邵 欣，胡成琳

（天津中德應用技術(shù)大學智能制造學院，天津 300350）

0 引言

隨著工業(yè)機器人等高端裝備的發(fā)展，永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）以其突出的控制性能受到了廣泛關(guān)注，并且大量應用于交流驅(qū)動應用中。隨著研究的深入和經(jīng)驗的積累，在永磁同步電機的控制特性和機械特性等方面已經(jīng)得到了豐富的研究成果。然而，快速變化的不確定負載、變頻器損耗、磁飽和和其他非線性效應在高度使用的實際驅(qū)動系統(tǒng)中經(jīng)常發(fā)生，由于應用系統(tǒng)中快速變化的未知干擾和未建模動態(tài)特性，永磁同步電機伺服控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性會顯著降低，從而降低整個系統(tǒng)的性能，尤其是在無傳感器控制系統(tǒng)應用中。已有的研究成果表明［1-5］，通過補償逆變器的非線性效應，可以減少位置估計誤差。此外，ZHAO Y 等討論了基于磁通量估計和擴展電動勢估計提高精度的方法［6-7］；KIM H 等通過使用參考轉(zhuǎn)矩作為觀測器的前饋輸入，提出了一個具有改進帶寬的零相位滯后估計器［8］；LEE Y 等則在研究中提出了一種利用速度誤差消除負載干擾的增強型魯棒性估計器［9］。對于基于模型的控制方法，通過擴展電動勢的估計是最基本的算法之一，經(jīng)典的技術(shù)是通過正交鎖相環(huán)（Q-PLL）跟蹤估計反電動勢的相位和頻率［10-13］，但其核心缺點是速度和負載變化時的恒定帶寬、時變干擾估計能力不足。因此，無傳感器控制方法仍然容易受到外部干擾的影響，需要進一步改進。

對于具有未知擾動的伺服系統(tǒng)，擴張狀態(tài)觀測器（extended state observer，ESO）是一種有效的估計技術(shù)，其具有快速收斂、不需要精確的數(shù)學模型和對未知干擾的精確估計等特點。為了提高永磁同步電機的控制精度，可以引入ESO 對未知擾動和未建模動態(tài)進行觀測。ESO 的最初概念是由HAN 提出的，他還提出了自抗擾控制（active disturbance rejection control，ADRC）理論［14］。ADRC 從理論上將系統(tǒng)的所有不確定因素視為總擾動，作為ADRC 的核心部分，ESO 利用估計誤差對總擾動進行觀測［15-18］。繼HAN的概念之后，GAO Z 進一步提出了對非線性形式ESO 進行線性化和參數(shù)化的工作［19-23］，提出了用于快速跟蹤擾動和不確定性的最佳觀測器帶寬概念和方法［24-25］。在參數(shù)調(diào)整和理論分析方面，線性擴張狀態(tài)觀測器（linear ESO，LESO）要優(yōu)于非線性ESO［25］。非線性ESO 在干擾容忍度和動力學改進方面更為有效，然而，參數(shù)調(diào)整和分析相當困難，這方面的研究工作也不充分。由于LESO 和非線性ESO各有其優(yōu)點和缺點，在它們之間進行選擇成為一個困難的選擇。

針對這一問題，為充分利用非線性特性的優(yōu)勢，本文提出了一個三階超螺旋ESO（super-twisting ESO，STESO），以改善永磁同步電機驅(qū)動器的動態(tài)性能和對速度與負載突變的魯棒性，同時估計快速變化的不確定性并抑制顫動。STESO 具有傳統(tǒng)擴張狀態(tài)觀測器的優(yōu)點，而且可以保證估計誤差的有限時間收斂性。與已有的研究結(jié)果相比，本文的STESO 可以提高對總擾動變化的動態(tài)響應，而且克服了LESO 存在觀測誤差和收斂速度較慢等問題，動態(tài)性能得到改善，低速運行極限得到了擴展。本文分析了STESO 的有效性和穩(wěn)定性，通過對比分析和仿真實驗證明了其性能的優(yōu)越性。

