍流校正。在本文所提出的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，輸入和輸出數(shù)據(jù)是斜率而不是具有大網(wǎng)格數(shù)的光斑和波前圖像，并且即使對于具有30×30 微透鏡的SHWFS，斜率數(shù)據(jù)個數(shù)也不大于1 800。因此，我們設(shè)計的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以在其快速恢復(fù)速度和高波前重構(gòu)精度之間取得平衡，通過高精度地恢復(fù)斜率提高壓縮波前探測算法中波前重構(gòu)精度。

2 方 法

仿真過程如圖1 所示。從光點陣列圖像計算沿x和y方向的原始斜率［4］，然后利用離散余弦變換（DCT）矩陣生成稀疏斜率；沿x和y方向的稀疏斜率被用作深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DNN）的輸入?yún)?shù)。作為比較，圖1 中紅色箭頭還給出了壓縮波前探測的經(jīng)典恢復(fù)方法。沿x和y方向的恢復(fù)斜率為輸出結(jié)果。最后，可以使用Zernike 模式法重構(gòu)波前。

圖1 壓縮波前探測的波前重構(gòu)過程Fig.1 Wavefront reconstruction process of compressive wavefront sensor

2.1 SHWFS 波前重構(gòu)

SHWFS 通過測量光斑陣列并計算其沿x和y方向的偏移，根據(jù)斜率重構(gòu)波前。在SHWFS中，波前通過微透鏡陣列形成光點陣列。每個子孔徑上的局部波前的平均傾斜和尖端與光點的偏移成比例。偏移可以通過比較從參考波前獲得的光點的質(zhì)心與畸變波前的質(zhì)心之間的差異來計算。通常用傳統(tǒng)的重心（CoG）算法計算：

其中I（i，j）是第i行和第j列中像素的光強。然后，根據(jù)光點的偏移x和y計算波前斜率。定義φ（x，y）為坐標（x，y）處的大氣湍流波前相位，其斜率分別為x和y方向上的Sx和Sy。它們之間的關(guān)系如下：

其中f是透鏡的焦距。計算斜率后，可以通過經(jīng)典波前重構(gòu)方法重構(gòu)最終波前W，如式（5）所示［4，16-17］：

其中：Zi是第i個Zernike 模式，ai是第i個Zernike模式的系數(shù)。

2.2 斜率稀疏和恢復(fù)

定義Ψ∈RM×N作為M?N的稀疏基，這意味著空間中的每個向量都可以表示為這組基向量的線性組合。然后，斜率信號Sx和Sy可以通過稀疏基進行稀疏化，如式（6）所示：

其中稀疏向量θx∈RN，θy∈RN分別是Sx和Sy的稀疏表示。離散余弦變換（DCT）矩陣被用作稀疏矩陣。

設(shè)計一個M×N探測矩陣來測量Sx和Sy并獲得斜率測量值我們選擇高斯矩陣作為探測矩陣：

其中A=ΦΨ。

矩陣Φ滿足限制等距性質(zhì)（RIP）標準［18-20］：

因為M比N小得多，所以和的值通過求解最小0 范數(shù)來得到。而0 范數(shù)問題是一個NP 難問題，但Candes、Tao 和Donoho 等人已證明，當測量矩陣Φ滿足約束等距性質(zhì)（RIP）時，l0約束優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為l1約束的凸優(yōu)化問題：

圖2 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.2 Deep neural network structure

3 結(jié)果與討論

本文在J 波段進行了模擬，望遠鏡孔徑D為3.6 m，r0范圍為0.33～0.42 m。SHWFS 中的微透鏡數(shù)量為16×16，每個子區(qū)域的像素數(shù)為6×6。壓縮比r表示所有斜率中有效斜率的百分比。

3.1 DNNCWS 的波前重構(gòu)精度

對于相同的壓縮比r=0.7，分別使用DNNCWS 和GCWS 重構(gòu)波前斜率及其波前。圖3 給出了x和y方向上波前斜率及其重構(gòu)誤差。圖3（a）為x方向上的原始斜率，其值范圍為-0.7～0.8 rad；圖3（f）為y方向上的原始斜率，其值為-0.9～1.1 rad。

圖3 （a）原始波前的x 方向斜率；（b）GCWS 恢復(fù)的x方向斜率；（c）GCWS 恢復(fù)的x 方向斜率的誤差；（d）DNNCWS 恢復(fù)的x 方向斜率；（e）DNNCWS恢復(fù)的x 方向斜率的誤差；（f）原始波前的y 方向斜率；（g）GCWS 恢復(fù)的y 方向斜率；（h）由GCWS恢復(fù)的y 方向斜率的誤差；（i）由DNNCWS 恢復(fù)的y 方向斜率；（j）由DNNCWS 恢復(fù)的y 方向斜率誤差。Fig.3 （a）X-direction slopes of the original wavefront；（b）X-direction slopes recovered by GCWS；（c）Error of the x-direction slopes recovered by GCWS；（d）X-direction slopes recovered by DNNCWS；（e）X-direction slopes error recovered by DNNCWS；（f）Y-direction slopes of the original wavefront；（g）Y-direction slopes recovered by GCWS；（h）Error of the y-direction slopes recovered by GCWS；（i）Y-direction slopes recovered by DNNCWS；（j）Y-direction slopes error recovered by DNNCWS.

