王 哲,張 望,許澤宇,張寒冰,崔永浩

(北京無(wú)線電測(cè)量研究所, 北京 100854)

0 引言

壓電陶瓷作為一種常見的微動(dòng)位移智能材料,具有響應(yīng)速度快,分辨率高,體積小及能量密度大的優(yōu)點(diǎn),現(xiàn)已成為光學(xué)、電子學(xué)相關(guān)的精密定位研究領(lǐng)域中的重點(diǎn)研究對(duì)象[1-2]。目前廣泛應(yīng)用于掃描探針顯微鏡、半導(dǎo)體加工、高精度機(jī)床及激光設(shè)備中,但其自身存在的蠕變、遲滯等非線性因素對(duì)定位精度帶來(lái)了較大的誤差[3],雖然采用閉環(huán)控制方式能顯著提升其穩(wěn)態(tài)精度,但動(dòng)態(tài)精度難以保證。為此,研究者們期望通過(guò)建立壓電陶瓷的前饋逆模型來(lái)對(duì)壓電陶瓷的非線性誤差進(jìn)行補(bǔ)償[4]。目前,典型的現(xiàn)象學(xué)遲滯模型包括Duhem模型[5-6]、Bouc-Wen模型[7]、Preisach模型[8]、Krasnoselskii-Pokrovskii(KP)模型[9]及Prandtl-Ishlinskii(PI)模型[10-12]等。Duhem模型和Bouc-Wen模型均是通過(guò)微分方程來(lái)描述壓電遲滯現(xiàn)象,微分形式下的非線性表達(dá)式使模型的參數(shù)識(shí)別較難。Preisach模型是基于算子的遲滯模型,有積分表示和解析不可逆問(wèn)題。作為Preisach模型的子類,經(jīng)典PI模型通過(guò)一個(gè)閾值變量和一個(gè)密度函數(shù)來(lái)描述滯后現(xiàn)象,可看作是簡(jiǎn)單遲滯算子的疊加,降低了建模的復(fù)雜性,實(shí)現(xiàn)了解析的可逆性,但其無(wú)法描述復(fù)雜的不對(duì)稱遲滯曲線。KP模型能夠描述不對(duì)稱遲滯現(xiàn)象和飽和遲滯效應(yīng),然而為KP模型構(gòu)造逆模型是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)。廣義PI模型保留了經(jīng)典PI模型的建模簡(jiǎn)單及逆模型可解析的優(yōu)勢(shì),同時(shí)通過(guò)增加包絡(luò)函數(shù)描述復(fù)雜的遲滯曲線[13]。

為了便于系統(tǒng)集成及小型化,采用數(shù)字信號(hào)處理(DSP)結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列(FPGA)(DSP+FPGA)數(shù)字控制芯片作為壓電驅(qū)動(dòng)器的嵌入式控制系統(tǒng)。將廣義PI模型的參數(shù)在DSP中在線辨識(shí),實(shí)時(shí)更新系統(tǒng)模型,并通過(guò)逆模型公式計(jì)算前饋補(bǔ)償分量,將前饋補(bǔ)償結(jié)果通過(guò)數(shù)據(jù)總線發(fā)送給FPGA。壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)閉環(huán)在FPGA中實(shí)現(xiàn),采用比例積分控制結(jié)合前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制,并在FPGA中實(shí)現(xiàn)高速高精度模數(shù)(A/D)采樣及數(shù)模(D/A)輸出。最終實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)控制頻率為50 kHz,求得跟蹤頻率分別為50 Hz、100 Hz、200 Hz對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)均方根分別為11.8 nm、13.1 nm、21.0 nm,相對(duì)均方根誤差分別為0.5%,0.6%、1%,滿足系統(tǒng)指標(biāo)要求,并可在實(shí)際系統(tǒng)中集成應(yīng)用。

1 壓電促動(dòng)器控制算法

1.1 基于廣義PI模型的壓電促動(dòng)器前饋補(bǔ)償

采用廣義PI遲滯模型對(duì)壓電陶瓷遲滯現(xiàn)象進(jìn)行建模,采用粒子群算法對(duì)待求參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。