1 永磁同步電機數(shù)學模型

對于永磁同步電機，其三相定子電壓方程可以表示為：

式中，ua、ub和uc為定子繞組的相電壓；ia、ib和ic為定子繞組電流；R 為定子繞組的相間電阻；ψa、ψb和ψc為繞組磁鏈，其表達式為

式 中，Laa、Lbb和Lcc為 定 子 繞 組 自 感；Mab、Mac、Mba、Mbc、Mca和Mcb分別為三相繞組之間的互感；ψfa、ψfb和ψfc為轉(zhuǎn)子磁體在三相繞組產(chǎn)生的磁鏈，可表示為

式中，θe為電角度，即電機轉(zhuǎn)子直軸磁極線與繞組a相軸線的夾角。根據(jù)永磁同步電機的三相電流和磁鏈，可以得到電機產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩為：

式中，pn是電機轉(zhuǎn)子的磁極對數(shù)。經(jīng)過Clarke 變換，可得電磁轉(zhuǎn)矩的表達式為：

進而可以得到永磁同步電機的運動方程為：

式中，TL為負載轉(zhuǎn)矩；J 為負載轉(zhuǎn)動慣量；ωr為轉(zhuǎn)子角速度；B 為摩擦系數(shù)常數(shù)。對永磁同步電機的數(shù)學模型進行整理，得到：

2 控制器設(shè)計

由于永磁同步電機的感應電動勢包含重要的位置和速度信息，傳統(tǒng)的基于模型的無傳感器控制方法主要利用該原理實現(xiàn)永磁同步電機位置和速度的估計。如圖1 所示，前端用于通過定子電壓基準和測量電流iαβ來估計擴展電動勢；后端用于檢索估計的電氣位置和速度，而且后端通常采用Q-PLL 使位置誤差可以持續(xù)降低到0。

圖1 永磁同步電機位置和速度估計框圖Fig.1 Position and speed estimation block diagram of PMSM

以上方法需要在伺服系統(tǒng)中加入低通濾波器去除高頻噪音，這在實際位置和估計值之間引入了不必要的相位滯后，降低了整個系統(tǒng)的性能。針對該問題，本文設(shè)計了STESO 進行位置和速度估計，以獲得更準確的速度估計信號和更強的干擾估計能力。Super-twisting 算法利用分數(shù)階函數(shù)的非線性特性提高了觀測帶寬，具有很強的噪聲抑制能力。

2.1 STESO 設(shè)計

針對具有參數(shù)不確定性的永磁同步電機，其動力學方程根據(jù)式（7）可以表示為

式中，a 為總擾動變化率。據(jù)此設(shè)計永磁同步電機的STESO 為

將式（10）減去式（11），可以得到觀測誤差方程為

在式（12）收斂時，則可以實現(xiàn)總擾動的準確觀測。為便于后續(xù)分析，需要根據(jù)永磁同步電機的機械特性做出如下假設(shè)：

假設(shè)1 不確定性f 是有界的，而且其導數(shù)滿足

針對式（12），有如下定理：

定理1 在d 有界時，通過調(diào)節(jié)誤差反饋增益αi，可以保證式（12）在有限時間內(nèi)收斂到0。

證明：建立Lyapunov 函數(shù)

