廣東省佛山市華南師范大學(xué)附屬北滘?qū)W校中學(xué)部(528311) 宋 波

函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題是近幾年高考和診斷考試的熱點(diǎn),也是高考復(fù)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn). 這類試題可以很好的考查考生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,著力考查邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 但因其綜合性強(qiáng)、難度大,使人望而生畏,本文通過對相關(guān)文獻(xiàn)的研究綜述,揭示此類問題的本質(zhì),得到構(gòu)造法是解決此類問題的根本方法.

一、函數(shù)極值點(diǎn)偏移的概念

x0是函數(shù)y=f(x)在(a,b)上的極值點(diǎn),設(shè)f(x)=0(或f(x) =m) 的根分別是x1,x2(a

從概念可以看出,函數(shù)極值點(diǎn)偏移是相對于極值點(diǎn)不偏移而言的,函數(shù)極值點(diǎn)偏移時(shí),函數(shù)圖象中極值點(diǎn)左右兩側(cè)“增減速度”即變化率不同,函數(shù)的圖象不具有對稱性.

二、函數(shù)極值點(diǎn)偏移的本質(zhì)

1. 從函數(shù)值的增減速度即變化率看:

定理[1]x0是函數(shù)y=f(x)在(a,b)上的唯一極值點(diǎn),當(dāng)x∈(a,x0)時(shí),f′(x) < 0,當(dāng)x∈(x0,b)時(shí),f′(x) > 0(函數(shù)圖象下凸). 若?x∈(a,b),f′′′(x)>0 (<0),則函數(shù)f(x)在(a,b)上的極值點(diǎn)x0向右偏移(向左偏移);當(dāng)x∈(a,x0)時(shí),f′(x) > 0,當(dāng)x∈(x0,b)時(shí),f′(x) < 0(函數(shù)圖象上凸).若?x∈(a,b),f′′′(x)>0 (<0),則函數(shù)f(x)在(a,b)上的極值點(diǎn)x0向左偏移(向右偏移). (可用泰勒中值定理證明,此處不再贅述)

于是, 極值點(diǎn)偏移方向(左偏還是右偏),可用三階導(dǎo)函數(shù)f′′′(x)的符號正負(fù)來判定: 若f′′′(x) > 0,則極小值點(diǎn)右偏(極大值點(diǎn)左偏);若f′′′(x) < 0,則極小值點(diǎn)左偏(極大值點(diǎn)右偏).

2. 從函數(shù)圖象的對稱性看: 當(dāng)極值點(diǎn)偏移時(shí),函數(shù)圖象關(guān)于直線x=x0(x0是函數(shù)y=f(x)在(a,b)上的極值點(diǎn))不對稱,此時(shí)可構(gòu)造關(guān)于直線x=x0對稱的函數(shù),將自變量轉(zhuǎn)移到極值點(diǎn)x0同側(cè)的單調(diào)區(qū)間上,再利用函數(shù)單調(diào)性比較自標(biāo)量的大小關(guān)系.

三、函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的解題策略

理解函數(shù)極值點(diǎn)偏移的概念,把握函數(shù)極值點(diǎn)偏移的本質(zhì)和精髓,不難發(fā)現(xiàn)構(gòu)造法是解決極值點(diǎn)偏移問題的通性通法,由于問題的背景和結(jié)構(gòu)特征的不同,導(dǎo)致通過構(gòu)造相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)或數(shù)學(xué)模型解決此類問題的具體策略也多種多樣.

1. 構(gòu)造三階導(dǎo)函數(shù)

例1(2016 年高考全國Ⅰ卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=(x?2)ex+a(x?1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(Ⅰ)求a的取值范圍;

(Ⅱ)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2.

解 析(Ⅰ)a> 0 (過 程 從 略). (Ⅱ) 由f′(x) = (x?1)(ex+ 2a) 得f(x) 在R 上只有一個(gè)極值點(diǎn)為1, 當(dāng)x∈(?∞,1)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0(函數(shù)圖象下凸). 設(shè)x1 0,f′′′(x)=(x+1)ex>0,由本質(zhì)1 得f(x)在(0,2)上的極值點(diǎn)1 向右偏移,即,得x1+x2<2.

