覃祖和，秦為民

(1. 廣西機電職業(yè)技術學院,南寧市,530007; 2. 汽車仿真與控制國家重點實驗室,長春市,130022)

0 引言

1971年,Chua[1]在變量組合完備性原理的基礎上,通過分析電荷與磁通量之間的函數(shù)關系,成功預測了憶阻元件的存在,并在1976年將其分為流控型憶阻器和壓控型憶阻器。2009年,Di等[2-3]將記憶電阻的概念拓展到記憶電容和記憶電感中。因其獨有的儲能特點,含有記憶功能的電路元件被廣泛應用于混沌電路系統(tǒng)的設計中。2008年,Strukov等[4]在Chua電路中使用分段線性憶阻器代替Chua二極管,實現(xiàn)了憶阻混沌振蕩器。在含記憶元件的混沌電路設計方面,大多數(shù)學者所設計的復合憶阻電路主要參考一些經(jīng)典電路,如Chua電路、Wien氏橋震蕩電路等[5-7],由于這些電路的具體實現(xiàn)過程較為復雜,簡單混沌電路的設計就顯得尤為重要:2013年,Bi-Rong[8]提出了使用壓控憶阻的最簡單的混沌電路;2016年,Mou等[9]提出了一個包含兩個電容和三個不同吸引子的混沌振蕩器;2019年,Wang等[10]設計了一種含流控記憶電容的混沌振蕩器。上述的簡單混沌系統(tǒng)的建立只包含一個存儲元件,沒有關于簡單混沌電路的文章提出一個兼容系統(tǒng)可以代表不同的混沌電路。

在拖拉機電路故障檢測領域,現(xiàn)有的拖拉機發(fā)動機故障檢測方式為故障特征的識別或整機下線進行電路檢測[11],兩種方式都不能及時地對電路中可能出現(xiàn)的故障進行預警,只能夠在故障發(fā)生時或是設備停止運行時對故障電路進行檢測,因此提出一種能夠在故障未發(fā)生時的故障預警系統(tǒng)顯得尤為重要。

本文提出了一種可兼容串并聯(lián)的小型含憶阻原件的混沌電路系統(tǒng),并對一類并聯(lián)壓控型混沌電路進行了具體混沌分析。分析計算了新型電路系統(tǒng)的分岔方式,利用混沌系統(tǒng)對參數(shù)的敏感性,首次將混沌系統(tǒng)的時滯Hopf分岔應用于拖拉機發(fā)動機的電路故障檢測中,給出了具體的檢測流程圖和檢測方法,為履帶式拖拉機電路故障檢測提供了一種新的思路和方法。

1 含多個憶阻原件的小型混沌電路系統(tǒng)的建立

本文自主設計了一類含多個憶阻原件的小型混沌電路系統(tǒng),如圖1所示。

(a) 基于記憶電阻器和記憶電容的并聯(lián)電壓控制電路

(b) 基于記憶電阻和記憶電感的串聯(lián)

綜合圖1分析可得到如下方程。

(1)

式中:k——系統(tǒng)參數(shù);

z——圖1(a)和圖2(b)中通過記憶電容或記憶電感的電荷或磁通。

(a) w-z-x平面相圖

(b) x-y-z平面相圖

G(·),H(·),C(u)能夠通過式(2)、式(3)[12]表示。

A(t)=(m+nσ)B(t)=C(σ)B(t)

(2)

x=G(x,y,t)y

(3)

式中:x——記憶元件的輸出;

y——記憶元件的輸入;

G(·)、H(·)——記憶元件的多樣性。

在式(4)中,本文定義了一類流控型記憶元件和壓控型記憶元件。

式(2)能夠通過式(4)整理得到。

i(t)=(α+βσ1)φ(t)

u(t)=(γ+δσ2)q(t)

(4)

式中:α,β,γ,δ——憶阻元件的系數(shù);

σ1,σ2——磁通和電荷在一定時間內(nèi)的積分。

將式(2)、式(3)代入式(1)能夠得到如下系統(tǒng)。

(5)

(6)

在式(6)中,令a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4,β=1,d=2,r=0.01,α=1,u=43并通過仿真可以得到圖2,在特定的參數(shù)條件下,所構建的電路系統(tǒng)能夠產(chǎn)生混沌吸引子。

