廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

一、題目呈現(xiàn)

題目(2022 年高考天津卷第20 題) 已知函數(shù)f(x) =ex?asinx,.

(1)求函數(shù)y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程;

(2)若y=f(x)和有y=g(x)公共點,

(ⅰ)當(dāng)a=0 時,求b的取值范圍;

(ⅱ)求證:a2+b2>e.

試題的知識方面主要考查導(dǎo)數(shù)的運算,函數(shù)的切線方程,不等式等相關(guān)問題;思想方面主要考查轉(zhuǎn)化與化歸,方程與函數(shù)等思想. 綜合考查考生對函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識的掌握和理解,推理論證及運算等方面的能力.

試題分步設(shè)問,逐步推進(jìn),試題的問題(1),問題(2)(ⅰ)較為簡單,本文不作討論;試題的問題(2)(ⅱ)的綜合性較強,較好地達(dá)到了考查目的. 試題的思維過程體現(xiàn)了能力立意的命題思想,對于考生運用所學(xué)知識,尋找合理的解題策略以及推理論證能力有較高的要求. 本題層次分明,區(qū)分度高,作為試卷的壓軸題,是一道能突出選拔學(xué)生功能的好題.

下面從不同視角,給出問題(2)(ⅱ)的幾種證法.

二、證法探析

分析因為y=f(x) 和有y=g(x) 公共點, 故方程有實數(shù)解,顯然x= 0 不是方程的解,所以只需考慮x>0.

視角1: 絕對值不等式與均值不等式

評注證法1主要利用sin2x 0)等. 究其主要原因有三: 首先,此類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以和多項式函數(shù)結(jié)合到一起,體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想;其次,此類函數(shù)能體現(xiàn)微積分的一個思想: 以直代曲,無限逼近;另外,此類函數(shù)與高等數(shù)學(xué)的級數(shù)結(jié)合比較緊密.

視角2: 柯西不等式

評注證法2 與證法3 利用柯西不等式進(jìn)行放縮,思路巧妙,運算量較少,具有直觀、簡捷的特點. 所以在平時的學(xué)習(xí)中要善于鉆研,重視方法的積累和知識的儲備,熟練掌握一些有用的結(jié)論,才有可能縮短思維的長度,提高效率,達(dá)到事半功倍的效果.

視角3: 主元法

評注在處理不等式有關(guān)問題時,若題目中有多個變量,且以x為主元解答較困難時,可以嘗試改變分析問題的角度,重新確立主元,排除參數(shù)的干擾. 這樣往往會有“山窮水盡疑無路,柳暗花明又一村”的豁然開朗之感, 從而可化繁為簡,化難為易.

視角4: 直線方程與點到直線的距離

評注本證法數(shù)形結(jié)合,思路獨特,過程簡捷,明了,令人叫絕. 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用十分廣泛,著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾用一首詩完美的闡述了數(shù)形結(jié)合的價值和本質(zhì),即“數(shù)形本是相倚依,焉能分作兩邊飛. 數(shù)缺形時少直覺,形缺數(shù)時難入微. 數(shù)形結(jié)合百般好, 隔裂分家萬事休. 幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離. ”在運用數(shù)形結(jié)合解題時,要注意“以形助數(shù),以數(shù)解形”,用直觀的幾何反應(yīng)抽象的公式,用精確的代數(shù)規(guī)范幾何圖形.

視角5: 三角換元與輔助角公式

評注本證法利用三角換元,借助三角函數(shù)的輔助角公式與正弦函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮. 證法新穎,能簡化推理和運算過程.

視角6: 反證法與柯西不等式

評注本證法采用反證法,借助柯西不等式,ex>x+1,sin2x

一題一世界,試題的解答分別應(yīng)用均值不等式、柯西不等式、主元法、三角函數(shù)、反證法、數(shù)形結(jié)合等高中核心知識,證法各具特點,各自精彩.“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”,從不同的思維角度分析同一道題目,得到不同的解題方法,一題多解的方式增加了題目涉及的知識廣度,體現(xiàn)了知識的橫向聯(lián)系. 從數(shù)學(xué)知識的角度來看,通過解題發(fā)現(xiàn)知識的相互聯(lián)系,體會知識之間的轉(zhuǎn)化過程,從多角度地思考和發(fā)現(xiàn)問題,從而構(gòu)建知識的網(wǎng)絡(luò)體系. 因此要對典型的題目要深入挖掘,探求試題背后的思想方法,注重一題多解,力求對所學(xué)的知識融會貫通.

三、鏈接高考

縱觀近幾年的高考試卷,函數(shù)不等式的證明是熱門的考點之一,有綜合性強,思維量大,方法繁多,技巧性強等特點,特別是以ex,lnx,sinx(或cosx)為背景的函數(shù)不等式證明,倍受命題者青睞,常作為壓軸題頻頻亮相. 例如:

四、結(jié)語

高考試題是精心之作,每年的高考題在命題角度、題型、難度等方面都進(jìn)行了充分考量,是知識、能力和思想方法的載體,是命題思想、命題理念的程序化展現(xiàn),具有典型性、示范性和權(quán)威性. 高考試題有良好的導(dǎo)向性,要了解高考動向、把握高考脈搏,高考試題的研究分析是重要的路徑. 因此要充分認(rèn)識高考題所蘊含的價值,對典型的高考題要深入挖掘,探求試題背后的思想方法,精學(xué)一題,妙解一類,進(jìn)而形成一個條理化、有序化的高效的認(rèn)知結(jié)構(gòu),從而提煉出數(shù)學(xué)思想與方法,使思維得到發(fā)展.