劉傳澤

求菱形中變量線段和的最小值，是中考試題中的一個重要考點. 解答這類題，常把一個頂點關(guān)于對稱軸所在直線的對稱點作為突破口.

例（2022·湖南·婁底）如圖1，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC = 45°，點P，Q分別是BC，BD上的動點，CQ + PQ的最小值為________.

解析：如圖2，連接AQ，作AH⊥BC于H.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴點C關(guān)于對角線BD所在直線的對稱點為A，

∴AQ = CQ，∴CQ + PQ = AQ + PQ.

當點A，Q，P共線時，AQ + PQ的值最小，最小值為AH的長（垂線段最短）.

反思：一般地，動點在哪一條直線上，多以這條直線為對稱軸，進行變量線段的等量轉(zhuǎn)換. 本題以直線BD為對稱軸，用AQ替換CQ，轉(zhuǎn)化為三點共線的問題，再結(jié)合垂線段最短的性質(zhì)求解. 其中等線段轉(zhuǎn)化是解答問題的切入點.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時間：3分鐘

如圖3，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC = 60°，點P是BC的中點，點Q是BD上的一動點，CQ + PQ的最小值為_____. （答案見第27頁）

（作者單位：天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學）