胡卓群

1973年，美國(guó)得克薩斯大學(xué)奧斯汀分校將新落成的數(shù)學(xué)、物理和天文學(xué)大樓命名為“穆爾樓”，這是為了紀(jì)念20世紀(jì)早期點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的奠基人之一——羅伯特·李·穆爾（Robert Lee Moore）。

在當(dāng)時(shí)，有6位知名數(shù)學(xué)家為這棟大樓的落成做了報(bào)告。他們分別是：坎農(nóng)（J. Cannon）、麥克米倫（D. McMillan）、查普曼（T. Chapman）、凱利（J. Kelley）、雷蒙德（F. Raymond）和柯比（R. Kirby）。這6位數(shù)學(xué)家無一例外地都是穆爾的再傳弟子。穆爾對(duì)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)做出了杰出貢獻(xiàn)，人們把他和追隨者稱為得州拓?fù)鋵W(xué)派。此外，他也是一位有影響的數(shù)學(xué)教育家。

極具影響力的美國(guó)數(shù)學(xué)家

穆爾的家世可以追溯到17世紀(jì)的新英格蘭地區(qū)。他的先祖于1642年從英國(guó)移民到了位于美國(guó)東北部的馬薩諸塞州，祖父曾先后在康涅狄格州和佛蒙特州行醫(yī)，主攻內(nèi)科，數(shù)年后當(dāng)他們?nèi)野峄乜的腋裰輹r(shí)，他的長(zhǎng)子留了下來，并且很快搬到了肯塔基州。穆爾的父親查爾斯在1858年前往肯塔基州投奔了他的這位哥哥。美國(guó)內(nèi)戰(zhàn)爆發(fā)后，兄弟倆參加了南方的軍隊(duì)。后來南方軍隊(duì)雖然戰(zhàn)敗，但兄弟倆奇跡般地幸存下來。戰(zhàn)后，他們同弗吉尼亞州的一戶同姓穆爾的人家取得了聯(lián)系，并且雙雙娶了這家的姑娘。后來，查爾斯在得克薩斯州達(dá)拉斯開了一家五金店，和妻子育有6個(gè)子女。穆爾生于1882年，是查爾斯6個(gè)孩子中的老五，他也是全家搬到達(dá)拉斯后出生的第一個(gè)孩子。所以，穆爾雖然祖籍在美國(guó)北方，但卻是一個(gè)實(shí)實(shí)在在、土生土長(zhǎng)的南方人[1]。雖然在他日后的演講里聽不出他有南方口音，但是他的所謂“得克薩斯思想”已經(jīng)無法改變[2]。

由于當(dāng)時(shí)達(dá)拉斯這座城市的建設(shè)剛剛起步，它的公立教育制度尚不完善，穆爾8歲那年進(jìn)入當(dāng)?shù)氐囊凰搅W(xué)校讀書。在上學(xué)期間，他表現(xiàn)出與眾不同的數(shù)學(xué)天分，于是在校長(zhǎng)的建議下他決定報(bào)考得克薩斯大學(xué)。為此，穆爾自學(xué)了微積分。在1898年，不滿16歲的穆爾成功被得州大學(xué)錄取。由于之前已有了深厚的微積分功底，他很快就開始學(xué)習(xí)更深的課程。在當(dāng)時(shí)得州大學(xué)數(shù)學(xué)系主任霍爾斯特德（G. B. Halsted）的影響下，他開始學(xué)習(xí)非歐幾何。僅用了3年，也就是在1901年時(shí)，穆爾便獲得了學(xué)士學(xué)位和碩士學(xué)位，此后便在得州大學(xué)擔(dān)任助教。霍爾斯特德是一個(gè)有真才實(shí)學(xué)的學(xué)者，有些激進(jìn)、固執(zhí)己見，他的這種性格甚至導(dǎo)致他在1902年被得州大學(xué)開除?；魻査固氐碌难孕幸苍S影響了穆爾，后來穆爾也成為了一個(gè)始終捍衛(wèi)自己想法、卻尊重對(duì)手的人。他的這種自信同樣被他帶到了學(xué)術(shù)研究之中。