根據(jù)Pólya 定理［27］可以確定使V（x）正定的參數(shù)ki。對式（14）求導，得

2.2 反饋控制律設(shè)計

基于STESO 對總擾動的觀測值，可以實現(xiàn)在控制系統(tǒng)中對f 的精確補償，從而設(shè)置位置環(huán)誤差反饋控制律

式中，pr和qr分別為位置和速度給定值。在單獨控制速度時，控制律設(shè)計為

3 仿真結(jié)果分析

為驗證本文所提出的控制方法的有效性，搭建PMSM 仿真模型以進行驗證，并設(shè)置傳統(tǒng)PI 控制方法進行比較。其中，仿真所用電機參數(shù)設(shè)置如下：定子電阻R=0.75 Ω；電感Ld=1.05 mH；Lq=2.05 mH；極對數(shù)pn=4；轉(zhuǎn)動慣量J=2.4 kg·mm2；額定電壓U=24 V。本文所提控制方法可以通過式（12）、式（17）和式（8）實現(xiàn)。其中，控制參數(shù)設(shè)計為b0=5.6×104；kp=15；kd=113.1；L=12 000。為驗證所提方法的有效性和控制優(yōu)勢，本文選擇PID、自抗擾控制（ADRC）［28］和基于改進模型預測的自抗擾前饋控制（feed forward ADRC，F(xiàn)FADRC）［29］等3 種算法進行對比分析。其中，PID 控制器的參數(shù)為位置環(huán)控制參數(shù)kpp=15，速度環(huán)PI 控制參數(shù)為ksp=0.15，ksi=0.74；線性自抗擾控制器的參數(shù)為β1=3 200，β2=1 800 000，ω0=1 720，k=705.2；模型預測自抗擾控制的參數(shù)為加權(quán)系數(shù)q=0.23，Ki=500，l=0.47，模型預測自抗擾控制的速度環(huán)PI 參數(shù)與PID 控制器相同。電流環(huán)在本文方法和對比控制方法仿真中的參數(shù)一致，其PI 控制器的參數(shù)為kip=8.12，kii=11 802。永磁同步電機控制結(jié)構(gòu)圖如圖2 所示。

圖2 永磁同步電機控制框圖Fig.2 PMSM control block diagram

3.1 位置控制

位置控制是永磁同步電機控制的重要任務之一，在不同的負載作用下，如何設(shè)計控制器使永磁同步電機快速到達指定位置，并將負載變化帶來的影響降到最低。仿真中，給定目標是控制永磁同步電機轉(zhuǎn)動100 圈，負載轉(zhuǎn)矩設(shè)置為TL=0.01 Nm，仿真結(jié)果如圖3 所示。由圖3 可知，本文所提的控制方法在啟動過程中沒有超調(diào)，在1.210 s 時到達設(shè)定位置；而對比方法跟蹤參考所需時間分別為1.231 s、1.225 s、1.281 s，比所提控制方法慢0.015 s 以上。在轉(zhuǎn)速控制上，本文所提方法可以快速無超調(diào)地達到設(shè)置轉(zhuǎn)速，響應速度較快。其余對比方法的速度環(huán)在本次仿真的負載條件下響應速度慢于本文方法，到達設(shè)置轉(zhuǎn)速的時間均大于本文方法的0.034 s，落后時間在0.051 s 以上，從而證明了本文方法在位置控制方面具有更高的控制性能。

圖3 位置控制結(jié)果Fig.3 Position control results

為分析不同負載對控制結(jié)果的影響，圖4 所示的仿真結(jié)果對比了負載TL為0.001、0.008、0.01、0.015、0.02 等多種情況，仿真結(jié)果顯示，雖然不同仿真時負載不同，但由于STESO 對總擾動的觀測和補償能力，實現(xiàn)了控制器對負載產(chǎn)生的影響進行了精確補償，從而使控制結(jié)果保持一致。同時需要指出，傳統(tǒng)的PID 控制在負載變化時控制效果變化較大，限于篇幅本文未給出其仿真結(jié)果。

圖4 多種負載位置控制結(jié)果Fig.4 Position control results of multiple kinds of load

3.2 轉(zhuǎn)速控制

為充分驗證本文所提控制方法的控制有效性，本節(jié)從電機空載起動和階躍負載擾動抵抗能力兩個方面展開系列仿真。首先是固定轉(zhuǎn)速情況，在第1.5 s 加載擾動為0.004 Nm 的階躍力矩。如圖5所示，設(shè)定轉(zhuǎn)速為1 000 r/m 的空載啟動，本文方法和對比方法都可以控制永磁同步電機達到設(shè)定轉(zhuǎn)速，但在動態(tài)性能上卻存在較大差異。其中，本文所提方法的響應時間為0.06 s，轉(zhuǎn)速無超調(diào)，而速度環(huán)采用PI 控制器時的響應時間為0.11 s，而且還存在一定的超調(diào)，最大超調(diào)轉(zhuǎn)速為12.4 r/m，超調(diào)量為1.24%。相比之下，ADRC 和FF-ADRC 控制方法的轉(zhuǎn)速響應速度有一定的提高，但仍然慢于本文所提的控制方法。由圖5 的對比分析可知，本文方法在啟動階段具有良好的快速性。在加入負載階躍擾動后，圖5 結(jié)果顯示4 種控制方法所對應的轉(zhuǎn)速曲線均出現(xiàn)了下降，相比之下，本文方法的最大偏離值為52.1 r/m，約為給定轉(zhuǎn)速的5%；而PI 轉(zhuǎn)速控制器對應的轉(zhuǎn)速損失為302 r/m，約為給定轉(zhuǎn)速的30%，另外兩種控制方法的轉(zhuǎn)速下降約為7%，與本文方法接近。但在恢復時間方面，本文所提方法轉(zhuǎn)速恢復時間分別為0.055 s，低于PID 控制的0.88 s、ADRC 的0.143 s 和FFADRC 的0.094 s。綜合上述仿真現(xiàn)象可得，本文所提方法的轉(zhuǎn)速變化量為PI 控制器的1/6，恢復時間約為1/16，而且相對于ADRC和FFADRC 在轉(zhuǎn)速變化量和恢復時間方面均有一定的提升，證明本文控制方法對于變化的系統(tǒng)負載具有較好的抗干擾性能。

