吳金明 劉 釗

1(上海工程技術(shù)大學(xué)數(shù)理與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 上海 201620) 2(滄州師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 河北 滄州 061001)

0 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,投資越來(lái)越引起國(guó)家和消費(fèi)者們的重視,故成為了經(jīng)濟(jì)發(fā)展和生活的一部分。而基于Markowitz均值方差理論[1]的經(jīng)典投資組合選擇方法,存在著需要假設(shè)分布和事后預(yù)測(cè)的問(wèn)題,故無(wú)法適應(yīng)現(xiàn)在投資市場(chǎng)瞬息萬(wàn)變的發(fā)展形勢(shì)和大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)據(jù)的快速更迭。而源自Kelly[2]投資理論的在線投資組合選擇方法,具有不假設(shè)數(shù)據(jù)分布、迭代更新的優(yōu)勢(shì),可以更好地適應(yīng)當(dāng)下金融市場(chǎng)的發(fā)展趨勢(shì)。

經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展,在線投資組合選擇策略體系基本形成,大體可分為五大類,分別為:基準(zhǔn)類策略、跟隨贏家類策略、跟隨輸家類策略、模型匹配類策略、元學(xué)習(xí)類策略[3]。其中最具有代表性的一類策略就是跟隨輸家策略,體現(xiàn)的是一種“追跌殺漲”的投資理念,又因?yàn)槠渫ㄟ^(guò)捕捉并利用投資市場(chǎng)中的反轉(zhuǎn)現(xiàn)象而獲取收益,也被稱為反轉(zhuǎn)類策略[4]。此外,學(xué)者們對(duì)策略相關(guān)的交易成本[5-6]、邊信息[7]、集成方法[8]等問(wèn)題也進(jìn)行了廣泛研究。

現(xiàn)有的反轉(zhuǎn)類策略[9-13]在一些公開數(shù)據(jù)集上取得了較好的表現(xiàn),但是仍然存在一些不足。主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面:(1) 多數(shù)策略使用了靜態(tài)模型,沒有充分考慮金融市場(chǎng)的非平穩(wěn)特征[14-15];(2) 多數(shù)策略僅利用了市場(chǎng)的反轉(zhuǎn)效應(yīng),卻很少結(jié)合動(dòng)量效應(yīng)來(lái)挖掘市場(chǎng)的潛力。

針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題,本文將動(dòng)態(tài)移動(dòng)平均模型與PA算法、動(dòng)量效應(yīng)相結(jié)合,提出帶有動(dòng)量效應(yīng)的在線動(dòng)態(tài)移動(dòng)平均反轉(zhuǎn)(Online Dynamic Moving Average Reversion with Momentum Effect,M-ODMAR)策略。為了驗(yàn)證策略的改進(jìn)效果,本文在四個(gè)公開的經(jīng)典數(shù)據(jù)集上,對(duì)包含本文策略在內(nèi)的十種策略實(shí)施數(shù)值實(shí)驗(yàn),并給出分析結(jié)果。實(shí)證結(jié)果顯示本文提出的帶有動(dòng)量效應(yīng)的在線動(dòng)態(tài)移動(dòng)平均反轉(zhuǎn)策略可以獲得更高的累積收益。

1 相關(guān)工作

反轉(zhuǎn)效應(yīng)與動(dòng)量效應(yīng)都是金融異象的具體表現(xiàn)形式,二者的存在是對(duì)市場(chǎng)的有效性假設(shè)的巨大沖擊。其中,對(duì)于反轉(zhuǎn)效應(yīng)的探索是在線投資組合選擇領(lǐng)域研究的重點(diǎn)之一,并且學(xué)者們?nèi)〉昧艘幌盗袃?yōu)異的研究成果。下面簡(jiǎn)單介紹相關(guān)領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀,詳情可參考文獻(xiàn)[4,9-12,15-20]。

