梁家豪,唐予軍,王 霞

(河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院,河北 保定 071002)

1 引言

在過去的幾十年里,網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在無人機(jī)飛行器,智能交通系統(tǒng),遠(yuǎn)程機(jī)器人,遠(yuǎn)程手術(shù)的方面得到了廣泛的應(yīng)用[1],使學(xué)者們對其產(chǎn)生了濃厚的興趣。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有很多優(yōu)點(diǎn),如成本低,便于安裝和維護(hù),信息容易共享等。但是,不可靠的通信網(wǎng)絡(luò)和有限的帶寬會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的通信延遲和數(shù)據(jù)丟包等問題[2],這些問題會對控制性能產(chǎn)生不利影響,甚至?xí)拐麄€網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定[3]。

由于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,數(shù)據(jù)量和信息量成爆炸性增長。使用傳統(tǒng)的時間觸發(fā)控制方法[4],會使在有限的網(wǎng)絡(luò)帶寬資源上產(chǎn)生數(shù)據(jù)傳輸?shù)娜哂?而這些冗余數(shù)據(jù)對于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的性能是無用的。當(dāng)基于數(shù)據(jù)包的傳輸以時間觸發(fā)的方式實(shí)現(xiàn)的時候,就會占用更多的帶寬資源,而且在有限的通信資源上進(jìn)行爆炸性的數(shù)據(jù)傳輸時,可能會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)性能惡化。處理這類問題的一個有效的方法是使用事件觸發(fā)[5],就是只有在系統(tǒng)狀態(tài)超出預(yù)定閾值時才使用網(wǎng)絡(luò)。文獻(xiàn)[6]詳細(xì)的介紹了自觸發(fā)方案、離散事件觸發(fā)方案、自適應(yīng)事件觸發(fā)方案等一系列的事件觸發(fā)方案和相應(yīng)的模型建立方法。文獻(xiàn)[7]研究了事件觸發(fā)機(jī)制更新控制和估計的頻臨問題。文獻(xiàn)[8]中提出了一種基于采樣狀態(tài)的事件觸發(fā)控制和一種基于采樣的自觸發(fā)控制方法,并根據(jù)當(dāng)前采樣數(shù)據(jù)預(yù)測下一個控制任務(wù)觸發(fā)的時間。通過事件觸發(fā)的方式,可以在很大程度上減少網(wǎng)絡(luò)的通信負(fù)擔(dān),同時保證系統(tǒng)的閉環(huán)性能[9,10]。

同時,由于通訊協(xié)議的限制,延遲的影響在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中被廣泛關(guān)注[11]。文獻(xiàn)[12]構(gòu)造一種新的Lyapunov-Krasovskii泛函研究了網(wǎng)絡(luò)延遲下事件觸發(fā)控制器的設(shè)計方法。另外,文獻(xiàn)[13]研究一種事件觸發(fā)的網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測控制方法來解決網(wǎng)絡(luò)通信延遲帶來的影響。文獻(xiàn)[14]中提出了網(wǎng)絡(luò)預(yù)測控制方法,使用預(yù)測器來主動補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)引起的通信延遲和數(shù)據(jù)丟包,并實(shí)現(xiàn)了預(yù)期的控制效果。文獻(xiàn)[15]在切換線性系統(tǒng)中,利用預(yù)測器解決了事件觸發(fā)控制中網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)存在的延遲問題。文獻(xiàn)[16]中,Yang等人提出了一種事件觸發(fā)的預(yù)測控制方法來穩(wěn)定網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),在保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,提供了最大的觸發(fā)間隔。文獻(xiàn)[17]提出了一種新型的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu),在傳感器設(shè)備和控制器設(shè)備上都設(shè)置了事件觸發(fā)機(jī)制,以減少反饋網(wǎng)絡(luò)流量,通過預(yù)測被控對象的未來狀態(tài),設(shè)計了一種新的數(shù)據(jù)包形式,其中包含未來控制輸入信號的序列及其相應(yīng)的動作時間,以主動補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)延遲和數(shù)據(jù)包丟失的影響。在文獻(xiàn)[18]中,提出了一種新的事件觸發(fā)機(jī)制和網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測控制方法的組合,以節(jié)省有限的網(wǎng)絡(luò)資源并主動補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)通信延遲。在上述文獻(xiàn)中均使用系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)設(shè)計觸發(fā)機(jī)制,并且假設(shè)系統(tǒng)在觸發(fā)后可以立即得到相應(yīng)的控制信號,但這在實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中是不能滿足的。由于控制器到被控對象之間的網(wǎng)絡(luò)延遲,系統(tǒng)狀態(tài)滿足觸發(fā)條件時,無法獲得當(dāng)下的控制信號,從而會使系統(tǒng)狀態(tài)無法即刻發(fā)生改變,而是在相應(yīng)的延遲時間后才會得到控制信號從而發(fā)生變化,這就會導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)超過所設(shè)定的觸發(fā)條件,使系統(tǒng)狀態(tài)無法達(dá)到預(yù)期的控制目標(biāo)。其仿真結(jié)果如圖1,圖2所示。圖1表示系統(tǒng)使用當(dāng)前狀態(tài)設(shè)計觸發(fā)機(jī)制,未考慮網(wǎng)絡(luò)雙延遲情況下,狀態(tài)的改變較觸發(fā)時刻晚; 圖2表示本文使用系統(tǒng)未來狀態(tài)設(shè)計觸發(fā)機(jī)制,使系統(tǒng)提前觸發(fā),則在觸發(fā)時刻系統(tǒng)狀態(tài)即可發(fā)生變化。而如何應(yīng)對控制器到被控對象之間的網(wǎng)絡(luò)延遲影響,確保達(dá)成控制目標(biāo)尚未見相關(guān)研究。

