重慶市長壽中學(401220) 田 鵬

1. 試題呈現(xiàn)

試題(安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2022 年秋季聯(lián)賽第21題)如圖1,A,B為橢圓的左,右頂點,焦距為,點P在橢圓E上,直線PA,PB的斜率之積為.

圖1

(1)求橢圓E的方程;

(2) 已知O為坐標原點,點C(?2,2),直線PC交橢圓E于點M(M,P不重合),直線BM,OC交于點G. 求證:直線AP,AG的斜率之積為定值,并求出該定值.

試題第(1)問考查橢圓方程的求法,屬于基礎知識. 由直線PA,PB的斜率之積為,以及焦距為,不難求得橢圓E的方程為. 第(2)問設計巧妙,結論優(yōu)美,背景豐富. 條件中涉及的點、線位置關系較多,具有一定的綜合性. 能有效考查學生的直觀想象,邏輯推理及數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng). 本文重點探究第(2)問.

2. 解法探究

3. 拓展探究

如果A,B不是橢圓的左、右頂點,而是橢圓上任意關于原點對稱的兩點,結論是否成立? 經(jīng)過研究,有下述定理2.

定理2如圖2, 已知O為坐標原點,橢圓,A,B是橢圓E上關于原點對稱的兩點. 橢圓E在點A處的切線為l,點C是l上的任意一點(異于點A). 點P在橢圓E上,直線PC交橢圓E于點M(M,P不重合). 直線BM,OC交于點G,則直線AP,AG的斜率之積為定值,且AG//PB.

圖2

4. 結語

文章立足于一道模擬試題的解法,挖掘試題背景,并將結論推廣到一般的橢圓和雙曲線中,得到了定理1-3. 在解析幾何的教學過程中,教師要善于啟發(fā)學生運用類比思想和特殊到一般的思想發(fā)現(xiàn)新結論,幫助學生理清試題的來龍去脈,培養(yǎng)學生勇于數(shù)學探索的科學精神,不斷提高學生的數(shù)學綜合能力.