1.1 反轉(zhuǎn)類策略研究現(xiàn)狀

Borodin等[9]提出了反相關(guān)(Anti-Correlation,Anticor)策略,為了利用均值回歸特性,其關(guān)注于正滯后交叉相關(guān)和負(fù)自相關(guān)的一致性,也就是使用相關(guān)系數(shù)來(lái)描述反轉(zhuǎn)效應(yīng),與同期的其他策略相比,其在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中的表現(xiàn)提高明顯,同時(shí)開啟了反轉(zhuǎn)類策略的研究大門。Li等[10]提出了被動(dòng)主動(dòng)均值反轉(zhuǎn)(Passive Aggressive Mean Reversion,PAMR)策略,其損失函數(shù)的設(shè)計(jì)思想是:如果根據(jù)上期相對(duì)價(jià)格所計(jì)算出來(lái)的收益比閾值大,那么損失函數(shù)值就會(huì)以線性的速度增加;否則損失為零。Li等[11]提出了置信加權(quán)均值反轉(zhuǎn)(Confidence Weighted Mean Reversion,CWMR)策略,假設(shè)每期的投資組合向量都服從某個(gè)多元高斯分布,每次迭代,先要重新估計(jì)其均值向量和協(xié)方差矩陣,然后從分布中獲得投資組合權(quán)重。Li等[12]提出了在線移動(dòng)平均反轉(zhuǎn)(OnLine Moving Average Reversion,OLMAR)策略,使用了簡(jiǎn)單移動(dòng)平均和指數(shù)平滑兩種方法預(yù)測(cè)價(jià)格,實(shí)際上是針對(duì)PAMR策略的多周期改進(jìn),是一種多周期的均值反轉(zhuǎn)策略。Huang等[13]提出了魯棒中位數(shù)反轉(zhuǎn)(Robust Median Reversion,RMR)策略,通過(guò)魯棒的L1中位數(shù)估計(jì)器去處理噪聲和異常值,該策略表現(xiàn)出較好的魯棒性,解決了數(shù)據(jù)中包含異常值的問(wèn)題。郁順昌等[4]提出了在線自回歸移動(dòng)平均反轉(zhuǎn)(OnLine Autoregressive moving average Reversion,OLAR)策略,構(gòu)建了ARIMA模型來(lái)預(yù)測(cè)價(jià)格并且使用在線算法對(duì)其求解,為處理異常值和非平穩(wěn)性問(wèn)題給出了新的解決方式。

1.2 動(dòng)量效應(yīng)研究現(xiàn)狀

已有反轉(zhuǎn)類策略在累積收益上的表現(xiàn)得到了顯著的提升,但很少有文獻(xiàn)將動(dòng)量效應(yīng)對(duì)反轉(zhuǎn)策略的影響納入到考慮范圍。動(dòng)量效應(yīng)是指股票未來(lái)的價(jià)格走向與歷史趨勢(shì)存在正相關(guān)的現(xiàn)象,在有些文獻(xiàn)中也被稱為價(jià)格慣性。對(duì)于動(dòng)量效應(yīng)與趨勢(shì)效應(yīng)的關(guān)系,有研究表明,價(jià)格慣性和價(jià)格反轉(zhuǎn)往往同時(shí)存在于金融市場(chǎng)之中,并且二者有著互為因果、相互融合的關(guān)系[16]。

對(duì)于動(dòng)量效應(yīng)的探索主要分為兩種角度。(1) 根據(jù)動(dòng)量效應(yīng)的特點(diǎn)來(lái)構(gòu)建投資組合選擇策略,跟隨贏家類策略[17-19]即為此視角。該類策略直接利用上一期的價(jià)格進(jìn)行投資組合選擇,隱含性地假設(shè)了本期價(jià)格與上一期的價(jià)格相同,但沒有對(duì)動(dòng)量效應(yīng)進(jìn)行顯式的表述。由于該類策略在實(shí)驗(yàn)效果上普遍差于反轉(zhuǎn)類策略,也不是本文的研究重點(diǎn),故這里不作介紹。(2) 顯式的量化動(dòng)量效應(yīng)。Hyndman等[20]提出使用二次指數(shù)移動(dòng)平均方法預(yù)測(cè)時(shí)間序列可以同時(shí)保留平滑后的值與趨勢(shì),而一次指數(shù)平滑卻無(wú)法包含趨勢(shì)信息。丁成[21]借鑒業(yè)內(nèi)使用趨勢(shì)線來(lái)衡量走勢(shì)的方法,使用線性回歸的斜率值來(lái)量化動(dòng)量效應(yīng)并與PA算法結(jié)合,該方式顯著提升了策略的累積收益。