圖1 利用系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)設(shè)計觸發(fā)機(jī)制

圖2 利用系統(tǒng)未來狀態(tài)設(shè)計觸發(fā)機(jī)制

如圖1所示,系統(tǒng)在0.42s發(fā)生觸發(fā),但是系統(tǒng)卻在0.52s才得到相應(yīng)的控制信號,那么在0.42s到0.52s這個時間段內(nèi),系統(tǒng)狀態(tài)的增長便超出了所設(shè)定的預(yù)值,從而導(dǎo)致無法達(dá)到預(yù)期的控制目標(biāo)。而圖2利用本文所設(shè)計的觸發(fā)機(jī)制,系統(tǒng)就可以在觸發(fā)時刻獲得相應(yīng)的控制信號,從而即刻發(fā)生改變。

本文提出一種基于預(yù)測模型的事件觸發(fā)控制結(jié)構(gòu),將模型預(yù)測器放在被控對象側(cè),并且利用預(yù)測的未來狀態(tài)設(shè)計一種新的事件觸發(fā)機(jī)制,用于消除網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中通信雙延遲帶來的不利影響。預(yù)測器預(yù)測出系統(tǒng)總延遲時間后的未來狀態(tài),并使用系統(tǒng)的未來狀態(tài)設(shè)計相應(yīng)的事件觸發(fā)機(jī)制,使系統(tǒng)在達(dá)到觸發(fā)條件之前進(jìn)行觸發(fā)并計算對應(yīng)的控制律,從而確保系統(tǒng)達(dá)到觸發(fā)條件時,可以得到即刻的控制信號,消除網(wǎng)絡(luò)通信延遲帶來的影響。本文具體貢獻(xiàn)如下:

1)將預(yù)測器放置在系統(tǒng)被控對象側(cè),利用預(yù)估狀態(tài)設(shè)計一種新的觸發(fā)機(jī)制,提前觸發(fā),消除控制器到對象之間的網(wǎng)絡(luò)延遲影響。

2)考慮系統(tǒng)狀態(tài)不可測穩(wěn)態(tài),首先設(shè)計系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器,然后使用觀測到的狀態(tài)設(shè)計模型預(yù)測器。

3)利用擴(kuò)維技術(shù)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并證明系統(tǒng)不存在Zeno行為。最后通過仿真驗(yàn)證此方法的有效性。

2 問題描述

考慮以下線性系統(tǒng)

(1)

其中x(t),u(t),y(t)分別表示系統(tǒng)的狀態(tài),輸入和測量輸出,A∈Rn×n,B∈Rn×m,C∈Rm×n為已知系數(shù)矩陣,h表示系統(tǒng)的總延遲時間,基于預(yù)測模型的事件觸發(fā)控制網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 基于預(yù)測模型的事件觸發(fā)控制網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

假設(shè)1 系統(tǒng)矩陣(A,B)是可控的,(A,C)是可觀測的。

在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中控制器側(cè)的通信延遲為Δ1,控制器到被控對象側(cè)的通信延遲為Δ2,系統(tǒng)的總通信延遲為h=Δ1+Δ2,并且假設(shè)通信延遲時間已知。

本文通過設(shè)計系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器,利用觀測狀態(tài)設(shè)計系統(tǒng)的模型預(yù)測器,使用預(yù)估的未來狀態(tài)設(shè)計新的事件觸發(fā)機(jī)制和相應(yīng)的控制器,使存在雙延遲的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

3 主要成果

在這一章,首先給出狀態(tài)觀測器的設(shè)計,利用狀態(tài)觀測器觀測系統(tǒng)的狀態(tài),然后設(shè)計系統(tǒng)的模型預(yù)測器,并使用系統(tǒng)未來狀態(tài)設(shè)計出相應(yīng)的事件觸發(fā)機(jī)制,最后證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性并且證明系統(tǒng)不會發(fā)生Zeno行為。

3.1 觀測器設(shè)計

首先,構(gòu)造系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器如下

(2)

令觀測誤差為

(3)

則有

(4)

可以得到

(5)

接下來的引理證明給出的狀態(tài)觀測器能漸近估計其系統(tǒng)狀態(tài)。

引理1:考慮系統(tǒng)(4),如果存在R>0和X=RL,滿足

ATR-CTXT+RA-XC<0

(6)