穆爾留校后不久，由于某種不知名的原因，他離開了得州大學(xué)。盡管霍爾斯特德強(qiáng)烈抗議，力求留下穆爾，但是得州大學(xué)校方還是沒有續(xù)簽?zāi)聽柕暮贤?。因此，?902年到1903年期間，穆爾開始在馬歇爾的一所高中里教數(shù)學(xué)。1902年，穆爾證明了希爾伯特剛出版的新書《幾何基礎(chǔ)》中提到的一條公理是多余的，這一成果吸引了芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系主任穆爾（E. H. Moore）的注意。E. H. 穆爾此前也曾證明過這條公理是多余的，但是穆爾的方法在他看來更加簡(jiǎn)單，用他本人的話說，就是“delightfully simple”[1]。隨后E.H.穆爾在1903年邀請(qǐng)年僅21歲的穆爾前往芝加哥大學(xué)繼續(xù)深造。1905年，穆爾獲得了博士學(xué)位，時(shí)年23歲。他的博士論文題目是《幾何學(xué)的測(cè)量假設(shè)集》（Sets of metrical hypotheses for geometry），指導(dǎo)教師除了E. H. 穆爾外，還有E. H. 穆爾的高足、當(dāng)時(shí)在芝加哥大學(xué)擔(dān)任助教的著名數(shù)學(xué)家維布倫（O. Veblen）[3]。

博士畢業(yè)后，穆爾先后在4所大學(xué)任教：從1905年開始，他在田納西大學(xué)任教，一年后轉(zhuǎn)入普林斯頓大學(xué)，又過了兩年轉(zhuǎn)入西北大學(xué)，三年后進(jìn)入了賓夕法尼亞大學(xué)，最后終于在1920年他“擁有了一份穩(wěn)定的工作”，回到了他的母?！弥荽髮W(xué)奧斯汀分校擔(dān)任助教。短短5年內(nèi)，他就取得了正教授職稱。一直到1969年退休，他都沒有離開得州大學(xué)。

1910年，穆爾同瑪格麗特·麥克萊倫·基（Margaret MacLellan Key）女士結(jié)婚，瑪格麗特是他的賢內(nèi)助，她經(jīng)常會(huì)邀請(qǐng)一些學(xué)生來家中聚會(huì)。這個(gè)傳統(tǒng)被保留了很久，甚至穆爾的得意門生懷爾德（R. L. Wilder）在后來也會(huì)經(jīng)常邀請(qǐng)學(xué)生來家中參加聚會(huì)。事實(shí)上，穆爾的很多習(xí)慣和作風(fēng)都被得州拓?fù)鋵W(xué)派的后輩傳承下來[4]。

穆爾在1931年當(dāng)選國(guó)家科學(xué)院院士，并于1936年擔(dān)任美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主席，為期兩年。如果從1901年獲得碩士學(xué)位并擔(dān)任助教開始，他一直站在講臺(tái)上長(zhǎng)達(dá)68年之久。

穆爾在1916年指導(dǎo)了第一位博士生的論文，一直到1969年退休，共培養(yǎng)了50位博士。他們之中有兩位擔(dān)任過美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主席，4位擔(dān)任過美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主席，3位國(guó)家科學(xué)院院士。至于穆爾的全部傳人，則有驚人的4134人，可謂桃李滿園、枝繁葉茂了。

按照得州大學(xué)慣例，教師到了70歲時(shí)就可申請(qǐng)退休，但是穆爾卻不喜歡過退休的生活，而是繼續(xù)堅(jiān)守在教學(xué)和科研崗位上直到1969年，此時(shí)的穆爾已經(jīng)87歲。5年后，也就是1974年，92歲的穆爾與世長(zhǎng)辭。他的學(xué)生懷爾德評(píng)價(jià)他是“20世紀(jì)上半葉美國(guó)最有影響力的數(shù)學(xué)家之一”。

公理化教學(xué)法

穆爾在幼年時(shí)代就表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)濃厚的興趣和過人的天分，這從他為報(bào)考得州大學(xué)而自學(xué)微積分就可見一斑。彼時(shí)他尚不足16歲。而多年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，就算在微積分理論已經(jīng)建立數(shù)百年并且早已成為數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課的今天，想要吃透這門學(xué)科也不是一件容易的事。穆爾自學(xué)微積分的方法之一便是憑借自己的理解努力證明其中的理論。他用紙將書中的證明過程蓋住，自己去思考如何證明。如果苦思冥想仍不得其解，他就悄悄露出證明過程的第一行，經(jīng)過仔細(xì)研究，他會(huì)去思考后續(xù)的證明。這種方法對(duì)于學(xué)生在初次學(xué)習(xí)定理證明的時(shí)候非常有用。