1.3 問(wèn)題與解決

綜合上述兩類文獻(xiàn)來(lái)看,現(xiàn)存的反轉(zhuǎn)類策略多使用靜態(tài)模型進(jìn)行價(jià)格預(yù)測(cè),無(wú)法解決金融市場(chǎng)的非平穩(wěn)性問(wèn)題,并且很少有反轉(zhuǎn)策略會(huì)深入考慮動(dòng)量效應(yīng)對(duì)其的影響,而針對(duì)動(dòng)量效應(yīng)量化問(wèn)題的探索已有的研究成果也是為數(shù)不多。針對(duì)這些問(wèn)題,本文使用在線算法對(duì)已有模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)更新以應(yīng)對(duì)非平穩(wěn)性問(wèn)題。同時(shí),針對(duì)在線投資組合選擇問(wèn)題提出一種新的動(dòng)量效應(yīng)的量化方法,以此提高投資的累積收益。

2 問(wèn)題定義

3 模型思想

反轉(zhuǎn)類策略一般分為兩步實(shí)現(xiàn):第一步,預(yù)測(cè)下一期股票的相對(duì)價(jià)格;第二步,根據(jù)所預(yù)測(cè)的相對(duì)價(jià)格選擇投資組合。

3.1 靜態(tài)模型的動(dòng)態(tài)更新

OLMAR策略[10]針對(duì)比值數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)表達(dá)式如下:

(1)

3.2 量化動(dòng)量效應(yīng)

幾乎所有均值反轉(zhuǎn)類策略均沒有考慮動(dòng)量效應(yīng)對(duì)投資的影響。為解決此問(wèn)題,本文使用L1中位數(shù)來(lái)提取動(dòng)量效應(yīng),并用于進(jìn)一步提高已發(fā)揮了反轉(zhuǎn)效應(yīng)優(yōu)勢(shì)的投資策略的累積收益。該方法的詳細(xì)含義如下:

(2)

4 算法與策略設(shè)計(jì)

本文在OLMAR策略的基礎(chǔ)上引入ONS算法得到了具有動(dòng)態(tài)屬性的ODMAR策略,繼而利用PA算法選取投資組合,最后借助動(dòng)量效應(yīng)來(lái)進(jìn)一步優(yōu)化所選的投資組合,即可得到最終的M-ODMAR策略。

4.1 ONS算法簡(jiǎn)介及其在預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

(3)

第t+1的參數(shù)γt+1通過(guò)使用ONS算法求解目標(biāo)函數(shù)獲得,公式如下:

(4)

式中:第一項(xiàng)為累積誤差,表示預(yù)測(cè)的總體誤差;第二項(xiàng)為正則項(xiàng),主要作用是為了防止過(guò)擬合。然后對(duì)式(4)進(jìn)行泰勒展開,并進(jìn)一步化簡(jiǎn)后,參數(shù)向量γ的更新公式[22]如下:

(5)

因?yàn)檫@種更新方式可以大大減少矩陣逆的計(jì)算時(shí)間,其所花費(fèi)的時(shí)間僅為O(n2),其中n為矩陣的階數(shù)。ODMAR策略的價(jià)格預(yù)測(cè)過(guò)程見算法1。

算法1ODMAR(ω,η)

輸入:窗口大小ω,學(xué)習(xí)率η,初始矩陣A0=ηIω。

1.FORt=1TOnDO

4.接收實(shí)際價(jià)格xt并計(jì)算損失:lt(γt);

8.ENDFOR

4.2 PA算法在投資組合選擇中的應(yīng)用

首先,利用PA算法構(gòu)造投資組合選擇模型[11]:

(6)

然后,利用拉格朗日乘子法對(duì)式(6)求解[12]:

綜合上述兩種情況,可得:

(7)

至此,得到了完整的PA算法,具體步驟見算法2。由于我們不考慮賣空的情況,因此要在每次得到投資組合后將其投影到Δm空間,其步驟會(huì)在后面的策略中體現(xiàn)。

輸出:當(dāng)期投資組合bt+1。

4.3 基于動(dòng)量效應(yīng)調(diào)整投資組合

此時(shí),再考慮到在線投資組合的非負(fù)約束問(wèn)題,為了確保投資組合是非負(fù)的,最終要將新得到的投資組合投影到Δm空間中。規(guī)則如下:

然后,本文使用上述算法并結(jié)合在線投資組合選擇的通用框架,設(shè)計(jì)了ODMAR和M-ODMAR這兩種投資組合選擇策略。

策略1ODMAR投資組合選擇策略

輸出:累積收益Sn。

2.FORt=1TOnDO

3.獲取股票相對(duì)價(jià)格:xt;