則觀測器系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定觀測器,觀測增益設(shè)計為L=R-1X。

證明:

取李雅普諾夫函數(shù)V(t)=eT(t)Re(t)

求導(dǎo)可以得到:

(7)

故意味著,所給出的狀態(tài)觀測器為漸進(jìn)穩(wěn)定觀測器。

3.2 預(yù)測器設(shè)計

接下來,用觀測器觀測到的系統(tǒng)狀態(tài)設(shè)計預(yù)測器,預(yù)測出總延遲時間h之后的系統(tǒng)狀態(tài)。

系統(tǒng)(1)的解為:

(8)

故得出未來狀態(tài):

(9)

據(jù)此,構(gòu)造預(yù)測器,利用觀測狀態(tài)來預(yù)測系統(tǒng)未來狀態(tài):

(10)

3.3 事件觸發(fā)機(jī)制和控制器設(shè)計

(11)

其中

(12)

(13)

使用預(yù)測器預(yù)測的系統(tǒng)未來狀態(tài)來判斷是否滿足觸發(fā)條件,在滿足觸發(fā)條件時,系統(tǒng)提前觸發(fā),從而避免了網(wǎng)絡(luò)通信延遲對系統(tǒng)帶來的不利影響。

基于事件觸發(fā)策略,將控制器設(shè)計為

(14)

其中K為反饋增益。

3.4 穩(wěn)定性分析

最后,將證明帶通信延遲的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在基于模型預(yù)測的事件觸發(fā)控制下的穩(wěn)定性。

由于在每個觸發(fā)時間段中u(t)為常數(shù),故系統(tǒng)的預(yù)測器可計算為

(15)

則可以得到系統(tǒng)的觀測狀態(tài)表示為

(16)

對(15)式求一階導(dǎo)數(shù)得到

(17)

聯(lián)立(4)和(17)得到

(18)

將(18)式寫成

(19)

其中

定理1 考慮系統(tǒng)(19),如果存在矩陣M>0,N,使

(20)

其中

=MAT+NTBT+AM+BN

(21)

則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

證明

=ξT(t)Qξ(t)<0

(22)

其中

(23)

Q′=ATP+KTBTP+PA+PBK+PBKKTBTP+σI

令Q<0,則系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。

利用Schur complement引理可以得到

(24)

在上式兩邊乘diag{P-1,P-1,I},令M=P-1,N=KM,則有

(25)

再利用Schur complement引理可以得到

(26)

則控制器增益可以通過解LMI獲得,K=NM-1。

在事件觸發(fā)控制中,系統(tǒng)是否會出現(xiàn)Zeno現(xiàn)象一直是學(xué)者們的關(guān)注點(diǎn)。因此,接下來討論了系統(tǒng)的Zeno行為,證明了系統(tǒng)的事件觸發(fā)間隔是無Zeno行為的。

(27)

證明:

(28)

其中

(29)

的解。

解方程(29)可以得到

(30)

又由事件觸發(fā)條件(11)得到

(31)

則事件觸發(fā)間隔時間滿足

(32)

則:

(33)

1)當(dāng)m>n時:

2)當(dāng)m

綜上,系統(tǒng)事件觸發(fā)間隔時間存在正下界τ>0。

4 仿真研究

在這一章,給出一個數(shù)值例子來說明本文所設(shè)計的基于模型預(yù)測的事件觸發(fā)控制的有效性。

考慮以下線性系統(tǒng)

其中

則通過仿真得到基于模型預(yù)測的事件觸發(fā)控制的系統(tǒng)輸出如圖4所示。

圖4 基于模型預(yù)測的事件觸發(fā)控制的系統(tǒng)輸出

作為對比,無預(yù)測器的系統(tǒng)輸出如圖5所示。

圖5 無預(yù)測器的事件觸發(fā)控制系統(tǒng)輸出

通過上述兩圖可以看出,對于帶有通信延遲的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),加上本文所設(shè)計的預(yù)測器后,可以使系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

5 結(jié)論

本文研究了基于預(yù)測模型的事件觸發(fā)控制的問題,即受網(wǎng)絡(luò)通信雙延遲影響的網(wǎng)絡(luò)控制問題。首先設(shè)計了系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器,接著在系統(tǒng)被控對象側(cè)設(shè)計了模型預(yù)測器來預(yù)測系統(tǒng)未來狀態(tài),然后利用預(yù)測的系統(tǒng)未來狀態(tài)設(shè)計了相應(yīng)的事件觸發(fā)機(jī)制,使系統(tǒng)提前觸發(fā)并計算對應(yīng)的控制率,給控制器留出了時間裕量,使系統(tǒng)狀態(tài)在觸發(fā)時刻可以即刻得到相應(yīng)的控制信號。消除了網(wǎng)絡(luò)通信延遲帶來的不利影響,最后通過擴(kuò)維技術(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并且證明了系統(tǒng)不存在Zeno行為。并且通過仿真實(shí)例說明了基于預(yù)測模型的事件觸發(fā)控制的有效性。