喬鳴忠,盧希浩,張 弛

(海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033)

電機是艦艇上的重要設(shè)備,不僅數(shù)量多,而且應(yīng)用頻繁。電機的振動和噪聲對于艦艇的隱身性能及其船員生命力的保障極其重要,因此降低電機的振動和噪聲是一項十分重要的課題。

電機的噪聲包括電磁噪聲、空氣動力噪聲和機械噪聲,其中電磁噪聲是最主要的噪聲源[1]。國內(nèi)外對電機電磁振動的研究方法主要有解析法、有限元法和實驗法[2]。解析法建立了電機氣隙磁密以及徑向力波的數(shù)學(xué)模型,能夠方便地計算電機所受到的電磁力,并且通過彈性力學(xué)方程求解定子的振動變形情況。但采用解析法會簡化很多實際條件,使得計算結(jié)果不夠準(zhǔn)確。在解析法的基礎(chǔ)上,有限元法為求解電機的振動噪聲提供了新的工具。采用有限元法能夠準(zhǔn)確得到電機的氣隙磁密及電磁力波分布,并且可以查看各個頻率下的振動和噪聲響應(yīng),但有限元法并不能代替解析法對電機的振動噪聲進行理論性分析。在進行電機的振動噪聲計算時,一般采用兩者結(jié)合的方式[3-5]。

在進行普通的電機設(shè)計時,通常希望電機的氣隙磁密有較高的正弦性,以降低電機的轉(zhuǎn)矩脈動和電機損耗。在設(shè)計低噪聲電機或者進行電機的優(yōu)化設(shè)計時,很多研究學(xué)者采取了同樣的思路。文獻[6]進行了轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)和繞組排布兩個方面的設(shè)計,提高了電機氣隙磁場的正弦性,降低了電機的電磁振動噪聲。文獻[7]優(yōu)化了轉(zhuǎn)子隔磁橋結(jié)構(gòu),使得各階氣隙磁密的幅值下降,提高了氣隙磁密的正弦性,同時也改善了電機的振動噪聲。文獻[8]以氣隙磁密諧波畸變率指標(biāo)為設(shè)計依據(jù)來設(shè)計低噪聲電機,實驗結(jié)果表明,其設(shè)計方案能夠有效降低電機振動噪聲。雖然文獻[6-8]均降低了電機的振動噪聲,但是沒有相關(guān)的理論證明提高氣隙磁密的正弦性一定能降低電機的振動和噪聲。

基于以上分析,本文以一臺11 kW的Halbach轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)電機為研究對象,在解析法的基礎(chǔ)上通過排出力波表的形式,確定了引起電機振動和噪聲的主要力波頻率和階次。為了說明電機振動噪聲與其氣隙磁密正弦性無負(fù)相關(guān)關(guān)系,本文將該Halbach結(jié)構(gòu)永磁電機與一臺參數(shù)基本相同的徑向充磁結(jié)構(gòu)的永磁同步電機作對比,發(fā)現(xiàn)了氣隙正弦性好而振動噪聲大的現(xiàn)象。為了探究氣隙磁密3次諧波對電機振動噪聲的函數(shù)關(guān)系,本文建立了Halbach結(jié)構(gòu)電機的氣隙磁密及徑向力波的數(shù)學(xué)模型,并通過遺傳算法求解了電機氣隙磁密3次諧波的最佳幅值。

1 電磁力計算及分析

1.1 氣隙磁密表達式及其擬合函數(shù)

電機的氣隙磁密主要是徑向磁密,切向氣隙磁密幅值很小[9],忽略切向磁密,轉(zhuǎn)子磁勢的表達式為:

(1)

式中:μ為μ/p次磁勢諧波的極對數(shù),ω1為基波電角頻率,θ為空間角度。

考慮轉(zhuǎn)子凸極和定子開槽,氣隙長度為δ時的磁導(dǎo)為:

(2)

則同步電機空載時的氣隙磁密表達式為:

bμ(θ,t)=f(θ,t)λ(θ,t)

(3)

將式(1)和式(2)代入式(3)中,即可得到空載時具體的氣隙磁密表達式。

電機負(fù)載時,定子繞組通入對稱的三相正弦電流,所產(chǎn)生的電樞反應(yīng)磁場為:

(4)

將式(3)和式(4)相加,即可得到電機負(fù)載時的氣隙磁密表達式:

b(θ,t)=bμ(θ,t)+bv(θ,t)

vθ-(φ+90°)]

(5)

以一臺艦艇用機泵一體化電機為計算目標(biāo),該電機是一臺Halbach轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)20極24槽的永磁同步電機,額定運行功率為11 kW,額定轉(zhuǎn)速為1 000 r/min,電機的截面圖如圖1所示。