評析構(gòu)造三階導(dǎo)函數(shù)的方法體現(xiàn)了解決函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的導(dǎo)數(shù)本質(zhì),思想深刻,方法程序化、模式化,易操作,是解決極值點(diǎn)偏移問題行之有效的方法.

2. 構(gòu)造對稱函數(shù)

例2題目同例1.

解析(Ⅰ)a>0(過程從略). (Ⅱ)由f′(x)=(x?1)(ex+2a)得f(x)在R 上只有一個(gè)極值點(diǎn)為1,當(dāng)x∈(?∞,1)時(shí),f′(x) < 0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x) > 0,所以函數(shù)f(x)在(?∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增,則設(shè)x1<11,則

所以F(x) 在(1,+∞)單調(diào)遞增, 所以F(x) >F(1) = 0,由x2> 1, 則F(x2) > 0, 即f(x2) >f(2 ?x2), 因 為f(x1) =f(x2), 所以f(x1) >f(2 ?x2), 又x1< 1

例3(2022年高考全國甲卷理科第21 題) 已知函數(shù).

(Ⅰ)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,求證:x1x2<1.

評析從根本上來說,由函數(shù)值相等研究自變量的關(guān)系,一般說來,等量關(guān)系考查對稱性,不等關(guān)系則考查單調(diào)性,而利用單調(diào)性比大小的關(guān)鍵在于把變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間,于是借助對稱構(gòu)造函數(shù),恰好能實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo). 構(gòu)造對稱函數(shù)是解決形如x1+x2>(<)2x0和類型的極值點(diǎn)偏移問題的通性通法[2-3],它是從“形”的角度解決問題,從函數(shù)圖象對稱性的角度反映極值點(diǎn)偏移問題數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)和精髓. 其解題的一般步驟是:

①求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0;

②構(gòu)造對稱函數(shù): 對于x1+x2> (<)2x0類型, 構(gòu)造F(x)=f(x)?f(2x0?x); 對于, 構(gòu)造;)0,即f(x)>(<)f(2x0?x)或;

③對F(x)求導(dǎo)判斷F(x)的單調(diào)性,證明F(x) > (<

④由x1,x2的范圍,結(jié)合f(x1)=f(x2)及f(x)的單調(diào)性,確定x1+x2與2x0或x1x2與的大小關(guān)系.

3. 分析法

例4題目同例1.

解析(Ⅰ)a>0(過程從略). (Ⅱ)由f′(x)=(x?1)(ex+2a)得f(x)在R 上只有一個(gè)極值點(diǎn)為1,當(dāng)x∈(?∞,1)時(shí),f′(x) < 0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x) > 0,所以函數(shù)f(x)在(?∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增,設(shè)x1<1

欲證明x1+x2< 2, 即證x1< 2 ?x2, 再由x1<1 f(2 ?x2), 由f(x1) =f(x2), 只需證f(x2) >f(2 ?x2), 即f(x2) ?f(2 ?x2) > 0. 令F(x) =f(x)?f(2 ?x) = (x?2)ex+xe2?x,設(shè)x> 1,則F′(x)=ex+(x?2)ex+e2?x?xe2?x=(x?1)(ex?e2?x)>0,所以F(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,所以F(x) >F(1) = 0,即f(x)>(2 ?x)成立,故x1+x2<2.

評析分析法是證明數(shù)學(xué)命題的重要方法之一,是探索和解決極值點(diǎn)偏移問題的逆向思維,用分析法解決極值點(diǎn)偏移問題從結(jié)論入手持果索因,具有解題方向明確,切入點(diǎn)單一,容易上手的優(yōu)點(diǎn),所以處理極值點(diǎn)偏移問題常常用分析法找證明的思路,但運(yùn)用時(shí)應(yīng)特別注意分析法對表述格式的特殊要求.