正是因?yàn)樵谟啄陼r(shí)代打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，穆爾才有可能在已有知識(shí)體系的基礎(chǔ)上更上一層樓。我們今天的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，往往因?yàn)榭荚噳毫Υ螅枰ㄟ^題海戰(zhàn)術(shù)一味注重提高自己的做題能力，卻忽略了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。這樣培養(yǎng)出來的學(xué)生往往解題能力突出但又不求甚解，且極容易對(duì)數(shù)學(xué)本身產(chǎn)生排斥。即使出于考試的需求，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中注重定理的證明，也不該輕易否定，這是在打牢基礎(chǔ)。穆爾的學(xué)習(xí)經(jīng)歷給了我們一個(gè)非常好的例子，也能夠?yàn)槲覀兘裉斓膶W(xué)習(xí)提供啟示；而一個(gè)老師自身的學(xué)習(xí)經(jīng)歷也同樣會(huì)被他滲透給自己的學(xué)生們。穆爾在開設(shè)“位置分析”討論班時(shí)，也會(huì)讓學(xué)生們對(duì)定理的證明展開討論，甚至?xí)?jīng)常把一些尚未解決的問題拿到課堂上討論。這種別出心裁的教學(xué)方式，和他曾經(jīng)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷是分不開的。穆爾在賓夕法尼亞大學(xué)任教期間，也就是1916年，指導(dǎo)了他的第一個(gè)博士克萊因（J. R. Kline）畢業(yè)，克萊因后來在1941年到1950年間擔(dān)任美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的秘書。在賓夕法尼亞大學(xué)，穆爾有3個(gè)博士生，其中一位還是女性。1920年，他回到得州大學(xué)奧斯汀分校任教后，在這里指導(dǎo)了第四個(gè)博士，就是后來曾擔(dān)任美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)和美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主席的著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)文化研究的先驅(qū)者懷爾德。懷爾德是穆爾的“位置分析”討論班的直接受益者之一[5]。

穆爾早在芝加哥大學(xué)上學(xué)的時(shí)候，腦海中就已經(jīng)有了公理化教學(xué)的初步想法。由于他自己多次在課堂上和老師“比賽”看誰證明得快，所以他十分主張讓學(xué)生自己去探索知識(shí)[6]。但當(dāng)他把自己的想法說給維布倫聽時(shí)，維布倫感到十分不可思議甚至荒唐，但是E.H.穆爾主任卻對(duì)這種新奇的做法表示欣賞，認(rèn)為這種方法也許有一定的優(yōu)點(diǎn)和可取之處[6]。于是早在他尚就職于賓夕法尼亞大學(xué)時(shí)，穆爾就按這種方式辦了“位置分析”討論班（那時(shí)拓?fù)鋵W(xué)還被稱作“位置分析”），頗獲成功?！拔恢梅治觥痹诋?dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中還是一個(gè)相對(duì)較新的領(lǐng)域。

穆爾很大程度是通過自己的直接接觸或了解來挑選討論班中的學(xué)生，其余的一小部分學(xué)生則是通過平時(shí)選修課的接觸選出來的。被他選中的學(xué)生會(huì)由他一直帶到博士畢業(yè)。討論班的規(guī)模很小，通常由4到8個(gè)人組成。而后，他會(huì)提供些有限的材料，使學(xué)生對(duì)問題有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，再對(duì)他所提出的問題進(jìn)行證明[5]。穆爾鼓勵(lì)學(xué)生之間進(jìn)行良好的競(jìng)爭(zhēng)，并且相對(duì)研究問題本身來說，他更加注重學(xué)生研究問題的方法。這種從簡(jiǎn)單的公理出發(fā)，以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫛⑶擅畹姆椒▉碜C明數(shù)學(xué)問題的方法，在我們今天的數(shù)學(xué)研究和教學(xué)之中是極常用的。穆爾的這種獨(dú)特的教學(xué)方法被后人稱為“穆爾教學(xué)法”（the Moore method），是將公理化思想運(yùn)用到教學(xué)中的一個(gè)重要體現(xiàn)。雖然穆爾本人并未推廣他的教學(xué)方法，但是后人對(duì)這種“穆爾教學(xué)法”推崇備至，其影響深遠(yuǎn)，甚至被廣泛應(yīng)用到美國(guó)后來的中小學(xué)教育之中。