圖1 Halbach永磁同步電機截面圖Fig.1 Section of Halbach permanent magnet synchronous motor

經(jīng)過有限元仿真,得到電機在額定狀況運行時的空間氣隙磁密如圖2所示。

圖2 電機的氣隙磁密波形圖Fig.2 Air gap magnetic density waveform of motor

在圖2中,僅僅得到了電機的氣隙磁密波形圖,對于電機氣隙磁密的函數(shù)表達式,可以通過正弦函數(shù)擬合算法來解決[10]。

周期信號在滿足狄利克雷條件時,其電機空間氣隙磁密波形可以認(rèn)為是由各種諧波疊加而成,可表示成如下形式:

(6)

式中,x為圓周上的距離,H為最高諧波次數(shù),C為直流分量,Ah和Bh分別為h次諧波的同相正交幅值,f′為信號的基波頻率,n(t)是零均方差為e2的寬帶噪聲。 則h次諧波的相位和幅值分別為:

(7)

(8)

Ah和Bh可以通過遺傳算法來估計其參數(shù)的初值,組成初始解向量。通過高斯-牛頓迭代法逼近加權(quán)最小二乘擬合方差,通過多次迭代,最終求得各次諧波的同相正交幅值[11]。

取最高諧波次數(shù)H為8,通過正弦函數(shù)擬合算法,可以得到空間氣隙磁密函數(shù)表達式為:

b(x)=0.955 7sin(0.068 86x+3.07)+0.140 4sin(0.206 6x+3.046)+0.096 68sin(0.344 3x-0.183 9)+0.058 96sin(0.481 9x-0.156 4)+0.036 12sin(0.757 1x-2.925)+0.034 36sin(0.096 41x-1.657)+0.032 5sin(0.234 6x+0.75)+0.030 81sin(0.399 7x+0.597 8)

(9)

計算結(jié)果顯示,輸入與輸出誤差的平方和為2.87,多重測定系數(shù)為0.994,證明了正弦函數(shù)擬合效果良好[12]。

1.2 電磁力波分析

忽略切向磁密,電機的徑向力密度表達式可由麥克斯韋定律求得,即:

(10)

其中:pn(θ,t)為徑向電磁力密度;μ0為真空磁導(dǎo)率,大小為4π×10-7H/m。

不考慮時間變量,將式(5)代入式(10)中,就可以得到電機空間徑向力密度的展開式。負(fù)載時,電磁力波的頻率為2倍定子電流頻率的整數(shù)倍[13-16]。其中,有兩類徑向力波引起的振動和噪聲需要注意:

一類是2倍定子電流頻率(333.3 Hz)下的力波。該頻率下的振動噪聲是由于氣隙磁密中的基波磁場所產(chǎn)生的,該電機的基波空間極對數(shù)為10,所以力波的空間階數(shù)為20階,屬于高階力波,雖然該力波幅值較大,但是對電機振動和噪聲的影響比較小。

另一類是主極磁場μ對極諧波和一階齒諧波磁場(υ=p±Z1)所產(chǎn)生的低階次力波,該低階次力波是引起電機振動噪聲的主要原因。該力波可以通過排出表1的形式來確定。

表1 力波表

由力波表分析可知,引起振動和噪聲的力波主要有兩個:其中一個由10對極的主極磁場和-14對極的齒諧波磁場相互作用所形成,另一個由30對極的主極磁場和34對極的齒諧波磁場相互作用所形成。兩種力波的階數(shù)均為-4階,頻率均為2倍的定子電流頻率,即333.3 Hz。

2 3次諧波對電磁力的影響

在第1節(jié)中,已經(jīng)得到了空間氣隙磁密的函數(shù)表達式(9)和電磁力密度的表達式(10)。首先對圓周長度的自變量進行歸一化處理,然后對空間電磁力密度函數(shù)進行快速傅里葉變換,得到電磁力密度幅值關(guān)于空間階數(shù)的關(guān)系,如圖3所示。

圖3 電磁力密度的快速傅里葉變換Fig.3 Fast Fourier transform of electromagnetic force density

根據(jù)第1節(jié)的分析可知,引起電機振動噪聲的主要力波階次為-4階力波,由圖3可知該力波幅值為10 173.5 N/m2。影響該力波幅值的諧波磁場有4類:10對極的主極磁場、-14對極的齒諧波磁場、30對極的主極磁場、34對極的齒諧波磁場。其中,10對極的主極磁場在電機設(shè)計和優(yōu)化過程中需保持不變,-14對極的齒諧波磁場和34對極的齒諧波磁場幅值較小且不易改變其幅值,對該力波幅值影響較小。