1.1.1 廣義PI模型

在廣義PI遲滯模型中,廣義遲滯算子Sr包含2個(gè)包絡(luò)函數(shù),輸入函數(shù)v隨時(shí)間增加時(shí),對(duì)應(yīng)廣義遲滯算子Sr中的包絡(luò)函數(shù)γl;輸入函數(shù)v隨時(shí)間減小時(shí),對(duì)應(yīng)廣義遲滯算子Sr中的包絡(luò)函數(shù)γr。由于2個(gè)包絡(luò)函數(shù)為不同的表達(dá)式,因此,廣義遲滯模型可描述非對(duì)稱及飽和的遲滯現(xiàn)象。圖1為廣義PI遲滯模型遲滯算子的輸入-輸出關(guān)系示意圖。圖中,廣義遲滯算子在輸出z(t)=0時(shí)對(duì)應(yīng)的輸入值v(t)為ζ1和ζ2,ζ1對(duì)應(yīng)上升階段,ζ2對(duì)應(yīng)下降階段。由圖可看出包絡(luò)函數(shù)γl和γr是單調(diào)函數(shù)。

圖1 廣義PI遲滯算子輸入-輸出關(guān)系示意圖

廣義PI遲滯模型的遲滯算子可表示為

(1)

式中r為閾值,參照經(jīng)典遲滯算子決定。本文采用雙曲正切函數(shù)作為包絡(luò)函數(shù)形式,則包絡(luò)函數(shù)γl、γr的表達(dá)式為

(2)

式中a1,b1,c1,d1及a2,b2,c2,d2分別為上升和下降階段包絡(luò)函數(shù)的待確定參數(shù),可由參數(shù)尋優(yōu)算法辨識(shí)得到。

廣義PI遲滯模型Φ通過(guò)多個(gè)遲滯算子Sr和密度函數(shù)P(r)的加權(quán)疊加來(lái)描述相關(guān)材料或執(zhí)行器的遲滯效應(yīng)。廣義PI遲滯模型的輸出具體定義Φ[v](t)為

(3)

如式(3)所示,模型是n個(gè)廣義PI遲滯算子的加權(quán)輸出結(jié)果,P(ri)和ri分別為

(4)

式中:ρ為正數(shù);τ,α為常數(shù)。三者均是遲滯算子模型中的待定參數(shù)。

因?yàn)閺V義PI遲滯算子Sr是單調(diào)的,且密度函數(shù)是連續(xù)可積的正值函數(shù),由此可得出廣義PI遲滯模型在上升、下降沿同樣滿足單調(diào)條件。

1.1.2 遲滯模型的參數(shù)識(shí)別

廣義PI遲滯模型的遲滯算子及密度函數(shù)的相關(guān)參數(shù)通常根據(jù)已知的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),采用合適的參數(shù)尋優(yōu)方法得到。粒子群算法在遲滯模型的參數(shù)識(shí)別中應(yīng)用較廣[14]。粒子群參數(shù)優(yōu)化算法是參數(shù)優(yōu)化、尋找適度函數(shù)極值的過(guò)程,其可以為不可微的模型進(jìn)行尋優(yōu)。其基本過(guò)程如下:

(rand∈random(0,1))

(5)

2) 求每個(gè)粒子的適度函數(shù):

(6)

3) 計(jì)算個(gè)體最優(yōu)位置pbesti和全局最優(yōu)位置gbest:

(7)

gbest(k+1)=min{pbesti(k+1)}

(8)

4) 若迭代次數(shù)大于itermax,終止計(jì)算保存gbest作為最優(yōu)解;否則根據(jù)個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)更新每個(gè)粒子的速度和位置向量,退回到步驟2)。

vi(k+1)=w(k)vi(k)+c1r1[pbesti-xi(k)]+

c2r2[gbest-xi(k)]

(9)

xi(k+1)=xi(k)+vi(k+1)

(10)

式中:r1,r2為[0,1]上的隨機(jī)數(shù);w(k)=0.5+rand/2。

1.1.3 遲滯前饋補(bǔ)償

對(duì)已經(jīng)建立的遲滯模型進(jìn)行反演計(jì)算,廣義PI模型的反演式為

(11)