5.預(yù)測(cè)下一個(gè)相對(duì)價(jià)格向量:

6.更新投資組合:

7.將投資組合投影到可行域:

8.ENDFOR

策略2M-ODMAR投資組合選擇策略

輸出:累積收益Sn。

2.FORt=1TOnDO

3.獲取股票相對(duì)價(jià)格:xt;

5.預(yù)測(cè)下一個(gè)相對(duì)價(jià)格向量:

6.更新投資組合:

7.計(jì)算動(dòng)量效應(yīng):

8.調(diào)整投資組合:

9.將投資組合投影到可行域:

10.ENDFOR

5 實(shí)證研究

本節(jié)將通過(guò)與八種現(xiàn)有的策略[4,9-13]進(jìn)行對(duì)比,并使用累積收益的高低作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),從而說(shuō)明ODMAR策略和M-ODMAR策略在投資選擇決策上的優(yōu)勢(shì)。五個(gè)追蹤低收益策略[9-13]在相關(guān)工作中已有介紹,三個(gè)基準(zhǔn)策略[4]具體如下:

Market策略,按照平均的投資權(quán)重購(gòu)買股票,并一直持有到期末,在此期間不做任何調(diào)整。最優(yōu)股票(Best Stock)策略,把所有資產(chǎn)投入到在事后看來(lái)最優(yōu)的那只股票上去,并一直持有到期末。最優(yōu)定常再調(diào)整(Best Constant Rebalanced Portfolio, BCRP)策略,按照事后最優(yōu)的比重來(lái)投資,過(guò)程中相對(duì)價(jià)格的變化會(huì)使投資比重發(fā)生改變,故每期都要將比重重新調(diào)整到最開始的狀態(tài)。

5.1 數(shù)據(jù)集及實(shí)驗(yàn)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)中采用了四個(gè)經(jīng)典的公開數(shù)據(jù)集,均來(lái)自真實(shí)的市場(chǎng)數(shù)據(jù),具有很強(qiáng)的可對(duì)比性和實(shí)際性,即NYSE(O)、NYSE(N)、DJIA和MSCI。具體信息如表1所示。參考已有文獻(xiàn)[4],本文使用了統(tǒng)一的參數(shù)ε=10、ω=5,這種參數(shù)設(shè)置排除了參數(shù)的影響,更能體現(xiàn)策略差異在不同環(huán)境中的表現(xiàn)情況。

表1 真實(shí)市場(chǎng)的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)集

5.2 累積收益分析

表2展現(xiàn)了十種不同投資策略在四個(gè)數(shù)據(jù)集上的累積收益。總體來(lái)看,與其他八種策略相比,ODMAR策略和M-ODMAR策略都表現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢(shì),分別在NYSE(O)和NYSE(N)上的表現(xiàn)最為突出。

表2 四個(gè)數(shù)據(jù)集上十種策略的累積收益

具體來(lái)看,ODMAR策略在NYSE(O)、DJIA和MSCI上的累積收益高于OLMAR策略,分別提高了203.7%、46.9%和66.1%。該策略提升效果顯著并且在這三個(gè)數(shù)據(jù)集上都得到了所有策略中最優(yōu)的成績(jī)。但在NYSE(N)上表現(xiàn)要差于RMR策略和OLMAR策略。這一現(xiàn)象表明,參數(shù)的動(dòng)態(tài)更新在多數(shù)數(shù)據(jù)集上具有很好的提升效果,但在NYSE(N)數(shù)據(jù)集上的表現(xiàn)卻不夠理想。再來(lái)比較本文提出的ODMAR與M-ODMAR兩個(gè)策略,相對(duì)于ODMAR而言,M-ODMAR策略在NYSE(O)、NYSE(N)和MSCI上的累積收益均得到了提高,分別為11.9%、60.7%和18.9%,其中在NYSE(N)上的提高最明顯。雖然動(dòng)量效應(yīng)的加入沒有使DJIA上的累積收益得到提升,但是對(duì)于其他三個(gè)數(shù)據(jù)集的累積收益提升確實(shí)起到了促進(jìn)作用,尤其是對(duì)NYSE(N)來(lái)說(shuō)?？傊?M-ODMAR策略在每個(gè)數(shù)據(jù)集上的累積收益都達(dá)到了十種策略中的最高值。這一現(xiàn)象表明,增加對(duì)動(dòng)量效應(yīng)的考慮,有助于反轉(zhuǎn)類策略累積收益的增加。更重要的是,動(dòng)量效應(yīng)的加入解決了ODMAR策略在一些數(shù)據(jù)集上表現(xiàn)不佳的問(wèn)題,二者的結(jié)合具有重要的意義。

