周 熒,王 躍

(貴州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,貴州 貴陽 550025)

研究物質運動時,微小粒子的活動總容易被人們忽略,然而就是這種微乎其微的粒子運動,引起了物理數(shù)學家們的廣泛關注。研究表明,Schr?dinger方程可以用來刻畫微小粒子的這種特殊運動。正因如此,近年來Schr?dinger方程的研究受到國內外眾多學者青睞。事實上,自從1926年奧地利物理學家Schr?dinger提出了著名的Schr?dinger方程后,量子力學的發(fā)展上升到更高的平臺,這類方程的研究不僅僅在量子力學方面扮演重要角色,在航空航天和機工設計等一系列的精密專業(yè)理論和實踐中都為社會作出了大量貢獻,時至今日,科學家們已經在這方面取得了許多舉世矚目的成就。

Schr?dinger方程與混沌現(xiàn)象密切相關,盡管普遍的數(shù)學物理學家認為這種方程是Schr?dinger本人在不經過嚴格推導的情況下利用試探或者統(tǒng)計方法推測而得,但是在自由粒子的運動中,Schr?dinger方程能夠完全融洽地解釋單色平面波的波函數(shù),在Schr?dinger方程的研究中往往會涉及到動能和勢能,人們通過尋找所對應的Hamilton方程間接求出抽象解。在雙縫干涉問題上,Schr?dinger方程還能解釋光的波動性和粒子性,大量的研究現(xiàn)象表明駐波狀態(tài)ψ(t,x)=u(x)ei?t的解能夠解釋諸如光子運動等許許多多的自然現(xiàn)象,因此在這種狀態(tài)下往往讓人們對定態(tài)Schr?dinger方程產生特定的興趣。例如在文獻[1]中,作者考慮了x∈2時的如下的Schr?dinger方程解的問題:

(1)

-Δψ+ωψ=h(ψ),x∈2

他們通過Nehari流形方法證明了問題(1)在Nehari流形上存在解,而當μ→0時也得到與文獻[1]類似的結果。進一步,作者假設了ω是連續(xù)非負的偶函數(shù)并且μ>0比較小時,問題(1)也存在解。

在文獻[5]中,作者考慮了帶有實值位勢函數(shù)的半線性自伴隨Schr?dinger方程,其中的反射系數(shù)差異的估計由相應的位勢函數(shù)差異和邊界條件中的參數(shù)給出,他們根據相應散射數(shù)據的差異給出了對電位差異的估計。在文獻[6]中,作者研究了Schr?dinger方程傳輸型特征值問題的部分逆問題,其結果表明:已知特征值的數(shù)量和給定電位勢的子區(qū)間長度時,如果先驗部分是已知位勢,則只有部分特征值才能唯一確定相應的位勢與密度之間的關系。文獻[7]中利用上下解方法獲得帶有同種類型非局部系數(shù)的Schr?dinger方程解的存在性。文獻[8-9]利用變量分離思想和代數(shù)分析方法構造出非局部問題的解,促進非局部問題的數(shù)值模擬。文獻[10]中利用(1/G)和(1/G′)展開方法得到時滯情形的二階三次Schr?dinger方程的雙曲函數(shù)解和有理函數(shù)解。而在文獻[11]中,作者在已有文獻的基礎上利用Mathematica軟件刻畫了時滯情形的二階三次Schr?dinger方程的四類解析解。

考慮到文獻[1-7]均涉及到復雜的假設條件和研究方法,所得到的結果也僅僅是解的存在性,并不知道解具有哪些特殊的性質。而文獻[10-11]在無邊界約束下的時滯問題上刻畫了解析解。因此,不同于他們的問題和結果,我們將在有界區(qū)域上利用文獻[8-9]的方法并結合文獻[12]中介紹的譜理論方法考慮帶有不同的組合非局部系數(shù)下的Schr?dinger方程(1)的如下特殊情形:

(2)

進一步,從a,b同時為零、同時非負、同時非正以及異號這幾種情況可以將定理細化描述為:

(ⅰ) 如果a=b=0,那么對任意的λ∈R,當存在i≥1使得λ=μi時方程(2)有無窮多對解;當對任意的n≥1都滿足λ≠μn時方程(2)只有平凡解。

(ⅱ) 如果a,b≥0且a+b>0,則對任意的λ∈R,方程(2)都有無窮多對解。

(ⅲ) 如果a<0且b≤0,那么λ≤μ1時方程(2)只有平凡解;而μn<λ≤μn+1時有n對非平凡解。

(ⅴ) 如果a<0且b>0,那么對任意的λ∈R,方程(2)都有無窮多對解。

2 主要結論的證明

(3)

這里的μn為特征值,φn為特征函數(shù),并且對方程

(4)

(5)

是方程(4)存在解的唯一選擇情況。

(6)