在電機設(shè)計和優(yōu)化過程中,3次諧波磁場即30對極的磁場在氣隙磁密中幅值較大,而且不同的電機設(shè)計使得該諧波的幅值差別也很大?；诖?有必要探究3次諧波對于-4階電磁力密度幅值的具體影響。

將空間氣隙磁密函數(shù)式(9)中的3次諧波的幅值設(shè)為自變量A3,并將其代入電磁力密度表達式(10),得到空間電磁力密度幅值關(guān)于A3與x的函數(shù)關(guān)系,其表達式如下:

(11)

對自變量x進行歸一化處理,然后對式(11)進行快速傅里葉分解,得到電磁力密度幅值關(guān)于空間階數(shù)的函數(shù)。取空間階數(shù)為4階,即可得到-4階力密度幅值關(guān)于3次諧波幅值A(chǔ)3的函數(shù)關(guān)系如下:

F(A3)=fFFT[pn(A3,x)]|(k=4)

(12)

-4階力波幅值關(guān)于3次諧波幅值A(chǔ)3的函數(shù)圖像,即式(12)所對應(yīng)的函數(shù)圖像如圖4所示。

圖4 力密度幅值關(guān)于3次諧波幅值的曲線Fig.4 The curve of force density amplitude with respect to the third harmonic amplitude

從圖4中可以看出,隨著3次諧波幅值的增加,電磁力密度幅值先減小后增大,并且存在最佳3次諧波幅值使得電磁力密度幅值最小。

另外,該函數(shù)曲線還證明了氣隙磁密的正弦性與電機振動噪聲的大小沒有負(fù)相關(guān)的關(guān)系,有可能出現(xiàn)氣隙正弦性很好而振動噪聲性能很差的情況。

3 遺傳算法求解最佳幅值

3.1 遺傳算法原理

第2節(jié)中得到了-4階力波幅值關(guān)于3次諧波幅值A(chǔ)3的函數(shù)關(guān)系,并且該函數(shù)存在一個A3,使得F(A3)為最小值。F(A3)函數(shù)十分復(fù)雜,使用一般的數(shù)學(xué)方法難以進行求解,但使用遺傳算法可以很容易得到目標(biāo)結(jié)果。

遺傳算法是模擬生物在自然環(huán)境中的遺傳和進化的過程而形成的自適應(yīng)全局優(yōu)化搜索算法[17-18]。簡單而言,遺傳算法,即一個種群代表一組問題的解,使用群體搜索技術(shù),不斷對種群進行選擇、交叉和變異等一系列遺傳操作來使種群進化,最終新種群中將包含問題的最優(yōu)解。

3.2 算法具體實現(xiàn)步驟

3.2.1 適應(yīng)度函數(shù)

適應(yīng)度即個體適應(yīng)環(huán)境的能力,在遺傳算法中用來評價個體的優(yōu)劣,通常適應(yīng)度高的個體更接近于問題的最優(yōu)解。

適應(yīng)度的目標(biāo)函數(shù)不受連續(xù)可微分的條件約束,任意集合都可以作為其定義域。它作為遺傳選擇操作中的選擇標(biāo)準(zhǔn),直接影響了算法性能。

在本問題中,需要求解的是力密度幅值的最小值,因此在式(12)的基礎(chǔ)上可構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)為:

ffit(A3)=-fFFT[pn(A3,x)]|(f=4)

(13)

3.2.2 選擇算子

根據(jù)個體的適應(yīng)度選擇適應(yīng)度高的個體,使其保留到下一代的操作稱為選擇操作。

基于各個個體被選擇的概率與其適應(yīng)度大小成正比的思想,Holland提出“輪盤賭法”[19]。該方法是一種基于比例的選擇,若某個個體的自適應(yīng)度為ffit(i),種群大小為Np,則該個體被選中的概率為:

(14)

3.2.3 交叉和變異算子

交叉操作首先要從交配池中隨機確定一組需要交配的個體,然后根據(jù)其位串長度L,以特定的交叉概率Pc,隨機選取一個或多個片段交換其染色體,使其組成一對新的個體。

變異操作是對種群中的每一個個體,以特定的變異概率Pm將一個或多個基因座上的基因值改變?yōu)槠渌任换蛑?。本問題選取的基因為二進制基因,發(fā)生變異時,相應(yīng)的基因值取反[20-21]。