2 系統(tǒng)的混沌特性分析

2.1 系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性分析

令式(6)左邊為0,并通過簡單計算不難得到系統(tǒng)的平衡點為M(0,0,0,u),在系統(tǒng)平衡點處計算能夠得到系統(tǒng)的雅克比矩陣。

其對應的特征方程為

|λE-J*|=λ4+m1λ3+m2λ2+m3λ=0

其中,m1=d-b(α+βu),m2=(r-bd)(α+βu),m3=rd(α+βu),根據(jù)勞斯判據(jù)[13],能夠得到式(6)的穩(wěn)定性條件。

當a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4,β=1,d=2,r=0.01,α=1時,有

經(jīng)過分析可以認為,系統(tǒng)在任意平衡點上(u>1)都難以滿足上述穩(wěn)定條件,即系統(tǒng)(6)在任意平衡點上都處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

2.2 系統(tǒng)混沌特性分析

設系統(tǒng)參數(shù)a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4,β=1,d=2,α=1,u=43,通過Matlab仿真計算得到系統(tǒng)的四組混沌序列在參數(shù)r變化條件下的李雅普諾夫指數(shù)圖像(圖3(a))。本文所建立的電路混沌系統(tǒng)一般具有兩個大于0的李雅普諾夫指數(shù),因此能夠判定本文所建立的混沌系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng)。在圖3(b)中,通過仿真計算得到了在參數(shù)r變化的條件下,混沌序列z的分岔圖像,仿真結(jié)果表明:系統(tǒng)在參數(shù)r變化時,會發(fā)生分岔現(xiàn)象,并產(chǎn)生混沌。本文通過改變系統(tǒng)參數(shù),分析了在參數(shù)a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4不變的條件下,系統(tǒng)的7種不同吸引子狀態(tài),并通過計算得到了每種狀態(tài)對應不同混沌序列的李雅普諾夫指數(shù),如表1所示。

表1 系統(tǒng)七種不同類型的吸引子Tab. 1 System of seven different types of attractors

(a) 李雅普諾夫指數(shù)圖像

(b) 分岔圖像

2.3 系統(tǒng)在時滯條件下的分岔情況分析

在平衡點為M處將系統(tǒng)線性化,并在y序列中加入時滯項能夠由式(6)得到式(7)。

(7)

式中:τ——新引入的時滯變量,τ>0。

式(7)在平衡點M處的雅克比矩陣及其對應特征方程如式(8)、式(9)所示。

(8)

λ4-αbλ3+rαλ2+(dλ3-αbdλ2+rαdλ)e-λτ=0

(9)

本文將規(guī)范型定理和Hopf分岔理論[14]相結(jié)合,基于文獻[15]的計算方法計算得到了當參數(shù)a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4,β=1,d=2,r=0.01,α=1,u=43時系統(tǒng)的時滯分岔點τ=τ0=0.785 4,并通過仿真計算認為:系統(tǒng)在時滯分岔點附近發(fā)生了超臨界Hopf分岔,且當時滯參量τ的值持續(xù)增加時,系統(tǒng)吸引子狀態(tài)會由穩(wěn)定變?yōu)榛煦?τ>1.57)。圖4通過Matlab仿真計算給出了不同時滯條件下的系統(tǒng)吸引子圖像。圖4(a)為系統(tǒng)在時滯分岔點時吸引子的狀態(tài),此時系統(tǒng)在時滯分岔點處產(chǎn)生極限環(huán);圖4(b)為τ=1時系統(tǒng)吸引子的狀態(tài),此時系統(tǒng)仍處于穩(wěn)定狀態(tài),但極限環(huán)消失;圖4(c)為τ=1.57時系統(tǒng)吸引子的狀態(tài),此時系統(tǒng)狀態(tài)由穩(wěn)定變?yōu)榛煦?。通過圖4不難分析認為,隨著時滯參量τ的增加,系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生了改變。

(a) τ=0.785 4

(b) τ=1

(c) τ=1.57

3 混沌電路系統(tǒng)在履帶式拖拉機電路故障檢測方向的應用

履帶式挖掘機拖拉機的電路故障主要來源于發(fā)動機內(nèi)部控制單元的電路故障[16-17],因履帶式拖拉機發(fā)動機內(nèi)部的故障種類較為復雜,無法從發(fā)動機的內(nèi)部進行故障的檢測,因此只能根據(jù)外部電信號的變化來判斷是否有故障產(chǎn)生。本文利用時滯混沌電路系統(tǒng)對時滯參量變化的敏感性,根據(jù)電磁閥驅(qū)動電路中反饋信號的強弱,來對履帶式拖拉機發(fā)動機內(nèi)部進行短路故障檢測,并能夠在所設定的范圍內(nèi)做出有效的故障預警。