式(11)分別對(duì)上升、下降階段的包絡(luò)函數(shù)進(jìn)行反演,其中遲滯算子的具體表達(dá)式為

(12)

(13)

其中密度函數(shù)求解如下:

(14)

式中j=2,3,4,…,n。

1.2 壓電促動(dòng)器復(fù)合控制

實(shí)驗(yàn)表明,在壓電促動(dòng)器系統(tǒng)中,遲滯特性是影響動(dòng)態(tài)跟蹤精度的重要因素,基于廣義 PI 逆模型的前饋補(bǔ)償控制,對(duì)于補(bǔ)償遲滯特性有較好的效果。但壓電陶瓷的蠕變特性會(huì)令系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)定位發(fā)生漂移,而基于比例積分控制率的反饋控制可有效地抑制壓電促動(dòng)器的蠕變影響,保證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度。因此,采用復(fù)合控制方法能夠有效提升系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)跟蹤精度。系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)復(fù)合控制框圖

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的搭建

為了便于驅(qū)動(dòng)模塊在整體系統(tǒng)中的集成,需要壓電驅(qū)動(dòng)器成為獨(dú)立的子系統(tǒng),這要求模塊接口完整并具有集成化、輕小型化等特點(diǎn)。目前廣泛采用的基于控制板卡結(jié)合計(jì)算機(jī)操作系統(tǒng)的控制,無(wú)論從實(shí)時(shí)性、集成度及空間、質(zhì)量都難以滿足要求。因此,基于TMS320F28335及XC6SLX45T控制芯片搭建了嵌入式控制系統(tǒng)。其中DSP完成廣義PI模型逆模型前饋補(bǔ)償量的在線計(jì)算;FPGA芯片用于完成系統(tǒng)數(shù)字閉環(huán)控制算法,控制周期采用內(nèi)部時(shí)序控制,可以達(dá)到50 kHz,能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)高帶寬性能需求,完成高速A/D芯片的采樣控制及高速D/A芯片電壓輸出控制。系統(tǒng)數(shù)字架構(gòu)如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)數(shù)控架構(gòu)示意圖

驅(qū)動(dòng)電路由功率放大電路和運(yùn)算放大器串聯(lián)組成負(fù)反饋放大電路,此外還包括調(diào)理電路和電壓供電變換電路。采用電壓串聯(lián)負(fù)反饋結(jié)構(gòu),能提高增益的恒定性,減少非線性失真,擴(kuò)展頻帶,提高輸入電阻,減小輸出電阻。功率放大電路采用分立的MOS管搭建推挽電路實(shí)現(xiàn),電壓、電流及功率等級(jí)可根據(jù)負(fù)載的大小靈活調(diào)整,便于散熱及集成化設(shè)計(jì),且成本低。國(guó)外知名廠商德國(guó)PI、法國(guó)CEDRAT、美國(guó)Thorlabs均是基于分立元件搭建功率放大電路。

壓電促動(dòng)器選用芯明天PSt150/5/7VS10,標(biāo)稱行程9 μm,帶SGS電阻應(yīng)變片的位置信息反饋。采用測(cè)微儀對(duì)其進(jìn)行標(biāo)定后可實(shí)時(shí)測(cè)得系統(tǒng)實(shí)際位移。

壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器驗(yàn)證樣機(jī)由上位機(jī)、數(shù)字控制板、驅(qū)動(dòng)板、供電電源、壓電促動(dòng)器組成?？傮w框架和實(shí)驗(yàn)樣機(jī)如圖4所示。

圖4 壓電驅(qū)動(dòng)器實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)

2.2 控制方法驗(yàn)證

采用開環(huán)控制方式分別在給定幅值2 μm、不同頻率(50 Hz、100 Hz、200 Hz)的正弦波形得到系統(tǒng)實(shí)際輸出波形與給定電壓間(開環(huán)模式下給定位移與實(shí)際輸出電壓為固定比例關(guān)系)的關(guān)系如圖5所示。由圖可看出,系統(tǒng)存在較大的遲滯效應(yīng),且幅值有較大衰減。

圖5 壓電促動(dòng)器遲滯效應(yīng)