5.3 交易成本分析

在現(xiàn)實(shí)生活中,交易成本是投資者必然要承擔(dān)的成本,而在線投資組合選擇由于具有多次投資的特性,故對(duì)于交易成本則更為敏感。雖然交易成本的種類多種多樣但是最為主要的形式就是比例成本,故本文將比例交易成本作為研究對(duì)象,分析了在不同比例下累積收益的變化情況。圖1到圖4描繪了在四個(gè)經(jīng)典數(shù)據(jù)集上,六種策略隨著交易成本率的遞增其累積收益的變化情況。

圖1 策略在NYSE(O)數(shù)據(jù)集上的交易成本分析

圖2 策略在NYSE(N)數(shù)據(jù)集上的交易成本分析

圖3 策略在DJIA數(shù)據(jù)集上的交易成本分析

圖4 策略在MSCI數(shù)據(jù)集上的交易成本分析

首先,在0%至1%的交易成本率之間,ODMAR策略與M-OMDAR策略的累積收益曲線一直位于OLMAR策略與RMR策略之上,這說(shuō)明ODMAR與M-OMDAR在存在交易成本的情況下仍然有著更高的盈利能力;其次,本文策略的累積收益與其他策略相比差距明顯,這說(shuō)明本文策略有著較強(qiáng)的交易成本承受能力;然而更有趣的是,ODMAR策略在NYSE(N)數(shù)據(jù)上0交易成本時(shí)的累積收益均低于其他兩個(gè)策略,但是隨著交易成本的增加其累積收益快速超過(guò)了其他策略并且與M-OMDAR策略一起不斷拉大與其他兩個(gè)反轉(zhuǎn)策略的差距,這說(shuō)明本文策略受交易成本影響的程度更小。此外,在任意交易成本率下,M-OMDAR比OMDAR獲得更高的累積收益,說(shuō)明了動(dòng)量效應(yīng)對(duì)于累積收益的影響在交易成本存在的情況下仍是有效的。

6 結(jié) 語(yǔ)

本文提出基于動(dòng)量效應(yīng)的動(dòng)態(tài)移動(dòng)平均反轉(zhuǎn)的投資組合選擇策略——M-ODMAR策略。首先,在OLMAR的基礎(chǔ)上引入ONS算法,得到具有動(dòng)態(tài)調(diào)整特征的ODMAR策略,并取得實(shí)際性的效果。然后,在ODMAR的基礎(chǔ)上加入動(dòng)量效應(yīng),同時(shí)利用金融市場(chǎng)中的反轉(zhuǎn)效應(yīng)和動(dòng)量效應(yīng),使得M-ODMAR策略的累積收益進(jìn)一步提升。此外,ODMAR和M-ODMAR兩個(gè)策略在存在交易成本的市場(chǎng)中,累積收益的相對(duì)優(yōu)勢(shì)有擴(kuò)大的趨勢(shì)。上述結(jié)果體現(xiàn)了兩點(diǎn):(1) 利用動(dòng)態(tài)模型可以更好地處理金融數(shù)據(jù)并有效提高累積收益;(2) 在研究反轉(zhuǎn)效應(yīng)的同時(shí)加入對(duì)動(dòng)量效應(yīng)的考慮,可以更好地利用金融市場(chǎng)中的信息,為反轉(zhuǎn)效應(yīng)的研究提供一個(gè)新的思路和方向。但是,本文研究仍然存在一些不足,例如,對(duì)具有非平穩(wěn)性的金融數(shù)據(jù)探索仍然不充分,并且學(xué)習(xí)率也需要事前確定,沒有完全體現(xiàn)策略的動(dòng)態(tài)性。因此,可以借鑒OLAR模型中的差分技術(shù)來(lái)進(jìn)行擬合,并且引入?yún)?shù)的動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)技術(shù)來(lái)進(jìn)一步體現(xiàn)動(dòng)態(tài)屬性以應(yīng)對(duì)千變?nèi)f化的金融市場(chǎng),這將是我們今后的研究方向。