得州拓?fù)鋵W(xué)派

穆爾一生致力于數(shù)學(xué)研究，共發(fā)表了67篇學(xué)術(shù)論文，出版一部專著，涉及點(diǎn)集拓?fù)?、幾何等諸多領(lǐng)域。穆爾在研究點(diǎn)集拓?fù)淝霸鴪?zhí)著于幾何學(xué)的研究。他一共發(fā)表了6篇幾何學(xué)的相關(guān)論文，包括1905年的博士論文《幾何學(xué)的測(cè)量假設(shè)集》（發(fā)表于1908年）、1907年的《幾何角度解釋每個(gè)三角形的角之和為兩直角》（Geometry in which the sum of the angles of every triangle is two right angles）、1912年的《對(duì)維布倫幾何公理的注釋》（A note concerning Veblens axioms for geometry）、1920年的《〈射影幾何〉第二卷書評(píng)》[與維布倫、楊（J. W. Young）合著]等。在1916到1919年間，他發(fā)展了平面和二維球面的公理化刻畫，并提出了上半連續(xù)分解定理。在后來的教學(xué)中，穆爾常常會(huì)把幾何列為選講課，足以可見他對(duì)這門學(xué)科的熱愛。但是筆者注意到，在1905年到1915年間，也就是穆爾獲得博士學(xué)位后的10年內(nèi)，他幾乎處于一個(gè)低學(xué)術(shù)產(chǎn)出的狀態(tài)，這和他后來在得州大學(xué)任教時(shí)取得的成就顯然不匹配。

穆爾在他全部的學(xué)術(shù)生涯中，取得的最引人注目的成績(jī)應(yīng)在點(diǎn)集拓?fù)浞懂?。眾所周知，拓?fù)鋵W(xué)的萌芽產(chǎn)生于古老的“七橋問題”“四色問題”等。而真正有意識(shí)地去研究拓?fù)鋵W(xué)，是從德國(guó)大數(shù)學(xué)家黎曼開始；真正將現(xiàn)代意義的拓?fù)鋵W(xué)作為一門獨(dú)立的學(xué)科去研究，則是大師龐加萊的功勞。后來，在20世紀(jì)上半葉，經(jīng)過世界各地?cái)?shù)學(xué)家的不懈努力，拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展成了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)、一般拓?fù)鋵W(xué)、微分拓?fù)鋵W(xué)等分支，并成為當(dāng)代數(shù)學(xué)的核心和支柱。時(shí)至今日，每一位數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生都必須學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)，就像理發(fā)師必須會(huì)拿剪刀、廚師一定能顛勺一樣。這已經(jīng)成為全世界的共識(shí)。點(diǎn)集拓?fù)湔嬲鳛橐婚T獨(dú)立的學(xué)科誕生，是從德國(guó)數(shù)學(xué)家豪斯道夫（F. Hausdorff）在1914年出版的《集合論基礎(chǔ)》開始[7]。他在這本書中第一次給出了較為完善的拓?fù)淇臻g的定義，進(jìn)而開創(chuàng)了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的研究。