4. 構(gòu)造差值換元

評析對于含指數(shù)式的極值點(diǎn)偏移問題, 可以考慮依據(jù)已知條件f(x1) =f(x2)列方程組,當(dāng)原函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)通過兩方程作差或求和可消去參數(shù), 將問題轉(zhuǎn)化為只含x1,x2的雙變量問題,再利用差值換元(即t=x2?x1),構(gòu)造關(guān)于t的不等式和函數(shù),用導(dǎo)數(shù)解決問題.

5. 構(gòu)造比值換元

評析與構(gòu)造差值換元相仿,對于含對數(shù)式的極值點(diǎn)偏移問題,可以考慮依據(jù)已知條件f(x1)=f(x2)列方程組,兩方程作差或求和消去參數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為只含x1,x2的雙變量問題,再利用比值換元(即),構(gòu)造關(guān)于t的不等式和函數(shù),用導(dǎo)數(shù)解決問題.

不論構(gòu)造差值換元還是構(gòu)造比值換元, 都是利用題設(shè)條件列出方程組, 通過對兩方程作差或求和得到含參數(shù)及x1,x2的方程,利用該方程消參得到只含x1,x2的不等式,消參規(guī)避了對參數(shù)的分析,簡化了問題,同時(shí)從結(jié)論入手,結(jié)合分析法證明. 而最后構(gòu)造差值或比值進(jìn)行換元,其實(shí)是一種常見的減元思想,通過換元將雙變量問題成功轉(zhuǎn)化為單變量問題,進(jìn)一步簡化了問題. 此解法沒有分析原函數(shù)的圖象與性質(zhì),而是另辟蹊徑構(gòu)造了關(guān)于參數(shù)t的函數(shù)進(jìn)行分析. 這兩種解法的亮點(diǎn)是將雙變量x1,x2轉(zhuǎn)化為單變量t,但同時(shí)也存在一定的局限性,有些題目是無法順利轉(zhuǎn)化的[4].

6. 構(gòu)造二次函數(shù)

例7題目同例1.

解析(Ⅰ)a>0(過程從略). (Ⅱ)由f′(x)=(x?1)(ex+2a)得f(x)在R 上只有一個(gè)極值點(diǎn)為1,當(dāng)x∈(?∞,1)時(shí),f′(x) < 0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x) > 0,所以函數(shù)f(x)在(?∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增,f(x)的極小值為f(1)=?e,又f(x1)=f(x2)=0,設(shè)x1<1

評析從函數(shù)圖象軸對稱性的角度,巧妙利用極限點(diǎn)偏移與不偏移時(shí)圖象軸對稱性的關(guān)系,考慮用常見的二次函數(shù)逼近的思想方法來處理極值點(diǎn)偏移問題,可以構(gòu)造一個(gè)極值點(diǎn)與題中函數(shù)的極值點(diǎn)重合,且極值相等的二次函數(shù),通過二次函數(shù)的軸對稱性,利用兩個(gè)函數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)的位置關(guān)系,就可以解決極值點(diǎn)偏移問題. 構(gòu)造二次函數(shù)逼近的方法體現(xiàn)了極值點(diǎn)偏移問題數(shù)形結(jié)合的思想,更能貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)[5],但構(gòu)造二次函數(shù)時(shí),匹配出合適的二次項(xiàng)系數(shù)有一定的技巧.

7. 構(gòu)造對數(shù)均值不等式

例8(2010 年高考天津卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=xe?x(x∈R).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(Ⅱ)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1 對稱,求證: 當(dāng)x>1 時(shí),f(x)>g(x);

(Ⅲ)如果x1x2,且f(x1)=f(x2),求證:x1+x2>2.

涉及算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、平方平均數(shù)和對數(shù)平均數(shù)等結(jié)構(gòu)特征的極值點(diǎn)偏移的問題可考慮用對數(shù)均值不等式. 在處理原函數(shù)中含有e 或lnx的極值點(diǎn)偏移問題時(shí),可通過取自然對數(shù)等方法適當(dāng)變形,將原問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)均值不等式模型,是從“數(shù)”的角度解決問題. 應(yīng)用對數(shù)均值不等式處理極值點(diǎn)偏移問題,思路簡捷,別具新意,易于理解和掌握[6],是一種行之有效的簡便方法. 但在證明解答題時(shí)要先證明對數(shù)均值不等式后再應(yīng)用.