令故障檢測電路系統(tǒng)中的時滯參量τ=τ0(即系統(tǒng)處于Hopf分岔狀態(tài)并產(chǎn)生極限環(huán)),記錄系統(tǒng)任意時間序列在時滯參量變化條件下,其李雅普諾夫指數(shù)首次由負變正時,系統(tǒng)當前的時滯參數(shù)(分別記為τm,τn)。令電磁閥驅(qū)動電路中反饋信號做歸一化處理后的值,作為混沌電路系統(tǒng)中的時滯參數(shù),并將τm、τn分別設定為其的上下限,檢測電路中時滯電路設計的部分可以采用電阻匹配的T型LCL濾波器來完成時滯[18],時滯參量的值用式(10)表示。

(10)

其中n表示時滯電路中T型LCL濾波器的個數(shù),通過調(diào)節(jié)可變電感L和可變電容C的值來改變時滯參量的值。當反饋信號的值偏離了標準值但仍在可控范圍內(nèi)時(τm<τ<τn),系統(tǒng)發(fā)出故障預警并根據(jù)預警等級提示檢修;當反饋信號的值越過τm、τn時,會使得電路系統(tǒng)由穩(wěn)定狀態(tài)變至混沌狀態(tài)(即對應序列李雅普諾夫指數(shù)大于0),并根據(jù)反饋信號的值判斷履帶式拖拉機發(fā)動機內(nèi)部是否存在故障,并發(fā)出相應的故障警報,混沌電路部分故障檢測流程圖如圖5所示。

圖5 混沌電路部分故障檢測流程圖

圖6展示了基于混沌電路的履帶式拖拉機電路故障檢測原理圖。以葉香美等介紹的挖掘機電子控制單元驅(qū)動電路為例,將其輸出信號先做歸一化處理后作為反饋信號輸入履帶式拖拉機故障檢測電路。

圖6 履帶式拖拉機電路故障檢測原理圖

R1,R2,C1和R3,R4,C2為兩組濾波電路,將由拖拉機電子控制單元驅(qū)動電路得到的反饋信號進過濾波后送入運算放大器U1,并將數(shù)值處理后的信號分別送入比較器U2、U3以及時滯混沌電路中,首先根據(jù)邏輯運算電路判斷反饋信號是否在所設定的范圍區(qū)間內(nèi)(τm,τn),若反饋信號值超過所設定區(qū)間則觸發(fā)故障警報。若反饋信號值符合所設定范圍,則根據(jù)時滯混沌電路系統(tǒng)當前吸引子狀態(tài)(序列李雅普霍夫指數(shù))判斷是否觸發(fā)相應預警,此處還可以根據(jù)序列李雅普諾夫指數(shù)的具體數(shù)值,通過設置對應的不同時滯參量,來實現(xiàn)對發(fā)動機電路系統(tǒng)不同級別的故障預警。

4 結(jié)論

1) 研究并建立了一類含多個憶阻元件的新型且易于實現(xiàn)的混沌電路系統(tǒng),具體分析得到了新建立系統(tǒng)的非線性方程,計算得到了電路系統(tǒng)的混沌特性并通過仿真驗證了系統(tǒng)在不同時滯條件下的穩(wěn)定性,通過仿真分析表明,系統(tǒng)在時滯分岔點附近發(fā)生了超臨界Hopf分岔,且當時滯參量τ的值持續(xù)增加時,系統(tǒng)吸引子狀態(tài)會由穩(wěn)定變?yōu)榛煦?τ>1.57)。

2) 將電路混沌系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象應用于履帶式拖拉機發(fā)動機的電路故障檢測?；诨煦珉娐匪⒌穆膸酵侠瓩C電路故障檢測系統(tǒng)能夠在實現(xiàn)故障警報的基礎上,通過調(diào)整電路參數(shù)設置故障預警的范圍(τm,τn),同時基于混沌系統(tǒng)對時滯參數(shù)的敏感性設置預警等級,最后通過故障檢測流程圖和履帶式拖拉機電路故障檢測原理圖的可行性分析可以認為,混沌系統(tǒng)能夠應用于履帶式拖拉機發(fā)動機的電路故障檢測。