于是

(7)

因此(6)式成立的條件轉換為代數(shù)方程(7)成為恒等式時的條件。

下面,從a,b同時為零、只有一個為零、都不為零這3種情況出發(fā),分類討論方程(7)成立時λ的范圍。也就是說只有如下的2種情況:

立足于上述兩種情況,下面逐項證明主要結果:

情形(ⅰ)當a=b=0時,除非存在某個i使得λ=μi,此時對任意的t∈R來說,u(x)=tφi(x)都是方程(2)的解,見圖1至圖3;否則方程(2)只有平凡解。事實上,當a=b=0時方程(2)退化為特征值問題(4)的樣子。因此,式(5)是方程(4)存在解的唯一選擇情況,存在某個i的情況下只能取n=i。故在a=b=0的前提下對任意的n≥1都滿足λ≠μn時方程(2)只有平凡解。

圖1 在Ω=(0,1),a=0,b=0的前提下,當λ=μ1時的圖像

圖2 在Ω=(0,1),a=0,b=0的前提下,當λ=μ2時的圖像

圖3 在Ω=(0,1),a=0,b=0的前提下,當λ=μ3時的圖像

情形(ⅱ)如果a,b≥0且a+b>0,那么

于是,當λ<μ1時,對?n≥1,有

此時方程(2)有無窮多成對出現(xiàn)的解

若μj≤λ<μj+1對某個j成立,那么對所有的n≥j+1,tn總是實根,也就是說μj≤λ<μj+1時方程(2)有無窮多成對出現(xiàn)的解并且可以表示為

圖4和圖5直觀地描述了當λ處于不同范圍時解的曲線以及對應極值之間的關系。

解曲線所對應的幾何圖像如圖6中所示。

圖4 在Ω=(0,1),a,b≥0,a+b>0的前提下,當λ<μ1時的圖像

圖5 在Ω=(0,1),a,b≥0,a+b>0的前提下,當λ∈[μ5,μ6)時的圖像

圖6 在Ω=(0,1),a<0,b≤0的前提下,當λ∈(μ5,μ6]時的圖像

當μ1≤μj≤λ<μj+1≤μr+1時,此時只有n=j+1,…,r才使條件一的實數(shù)t存在,并且j=r時t=0,對考慮j

當λ<μ1時,對n=1,…,r來說滿足條件一的非零實數(shù)t都存在,此時方程(2)有r對非平凡解,此時的解可以表述為:

當μj<λ≤μj+1對某個j≥1成立時,此時對n=1,…,j,條件二總成立,也就是說滿足條件二的非零實數(shù)t總存在,此時方程(2)有j對非平凡解,此時的解可以表述為:

當λ≤μ1時,與條件二構成矛盾關系,滿足條件二的實數(shù)t不存在;

圖7 在Ω=(0,1),a=0,b<0的前提下,當λ∈(μ7,μ8]時的圖像

當λ≤μ1時,與μn<λ矛盾,從而滿足條件二的實數(shù)t不存在;

當μj≤λ<μj+1對某個j成立時對n=j+1,2,…,∞,n≠i,條件一都成立,方程(2)有無窮多解形如

當λ<μr時,對n=r+1,…,∞都滿足μn>λ,從而滿足條件二的實數(shù)t總存在,此時對任意的n=r+1,…,∞,n≠i,條件一都成立,方程(2)有無窮多解可以表示為

當μr≤μj≤λ<μj+1對某個j成立時,對n=j+1,…,∞都滿足μn>λ,從而滿足條件二的實數(shù)t總存在,此時對任意的n=j+1,…,∞,n≠i,條件一都成立,方程(2)有無窮多解可表示為

3 總結與分析

文中討論含有函數(shù)型積分,函數(shù)梯度型積分以及參數(shù)型三種混合系數(shù)下的Schr?dinger方程,利用代數(shù)分析技巧羅列方程的解并給出相應的數(shù)值圖像。事實上,從方程自身而言,可以分為三種:

(ⅰ) 當b=0時,如果a=0,則存在i使得λ=μi便保證了有無窮多解,任意i都滿足λ≠μi便找不出非平凡解;如果a<0,則根據μi序列無窮正的特征,得到了非平凡解只有有限個,甚至可能沒有;而a>0時也根據μi序列無窮正的特征,得到了非平凡解數(shù)量的無窮個。

對于文中羅列的解,已經是方程(2)的所有解,雖然這看起來不可思議,但只要利用反證法,如果方程(2)還存在不同于文中所提及的其他解u(x),那么解u(x)的給定便相應地決定了某個常數(shù)

結合譜理論立馬便知道Λ一定是某個特征值。這樣便得出矛盾。由于證明矛盾的過程僅僅是利用反證法將證明過程中的情形(ⅰ)至(ⅴ)重述了一遍,因此這里便不再贅述。