圖5 轉(zhuǎn)速控制結(jié)果Fig.5 Rotation speed control results

圖6 為給定正弦波轉(zhuǎn)速信號時候的仿真實驗結(jié)果。如圖所示，本文方法以及對比方法都可以很好的跟蹤給定的轉(zhuǎn)速信號，但通過轉(zhuǎn)速放大圖可知，本文方法的轉(zhuǎn)速輸出與給定轉(zhuǎn)速波形最為接近，實驗結(jié)果與圖5 結(jié)果一致，本文控制方法在轉(zhuǎn)速控制方面由于對比方法的結(jié)論從轉(zhuǎn)速誤差結(jié)果中可以得到進一步驗證。其中，本文方法輸出的正弦轉(zhuǎn)速誤差幅值為0.11r/m，遠小于另外3 種控制方法的0.29 r/m、0.27 r/m 和0.42 r/m。

圖6 正弦轉(zhuǎn)速信號控制結(jié)果Fig.6 Signal control results of sinusoidal rotation speed

3.3 蒙特卡洛測試

在STESO 中，所有的參數(shù)不確定性均被視作擾動放在了總擾動中，并通過STESO 在有限時間內(nèi)進行準確觀測。為驗證本文所提控制方法對系統(tǒng)參數(shù)變化的可能干擾能力，在仿真中設(shè)置轉(zhuǎn)動慣量定子電阻、電感、轉(zhuǎn)動慣量和反饋電動勢系數(shù)在內(nèi)變化，仿佛在條件同樣設(shè)置為在1.5 s 是施加0.004 Nm 的階躍擾動。仿真結(jié)果如圖7 所示，50 次蒙特卡洛測試結(jié)果顯示雖然系統(tǒng)參數(shù)在每次仿真都不相同，但控制結(jié)果變換結(jié)果較小，從局部放大圖可知所有的控制過程均未出現(xiàn)超調(diào)，過渡時間也只有0.02 s 的變化，從而驗證了本文所提控制方法在模型失配情況下的魯棒性。

圖7 蒙特卡洛測試Fig.7 Monte Carlo test

4 結(jié)論

針對永磁同步電機的控制問題，本文進行了擾動觀測與補償控制研究，獲得的結(jié)論如下：

1）提出了一種三階STESO，可以在有限時間內(nèi)實現(xiàn)位置、轉(zhuǎn)速以及總擾動的準確估計，從而可以在控制回路中對總擾動進行精確補償，提高系統(tǒng)的控制性能和抗擾能力。

2）通過仿真實驗結(jié)果將本文方法與PID、ADRC 和FFADRC 等控制方法進行了比較，從而驗證了基于STESO 的控制器的優(yōu)越性能。

3）STESO 增強了總擾動的估計能力，提供了抗快速和負載變化的思路，而且從理論上保證了有限時間收斂性。

對永磁同步電機總擾動的準確觀測與補償，可以提高永磁同步電機的位置和轉(zhuǎn)速控制精度，同樣為進一步研究提供了新思路。在未來研究中，將在此基礎(chǔ)上研究非線性誤差反饋控制方法，以期進一步提高控制系統(tǒng)的綜合性能。