圖3（b）和（g）給出了GCWS 恢復(fù)的x和y方向的斜率。圖3（c）和（h）分別給出了GCWS 恢復(fù)的x和y方向上斜率的誤差，其PV 為0.5 rad，RMS為0.03 rad。圖3（d）和（i）分別給出了DNNCWS恢復(fù)的x和y方向的斜率。圖3（e）和（f）給出了相應(yīng)的誤差，其PV 為0.04 rad，RMS 值為0.003 rad?？梢钥闯?，DNNCWS 算法的精度比常規(guī)壓縮波前探測算法高了一個量級。

基于所獲得的斜率進行波前重構(gòu)，得到了如圖4 所示的重構(gòu)波前。所用電腦CPU 為AMD Ryzen7，內(nèi)存8 GB，從斜率到波前的重構(gòu)時間為4.4 ms。圖4（a）、（b）和（c）分別給出了原始波前、DNNCWS 重構(gòu)波前和殘差波前。圖4（d）和（e）分別給出了GCWS 重構(gòu)波前和殘差波前。圖4（a）中原始波前的峰谷值（PV）為0.464 μm，均方根值（RMS）為0.063 5 μm。圖4（b）中的波前PV 為0.460 μm，RMS 為0.063 3 μm。圖4（d）中的波前PV 為0.379 μm，RMS 為0.061 5 μm。圖4（c）中DNNCWS 的殘差波前的RMS 為0.001 4 μm，遠小于圖4（e）中GCWS 的殘差波前RMS 0.006 μm。DNNCWS 獲得的結(jié)果的精度遠高于GCWS，這是由于DNNCWS 方法恢復(fù)斜率具有更高的精度，因而降低了波前重構(gòu)誤差。

圖4 （a）原始波前；（b）DNNCWS 算法恢復(fù)的斜率重構(gòu)的波前；（c）DNNCWS 算法的殘差波前；（d）GCWS算法恢復(fù)的斜率重構(gòu)的波前；（e）GCWS 算法的殘差波前。Fig.4 （a）Original wavefront；（b）Reconstructed wavefront with DNNCWS；（c）Residual wavefront of DNNCWS；（d）Reconstructed wavefront with GCWS；（e）Residual wavefront of GCWS.

為了檢驗算法的穩(wěn)定性，我們選擇了30 組數(shù)據(jù)進行了測試。圖5 顯示了使用兩種方法從30 組隨機斜率中恢復(fù)的殘差波前的PV 和RMS?？梢钥闯觯珼NNCWS 比GCWS 具有顯著的穩(wěn)定性和高精度。DNNCWS 算法的殘差波前的RMS 值約為0.001 μm，變化幅度較小。

圖5 30 組斜率的殘差波前的PV 和RMS 誤差的比較。（a）誤差的PV 值；（b）誤差的RMS 值。Fig.5 Comparison of PV and RMS errors of residual wavefront for 30 sets of slopes.（a）PV values of errors；（b）RMS values of errors.

3.2 不同的斜率壓縮比對波前重構(gòu)精度的影響

圖6 顯示了兩種算法在不同壓縮比下恢復(fù)的殘差波前的PV 和RMS 的比較?；贒NNCWS重構(gòu)的殘差波前的PV 范圍為0.005～0.014 μm，RMS 范圍為0.000 7～0.002 μm；基于GCWS 重構(gòu)的殘差波前PV 范圍為0.07～0.4 μm，RMS 范圍為0.004～0.066 μm。結(jié)果表明，DNNCWS 的波前測量精度遠優(yōu)于GCWS。與GCWS 相似，隨著斜率壓縮比的增加，DNNCWS 重構(gòu)的殘差波前的RMS 從0.002 μm 降低到0.000 7 μm。在所有情況下，DNNCWS 的殘差波前的RMS 均在0.001 μm 左右。DNNCWS 使用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來提高從稀疏波前斜率恢復(fù)的波前斜率的準確性，因此重構(gòu)的波前效果更好。同時，對于相同的波前測量精度，DNNCWS 可以使用較少的微透鏡進行測量。

圖6 不同壓縮比下的殘差波前比較。（a）殘差波前PV 的比較；（b）殘差波前RMS 的比較。Fig.6 Comparison of residual wavefront under different compression ratios.（a）Comparison of PV of residual wavefront；（b）Comparison of RMS of residual wavefront.

