江蘇省常州市宋劍湖高級(jí)中學(xué)(213011) 蔡立艷

山東省鄒平雙語學(xué)校(256200) 姜坤崇

我們知道,實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,它的兩條漸近線互相垂直,其離心率為.等軸雙曲線是特殊的雙曲線,它除了具備一般雙曲線的所有性質(zhì)外,還具有一些特殊的性質(zhì),本文給出筆者探尋的等軸雙曲線的若干有趣性質(zhì)(這些性質(zhì)是非等軸雙曲線所不具有的),以饗讀者.

性質(zhì)1設(shè)F1、F2是等軸雙曲線Γ :x2?y2=a2(a> 0)的兩個(gè)焦點(diǎn),O是Γ 的中心,P是Γ 上的任意一點(diǎn),則|PF1|、|OP|、|PF2|成等比數(shù)列.

證法1如圖1,設(shè)F1(?c,0),, 當(dāng)點(diǎn)P不在Γ實(shí)軸的端點(diǎn)時(shí), 在?PF1O、?POF2中分別使用余弦定理得

圖1

性質(zhì)2設(shè)P是等軸雙曲線Γ:x2?y2=a2(a>0)上的任意一點(diǎn),l1、l2是過Γ 中心O且關(guān)于Γ 的一條漸近線對(duì)稱的兩條定直線,則P到l1、l2的距離的平方差為一定值.

證明如圖2, Γ 的兩條漸近線方程為y=±x. 設(shè)P(x0,y0),則由點(diǎn)P在Γ 上知. 不妨設(shè)l1、l2是關(guān)于直線L:y=x對(duì)稱的兩條定直線,當(dāng)l1、l2不為兩條坐標(biāo)軸時(shí),設(shè)其方程分別為kx?y= 0、x?ky= 0(k為常數(shù),且k?1),則P到l1、l2的距離d1、d2的平方分別為

圖2

當(dāng)l1、l2為兩條坐標(biāo)軸時(shí),由等軸雙曲線的方程知結(jié)論顯然成立.

性質(zhì)3給定等軸雙曲線Γ :x2?y2=a2(a> 0),l1、l2是過Γ 中心O且關(guān)于Γ 的一條漸近線對(duì)稱的兩條定直線,A、B分別是l1、l2上的一點(diǎn),且AB中點(diǎn)P在Γ 上,則|OA|2?|OB|2為一定值.

圖3

性質(zhì)4設(shè)P是等軸雙曲線Γ:x2?y2=a2(a>0)上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),A(?a,0),B(a,0)是Γ 的兩個(gè)頂點(diǎn),PA、PB與y軸的交點(diǎn)分別為C、D,則|PA|·|PC|=|PB|·|PD|.

圖4

性質(zhì)5給定等軸雙曲線Γ:x2?y2=a2(a>0),F是它的一個(gè)焦點(diǎn),過F引互相垂直的兩條弦AB、CD,且AB的兩端點(diǎn)都在F對(duì)應(yīng)的Γ 的同一支上,CD的兩個(gè)端點(diǎn)分別在Γ 的兩支上,則|AB|=|CD|.

性質(zhì)6給定等軸雙曲線Γ:x2?y2=a2(a>0),其中心為O,左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,F是Γ 的右焦點(diǎn),過F作垂直于x軸的直線交Γ 在第一象限于點(diǎn)P,直線A1P與Γ的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M,設(shè)kA2M、kA2P分別為直線A2M、A2P的斜率,則

(1)?OA2M為等腰三角形;

(2)kA2M+kA2P=0;

(3)?PMA2為等腰直角三角形.

圖5

圖6

性質(zhì)7設(shè)AB是等軸雙曲線Γ 過中心O的任意一條弦,P是Γ 上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別交兩條漸近線于點(diǎn)C、E;D、F,則|PC|=|PD|,|PE|=|PF|.

證法1設(shè)等軸雙曲線的方程為Γ:x2?y2=a2(a>0),由Γ 是等軸雙曲線知兩條漸近線方程為y=±x,其斜率分別為1、?1. 如圖7,不妨設(shè)C、D在漸近線l1:y=x上,則E、F在漸近線l2:y= ?x上. 設(shè)P(x,y),則x2?y2=a2.又設(shè)直線AB的方程為y=kx(|k| < 1),則與Γ 的方程聯(lián)立解得

圖7

同理可證|PE|=|PF|.

證法2如圖8,以Γ 的兩條漸近線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)C、D在x軸上,則E、F在y軸上,設(shè)Γ 的方程為xy=m(m>0),P(x,y),則xy=m. 又設(shè)直線AB的方程為y=kx(k>0),則

若設(shè)直線PA、PB的斜率分別為kPA、kPB,則

即kPA= ?kPB, 由此得∠PCD= ∠PDC, ∠PEF=∠PFE, 即?PCD和?PEF均為等腰三角形, 從而|PC|=|PD|,|PE|=|PF|.

說明對(duì)于性質(zhì)7 中的等軸雙曲線問題, 一般是通過建立坐標(biāo)系使其方程為x2?y2=a2(a> 0)(如證法1)來解決,但這樣做對(duì)于此問題不但要使用直線的到角公式,而且整個(gè)解題過程的運(yùn)算量較大. 而以上證法2 另辟蹊徑,以兩條漸近線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系(其雙曲線的方程為xy=m(m> 0))來進(jìn)行,則不僅方法新穎巧妙而且其證明過程相對(duì)于證法1 大為化簡(jiǎn).