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        有關(guān)平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)點(diǎn)及考點(diǎn)歸納

        2023-06-13 11:09:08顧建明
        關(guān)鍵詞:內(nèi)點(diǎn)縱坐標(biāo)對(duì)稱點(diǎn)

        顧建明

        坐標(biāo)系與其它數(shù)學(xué)知識(shí)存在不可分割的聯(lián)系.許多知識(shí)在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究會(huì)更加直觀易懂.所以只有牢固掌握了與直角坐標(biāo)系有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn),才能更好地學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí).

        一、平面直角坐標(biāo)系相關(guān)知識(shí)點(diǎn)歸納

        1.平面直角坐標(biāo)系的定義:在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸,就組成平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸,豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸,兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).

        2.各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的特征:右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限.坐標(biāo)在四個(gè)象限的特點(diǎn):點(diǎn)P ( x,y)在第一象限則x>0,y>0;在第二象限則x<0,y>0;在第三象限則x<0,y<0;在第四象限則x>0,y<0.

        4.點(diǎn)的對(duì)稱:點(diǎn)P( m,n),關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是( m,-n),關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,n),關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,-n).

        5.平行線:平行于x軸的直線上的點(diǎn)的特征:縱坐標(biāo)相等,如直線PQ,P(m,n)Q (p,n);平行于y軸的直線上的點(diǎn)的特征:橫坐標(biāo)相等,如直線PQ、P(m,n)、Q(m,p).

        6.象限角的平分線:第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等,可記作:P(m,m);點(diǎn)P ( a,b )關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是( b,a );第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù),可記作: P(m,-m);點(diǎn)P ( a,b )關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(- b,- a ).

        7.點(diǎn)的平移:在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)( x,y)向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x + a,y);向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x-a,y);向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,y+b);向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,y-b).

        二、平面直角坐標(biāo)系相關(guān)考點(diǎn)歸納

        1.求坐標(biāo)

        求點(diǎn)的坐標(biāo)的方法是過這個(gè)點(diǎn)向x軸作垂線,則垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)就是該點(diǎn)的橫坐標(biāo);過這個(gè)點(diǎn)向y軸作垂線,則垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)就是該點(diǎn)的縱坐標(biāo).確定了一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),就知道這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

        例1如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(3,4),將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至OA′,則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是.

        例2在平面直角坐標(biāo)系中,A(-5,0),B(3,0),點(diǎn)C在y軸上,△ABC的面積為12,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

        解:∵點(diǎn)A(-5,0),B(3,0),都在x軸上,

        ∴AB=8.

        ∵△ABC的面積為12,點(diǎn)C在y軸上,

        解得OC=3,

        若點(diǎn)C在y軸的正半軸上,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),若點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),

        綜上所述,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)或(0,-3).

        2.求象限

        在平面直角坐標(biāo)系中,各象限內(nèi)點(diǎn)的符號(hào)特點(diǎn)是:第一象限內(nèi)的點(diǎn),橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為正;第二象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù),縱坐標(biāo)為正;第三象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為負(fù);第四象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正,縱坐標(biāo)為負(fù).確定了點(diǎn)橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)的正負(fù),就確定了象限.

        例3若點(diǎn)M(x,y)滿足(x+y)2= x2+ y2-2,則點(diǎn)M所在象限是().

        A.第一象限或第三象限

        B.第二象限或第四象限

        C.第一象限或第二象限

        D.不能確定

        解:∵(x+y)2= x2+ y2+2xy,

        ∴原式可化為xy=-1,

        ∴x、y異號(hào),

        ∴點(diǎn)M(x,y)在第二象限或第四象限.

        故選B項(xiàng).

        故選B項(xiàng).

        3.求面積

        當(dāng)三角形有一邊在x軸上時(shí),則以x軸上的邊為底邊,其長(zhǎng)等于x軸上兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值,此邊上的高就等于另一個(gè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值;當(dāng)三角形的一邊在y軸上時(shí),則以y軸上的邊為底邊,其長(zhǎng)等于y軸上兩個(gè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值,此邊上的高就等于另一個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值.確定了三角形的底邊和高就能求出面積.

        例5如圖3,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(2,4),B(-2,0),C(3,0),求△ABC的面積.

        解:過A作AD⊥x軸,垂足為D,

        ∵A的坐標(biāo)是(2,4),

        ∴AD=4,

        例6如圖4,平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-3,-1),B(1,3),C(2,-3),求三角形ABC的面積.

        分析:由于三邊均不平行于坐標(biāo)軸,所以我們無法直接求邊長(zhǎng),也無法求高,因此得另想辦法.根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn),可以將三角形圍在一個(gè)梯形或長(zhǎng)方形中,這個(gè)梯形(長(zhǎng)方形)的上下底(長(zhǎng))與其中一個(gè)坐標(biāo)軸平行,高(寬)與另一個(gè)坐標(biāo)軸平行.這樣,梯形(長(zhǎng)方形)的面積就容易求出,然后再減去圍在梯形(長(zhǎng)方形)內(nèi)邊緣部分的直角三角形的面積,即可求得原三角形的面積.

        解:如圖5,過點(diǎn)A、C分別作平行于y軸的直線,與過點(diǎn)B平行于x軸的直線交于點(diǎn)D、E,則四邊形ADEC為梯形.

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