穆爾首次接觸拓?fù)鋵W(xué)是在芝加哥大學(xué)。在研究拓?fù)鋵W(xué)時(shí)，他遵循了康托爾（G. Cantor）和舍恩弗里斯（A. Schoenflies）的“點(diǎn)集拓?fù)洹甭肪€，同樣是以公理化思想作為依托。這種極度理性的思想繼承自他的恩師E. H. 穆爾主任，而E. H. 穆爾的公理化思想也影響到了做代數(shù)拓?fù)溲芯康木S布倫。穆爾后來于1916年正式發(fā)表了自己在拓?fù)鋵W(xué)方面的第一篇文章《平面位置分析的基礎(chǔ)》（On the foundations of plane analysis situs），拉開了他在點(diǎn)集拓?fù)渲懈冻霎吷难男蚰?，這篇文章也成為得州拓?fù)鋵W(xué)派成員和其他后來者研究點(diǎn)集拓?fù)涞闹匾Y料。在《平面位置分析的基礎(chǔ)》一文中，穆爾首先給出了展開列的概念：假設(shè){Ui}是拓?fù)淇臻gX的開覆蓋列，對(duì)任意的x∈X，記Ui=∪{U∈Ui | x∈U}，若族{Ui（x） | x∈U}都是x的局部基，則稱{Ui}是X的展開列[8]。這是對(duì)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的研究具有推進(jìn)意義的重要概念，它也經(jīng)常出現(xiàn)在穆爾的其他論文中。后來，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞歷山德羅夫（P. S. Alexandroff）和烏雷松（P. S. Urysohn）等人在1923年通過穆爾定義的展開列，給出了拓?fù)淇臻g的可度量化準(zhǔn)則。而具有展開列的空間叫做可展空間，正則的可展空間叫做穆爾空間（Moore Space）。這一系列的概念和理論為后人的研究搭建了重要的基石，甚至現(xiàn)在仍然有人在研究穆爾空間的問題，穆爾空間是否可度量化的爭(zhēng)議現(xiàn)在仍未完全得到解決。

穆爾1932年在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)出版了《點(diǎn)集基礎(chǔ)理論》（Foundations of point set theory），這本書是學(xué)術(shù)討論會(huì)系列出版物的第13卷，在1962年得到修訂，也是他公理化思想的一個(gè)重要體現(xiàn)。這本書以1929年他在科羅拉做的演講為基礎(chǔ)，構(gòu)造了一個(gè)以點(diǎn)和區(qū)域?yàn)榛拘g(shù)語的基本公理系統(tǒng)。這部書和之前出版的《平面位置分析的基礎(chǔ)》有著千絲萬縷的聯(lián)系，但是他并沒有直接使用原來的公理，而是提出了新的公理。在這個(gè)公理的基礎(chǔ)上，第一章就證明了183個(gè)定理，為他自己和他人后續(xù)的研究提供了一個(gè)重要的參考。

除拓?fù)鋵W(xué)和幾何學(xué)外，穆爾在其他學(xué)科也取得了不錯(cuò)的成績(jī)，如分析、曲線理論等[9]。這里不過多敘述。

穆爾培養(yǎng)了許多學(xué)生，他和他的追隨者被稱為穆爾學(xué)派，由于他的絕大多數(shù)博士生是在得州大學(xué)培養(yǎng)的，所以也將穆爾學(xué)派叫作得州拓?fù)鋵W(xué)派。得州拓?fù)鋵W(xué)派群星璀璨，其骨干成員包括著名數(shù)學(xué)家懷爾德、克萊因、賓（R. H. Bing）等，和萊弗謝茨（S. Lefschetz）的普林斯頓拓?fù)鋵W(xué)派、亞歷山德羅夫的莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派等形成百家爭(zhēng)鳴之勢(shì)，是那時(shí)候研究拓?fù)鋵W(xué)的中堅(jiān)力量。

懷爾德是穆爾最得意的弟子。穆爾曾經(jīng)說：“在得州大學(xué)我所有獲得博士學(xué)位的學(xué)生中，懷爾德博士是最出色的一個(gè)?！盵10]懷爾德的本科和碩士均就讀于布朗大學(xué)，并且在1921年獲得了保險(xiǎn)精算的碩士學(xué)位。隨后，他來到了以保險(xiǎn)精算著稱的得州大學(xué)奧斯汀分校準(zhǔn)備繼續(xù)深造，但是卻被純數(shù)學(xué)深深吸引。懷爾德報(bào)名參加了穆爾的“位置分析”討論班，但卻受到穆爾的無視。穆爾認(rèn)為，懷爾德是一個(gè)保險(xiǎn)精算碩士，這樣的人是不可能在拓?fù)鋵W(xué)上有所建樹的——的確，懷爾德參加所謂“純數(shù)學(xué)”的討論班幾乎不可能對(duì)自己的保險(xiǎn)精算事業(yè)有意義。但是后來懷爾德解決了一個(gè)克萊因正在證明的問題，終于吸引了穆爾的注意。穆爾邀請(qǐng)懷爾德將這個(gè)定理寫成博士論文，至此，懷爾德徹底放棄了保險(xiǎn)精算事業(yè)，改行研究拓?fù)鋵W(xué)。在他的100多篇論文中，拓?fù)鋵W(xué)方面占據(jù)半數(shù)以上。