8. 構(gòu)造齊次式

評析齊次式是代數(shù)式中的常見數(shù)學(xué)形式,“齊次化”是等式和不等式變形過程中特殊且重要的方法之一,構(gòu)造“齊次化”的思維方法處理極值點(diǎn)偏移問題,可以使復(fù)雜的結(jié)構(gòu)形式實(shí)現(xiàn)快速轉(zhuǎn)化,減少運(yùn)算量,從而通過換元,易于將雙變量問題轉(zhuǎn)化為一元問題,有利于問題的解決.[7]

9. 構(gòu)造定積分

例10(2021 年新高考Ⅰ卷第22 題)已知函數(shù)f(x) =x(1 ?lnx).

評析定積分雖不是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容,但定積分的思想方法是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和重要內(nèi)容. 對于學(xué)有余力的學(xué)生,在教學(xué)中滲透和應(yīng)用定積分的知識、思想和方法,有利于培養(yǎng)和提升優(yōu)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和綜合能力.[8]

通過構(gòu)造定積分,利用微積分基本定理對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行積分放縮,是解決和探索極值點(diǎn)偏移問題的新嘗試,具有程序化、模式化的特點(diǎn),此方法打破常規(guī),另辟蹊徑,別具匠心,是一種特殊的另類做法,是對解決極值點(diǎn)偏移問題方法上的豐富和有益補(bǔ)充.

四、啟示

函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題因其綜合性強(qiáng)、難度大、方法多樣、不易解決,已成為近些年高考中的壓軸題,是高考考查的重點(diǎn)、難點(diǎn)和熱點(diǎn). 極值點(diǎn)偏移問題的本質(zhì)是函數(shù)圖象的對稱性破缺,是函數(shù)值變化快慢的問題,是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的具體應(yīng)用. 查閱相關(guān)文獻(xiàn),對此類問題進(jìn)行研究綜述,發(fā)現(xiàn)構(gòu)造法是解決函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的本質(zhì)和根本方法,不論是直接構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化構(gòu)造法、分析法,還是構(gòu)造二次函數(shù)、對數(shù)均值不等式、齊次式和定積分等具體的、別具一格的特殊函數(shù)或模型,都要從問題的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征出發(fā)去合理構(gòu)造新的函數(shù)或數(shù)學(xué)模型,通過對新函數(shù)求導(dǎo),判斷單調(diào)性,從而使問題得以解決.

通常函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的基本結(jié)構(gòu)形式有兩種:x1+x2>(<)2x0和,若求證結(jié)論不是以上兩種基本結(jié)構(gòu)形式,一般可通過構(gòu)造、換元等方法化歸轉(zhuǎn)化為以上兩種形式. 證明時(shí)找出問題的結(jié)構(gòu)特征,采用相應(yīng)的解題策略,引導(dǎo)學(xué)生理解掌握極值點(diǎn)偏移的解題策略與通性通法,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)或數(shù)學(xué)模型,將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題,通過逐步深入的邏輯推理和數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算簡化問題,最后使問題得以輕松解決.

數(shù)學(xué)是形式化的科學(xué),不同的數(shù)學(xué)形式有不同的結(jié)構(gòu)特征,不同的結(jié)構(gòu)對應(yīng)著不同的解題思想方法. 數(shù)學(xué)解題中,應(yīng)立足于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),利用結(jié)構(gòu)所呈現(xiàn)的形式、特征與功能,通過對結(jié)構(gòu)的感知、識別、聯(lián)想、歸納、類比、轉(zhuǎn)化、建構(gòu)等認(rèn)知方式實(shí)現(xiàn)問題解決. 教學(xué)中,重視問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),從形式和結(jié)構(gòu)著手,選擇適當(dāng)解題方法,強(qiáng)化通性通法,淡化技巧,有利于優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維,提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì).[9]