3.2.4 參數(shù)確定

本問題所采取的適應(yīng)度函數(shù)為式(13),遺傳選擇方法為“輪盤賭法”,初始化種群的數(shù)目Np=50,染色體的二進制編碼長度即位串的長度L=20,交叉概率Pc=0.8,變異概率Pm=0.1,終止進化代數(shù)G=100。

4 計算結(jié)果及振動實測

4.1 遺傳算法計算結(jié)果

圖5為適應(yīng)度進化曲線,從圖中可以看出,隨著迭代次數(shù)的增加,目標(biāo)函數(shù)值逐漸收斂,最終計算結(jié)果為:當(dāng)A3=0.776 1 T時F(A3)取得最小值。

圖5 適應(yīng)度進化曲線Fig.5 Evolution curve of fitness

雖然A3=0.776 1 T時能夠使得電機的振動噪聲降低,但在進行電機設(shè)計時不僅要考慮振動噪聲,還要注意其轉(zhuǎn)矩脈動、電機鐵耗以及永磁體的高效利用。一般電機的3次諧波不宜取得過大,在電機設(shè)計和優(yōu)化中需要綜合考慮。

4.2 電機振動仿真與實測

根據(jù)第2節(jié)和第3節(jié)的計算和分析,得到了Halbach結(jié)構(gòu)電機氣隙磁密3次諧波與-4階力密度幅值的具體關(guān)系?，F(xiàn)引入另一臺電機,該電機除轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)外,其余參數(shù)與本文分析的Halbach結(jié)構(gòu)電機完全相同,其截面圖如圖6所示。

圖6 徑向充磁結(jié)構(gòu)永磁同步電機截面圖Fig.6 Cross section of permanent magnet synchronous motor for radial magnetizing structure

兩臺電機在額定功率時氣隙磁密的傅里葉分解如圖7所示。從圖7中可以看出,兩臺電機氣隙磁密的主要差別在3次諧波幅值上,Halbach結(jié)構(gòu)電機的3次諧波幅值較小,氣隙正弦度較高。

圖7 兩臺電機在額定功率時的氣隙磁密Fig.7 Air gap magnetic density of two motors at rated power

對兩臺電機進行電機振動的仿真,-4階力波作用下的定子的總變形情況仿真結(jié)果如圖8所示。從圖8中可以看出,Halbach結(jié)構(gòu)電機相比于徑向充磁結(jié)構(gòu)電機,其定子總變形量高出9.21%。從圖9中可以看出,Halbach結(jié)構(gòu)電機在333.3 Hz時的振動加速度響應(yīng)也要高于徑向充磁結(jié)構(gòu)電機。Halbach結(jié)構(gòu)電機的3次諧波含量小,氣隙正弦度高,但振動噪聲高于徑向充磁結(jié)構(gòu)電機。該實驗結(jié)論與第2節(jié)所得出的結(jié)論一致,一定程度上驗證了理論的正確性。

(a) Halbach結(jié)構(gòu)(a) Halbach structure

圖9 兩臺電機振動實測Fig.9 Vibration measurement of two motors

對兩臺電機進行電機振動的實測,圖9為兩臺電機振動實測對比的頻譜圖。

5 結(jié)論

本文以一臺11 kW的Halbach結(jié)構(gòu)的永磁電機為研究對象,建立了永磁同步電機氣隙磁密和電磁力波的解析模型,在此基礎(chǔ)上確定了引起電機振動噪聲的主要力波分量。為了探究3次諧波與振動噪聲的關(guān)系,建立了-4階電磁力密度幅值關(guān)于3次諧波幅值的數(shù)學(xué)模型,得到了具體的函數(shù)圖像,并通過遺傳算法求解了最佳3次諧波幅值使得電機的振動噪聲最小,實驗與理論分析一致。基于此,得到如下結(jié)論:

1)電機的振動噪聲并不取決于其氣隙磁密的正弦性,進行低噪聲電機的設(shè)計和優(yōu)化時,應(yīng)該從降低電磁力密度出發(fā)。

2)對于本文所研究的Halbach結(jié)構(gòu)電機,隨著3次氣隙磁密諧波的增加,-4階力波先減小后增大,3次氣隙磁密為0.776 1 T時使得力密度幅值最小。

3)本文僅對電機的振動噪聲求出了最佳3次諧波幅值,在進行電機設(shè)計時不僅要考慮振動噪聲,還要注意其轉(zhuǎn)矩脈動、電機鐵耗以及永磁體的高效利用,圖4所示的函數(shù)關(guān)系可為電機設(shè)計提供參考。

致謝

電機的振動信號測量工作是在海軍工程大學(xué)蔣超和彭威博士的幫助下完成的,特此致謝!