3.3 暗弱星等下壓縮波前探測的精度

對于比較暗弱的11 星等目標，在信噪比比較低（SNR=8.11 dB），壓縮比r=0.7 的情況下，圖7（a）、（b）和（c）分別為原始波前、DNNCWS算法恢復(fù)的斜率重構(gòu)的波前與殘差波前，圖7（d）和（e）分別為GCWS 算法恢復(fù)的斜率重構(gòu)的波前與殘差波前。圖7（a）中原始波前的PV 值為0.448 μm，RMS 值為0.064 1 μm；圖7（b）中DNNCWS 算法恢復(fù)的波前PV 值為0.458 μm，RMS 值為0.062 6 μm；圖7（d）中GCWS 算法恢復(fù)的波前PV 值為0.407 μm，RMS 值為0.062 0 μm。圖7（c）中基于DNNCWS 重構(gòu)的波前殘差RMS值為0.000 9 μm，圖7（e）中基于GCWS 重構(gòu)的波前殘差的RMS 值為0.004 μm?？梢钥闯?，DNNCWS 恢復(fù)的波前比GCWS 的結(jié)果更接近原始波前。在低信噪比條件下，基于DNNCWS的波前重構(gòu)精度顯著高于GCWS。

圖7 （a）原始波前；（b）DNNCWS 算法恢復(fù)的斜率重構(gòu)的波前；（c）DNNCWS 算法恢復(fù)的斜率重構(gòu)的波前的殘差波前；（d）GCWS 算法恢復(fù)的斜率重構(gòu)的波前；（e）GCWS 算法恢復(fù)的斜率重構(gòu)的波前的殘差波前。Fig.7 （a）Original wavefront；（b）Reconstructed wavefront with DNNCWS；（c）Residual wavefront of DNNCWS；（d）Reconstructed wavefront with GCWS；（e）Residual wavefront of GCWS.

圖8（a）和（b）分別為在低星等情況下30 組隨機數(shù)據(jù)所得到的波前殘差的RMS 值與PV 值的對比。由圖8（a）和（b）可知，基于DNNCWS 算法重構(gòu)的波前殘差PV 值在0.004～0.013 μm 范圍內(nèi)，RMS 值在0.000 7～0.001 9 μm 范圍內(nèi)；而GCWS 算法對應(yīng)的波前殘差的PV 值在0.066～0.198 μm范圍內(nèi)，RMS值在0.004～0.008 μm 范圍內(nèi)。顯然，DNNCWS 比GCWS 具有更高的精度和更好的穩(wěn)定性。

圖9（a）和（b）分別顯示了重構(gòu)波前的RMS和PV 在不同星等下重構(gòu)波前的殘差對比。星等數(shù)值越高，目標光源越暗，信噪比也會越低。5、7、9、11 和13 星等對應(yīng)的信噪比SNR 分別為49.74，32.2，15.08，8.11，6.76 dB。結(jié)果表明，基于DNNCWS 重構(gòu)的殘差波前PV 在0.005～0.011 μm 之間，RMS 在0.000 9～0.001 7 μm 之間。作為比較，基于GCWS 重構(gòu)的殘差波前PV 范圍為0.06～0.11 μm，RMS 范圍為0.004～0.005 μm。DNNCWS 的波前重構(gòu)精度較高，不同的幅度對其波前測量精度的影響較小。

圖9 不同星等下的殘差波前。（a）殘差波前PV 的比較；（b）殘差波前RMS 的比較。Fig.9 Residual wavefront under different magnitude of star.（a）RMS of residual wavefront；（b）PV of residual wavefront.

4 結(jié) 論

本文提出DNNCWS 的方法，采用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從稀疏的斜率恢復(fù)斜率，提高了壓縮波前的檢測精度。與已有的壓縮波前探測方法相比，該方法克服了測量復(fù)雜像差精度低的問題，可以用于大氣湍流引起的復(fù)雜波前測量。此外，DNNCWS 可以在不同壓縮比和低信噪比的條件下以高精度和穩(wěn)定性重構(gòu)波前。在壓縮比從0.1～0.9 變化情況下，DNNCWS 的PV 范圍為0.005～0.014 μm，殘差波前的RMS 均在0.001 μm 左右，算法的運行時間為4.4 ms。在暗弱星等情況下，即低信噪比條件下，DNNCWS 的殘差波前PV 在0.005～0.011 μm之間，RMS 在0.000 9～0.0017 μm 之間。本文所提出的方法在使用自適應(yīng)光學的其他光學成像系統(tǒng)中也將有較好的應(yīng)用。