只采用比例積分控制率方式對(duì)壓電促動(dòng)器進(jìn)行閉環(huán)控制,分別給定幅值2 μm、不同頻率(50 Hz、100 Hz、200 Hz)的正弦波形得到系統(tǒng)實(shí)際輸出波形與給定目標(biāo)位移間的關(guān)系如圖6所示。由圖可看出,系統(tǒng)的遲滯效應(yīng)得到改善,且幅值跟隨目標(biāo)給定相位滯后,隨著目標(biāo)位移頻率的增加,相移滯后增大,符合壓電促動(dòng)器伺服控制規(guī)律。

圖6 比例積分閉環(huán)控制下壓電遲滯效應(yīng)

為了進(jìn)一步改善系統(tǒng)性能,縮小動(dòng)態(tài)誤差,采用廣義PI模型對(duì)壓電促動(dòng)器進(jìn)行建模,并通過(guò)粒子群算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行在線辨識(shí),得到頻率分別為50 Hz、100 Hz、200 Hz,幅值為2 μm時(shí)廣義PI模型的參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果,如表1所示。

表1 粒子群算法識(shí)別所得參數(shù)表

電陶瓷促動(dòng)器在不同頻率下的廣義PI模型的參數(shù)變化不大,且同一組參數(shù)應(yīng)用于不同頻率條件下均能起到一定的遲滯抑制效果。采用相同頻率和幅值的逆模型可得到最優(yōu)解,這從一定程度上降低了對(duì)DSP實(shí)時(shí)計(jì)算速度的要求。圖7為廣義PI模型與實(shí)際壓電促動(dòng)器模型的遲滯曲線,驗(yàn)證了建模方法的正確性。

圖7 廣義PI模型遲滯擬合

采用基于廣義PI逆模型的前饋補(bǔ)償措施,得到前饋跟蹤目標(biāo)軌跡的效果如圖8所示。

圖8 廣義PI逆模型前饋控制軌跡跟蹤效果

由圖8可看出,遲滯現(xiàn)象得到進(jìn)一步改善,但隨著頻率的增高,同一周期系統(tǒng)采樣點(diǎn)逐漸稀疏,模型擬合度逐漸下降,因此,相對(duì)于低頻控制效果,高頻非線性度逐漸增加。

圖9為采用廣義PI逆模型前饋補(bǔ)償結(jié)合比例積分控制的復(fù)合控制效果圖。相對(duì)于單獨(dú)采用前饋控制和反饋控制,遲滯效應(yīng)得到了充分抑制。為了量化模型表現(xiàn),采用均方根誤差erms、相對(duì)均方根誤差enrms和遲滯比H作為指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)控制方法的跟蹤效果,即:

圖9 復(fù)合控制軌跡跟蹤效果圖

(15)

(16)

(17)

式中:yd為目標(biāo)位移;y為輸出位移;p為采樣點(diǎn)個(gè)數(shù);yl,yr分別為同一目標(biāo)位移指令下的上升、下降沿輸出位移值。由式(15)～(17)得到誤差分析表,如表2所示。

表2 誤差分析表

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文所提壓電驅(qū)動(dòng)器設(shè)計(jì)方法對(duì)壓電促動(dòng)器的動(dòng)靜態(tài)控制精度均有提升,以GPI模型為基礎(chǔ)構(gòu)建的前饋算法相較于微分方程遲滯模型和其他算子模型,在保證模型精度的前提下,模型反演更簡(jiǎn)單,參數(shù)數(shù)量較少。在集成到硬件系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)遲滯補(bǔ)償時(shí)更便捷、高效。

3 結(jié)束語(yǔ)

基于廣義PI模型及粒子群辨識(shí)算法,本文提出了一種壓電促動(dòng)器復(fù)合控制方法,結(jié)合嵌入式數(shù)控芯片及分立式功率放大電路,設(shè)計(jì)了一款壓電驅(qū)動(dòng)器。該壓電伺服系統(tǒng)動(dòng)靜態(tài)跟蹤精度得到了顯著提升,響應(yīng)頻寬大,且便于系統(tǒng)集成,可以進(jìn)行工程化應(yīng)用。