穆爾沉迷于點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的研究，卻對(duì)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)視而不見。和穆爾不同的是，懷爾德在1930年代發(fā)現(xiàn)了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的意義，并將自己的學(xué)生斯廷羅德（N. E. Steenrod）推薦給普林斯頓學(xué)派的萊弗謝茨學(xué)習(xí)代數(shù)拓?fù)洹褷柕峦瑯右彩且晃唤艹龅慕逃ぷ髡?，他培養(yǎng)了26個(gè)博士，且共有傳人368名，較為知名的有雷蒙德、斯廷羅德等人，而斯廷羅德的本科訓(xùn)練也是在懷爾德的指導(dǎo)下完成的。他開創(chuàng)了密歇根拓?fù)鋵W(xué)派，在美國(guó)影響力極大。他始終堅(jiān)持公理化思想，并主張中小學(xué)和本科的教學(xué)中要滲透公理化的思想。同時(shí)，他還是當(dāng)代數(shù)學(xué)文化研究的先驅(qū)者之一，主張從人文的角度去解釋數(shù)學(xué)這門學(xué)科。他先后出版了《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)簡(jiǎn)介》（1952年）、《數(shù)學(xué)概念的進(jìn)化：一個(gè)初步的研究》（1968年）、《數(shù)學(xué)作為一種文化體系》（1981年）等書，堅(jiān)信數(shù)學(xué)這門學(xué)科是人類文化的重要組成部分，應(yīng)該將數(shù)學(xué)作為文化研究的一部分去做數(shù)學(xué)的研究工作。

在懷爾德前，穆爾在賓夕法尼亞大學(xué)還培養(yǎng)了三位博士生，分別是克萊因、哈利特（G. H. Hallett）和穆利金（A. Mulliin）。這三位之中，哈利特和穆利金二人目前可查的數(shù)學(xué)成果只有他們的學(xué)位論文。哈利特后來轉(zhuǎn)行做政治學(xué)，穆利金一直在中學(xué)任教。而克萊因在博士畢業(yè)之后，便留在了賓夕法尼亞大學(xué)任教，從事研究工作。他在數(shù)學(xué)上取得了相當(dāng)不俗的成績(jī)，穆爾唯一的一篇與他人共同署名的論文就是同克萊因合作的?？巳R因和老師穆爾保持著良好的友誼，他們會(huì)彼此推薦資質(zhì)較好的學(xué)生，并且直到1955年克萊因去世，他們都有書信往來。

1965年，美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)制作了一部名為《課堂上的挑戰(zhàn)：穆爾方法》的紀(jì)錄片。穆爾借影片的旁白之口表示，比起引導(dǎo)式的學(xué)習(xí)，他更愿意自己探索真理。他將這種觀點(diǎn)始終貫徹在自己的科研和教學(xué)之中。他喜歡憑借自己的努力攻克難題，也希望學(xué)生這樣做。正是因?yàn)橛羞@樣純粹的探索精神，他在自己的領(lǐng)域取得了令人稱奇的成績(jī)?？梢哉f穆爾是碩果累累的研究型科學(xué)家之一，在純數(shù)學(xué)上的成就尤為耀眼，他是20世紀(jì)初拓?fù)鋵W(xué)承前啟后的人物，也是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展過程中的一個(gè)關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)式人物。

[本文獲國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金項(xiàng)目（1212 6411）資助。]

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[5]劉鵬飛， 徐乃楠， 王濤. 懷爾德的數(shù)學(xué)文化研究.北京： 清華大學(xué)出版社， 2021.

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[9]Wilder R L. The mathematical work of R.L.Moore： Its background， nature and influence. Arch Hist Exact Sci， 1982， 1（26）： 73–97.

[10]Whyburn L. R. L. Moores First Doctoral Student At Texax. In： Millett K C. Algebraic and Geometric Topology： Proceedings of a Symposium held at Santa Barbara in honor of Raymond L. Wilder， July 25-29， 1977. Berlin， Heidelberg： Springer-Verlag， 1978： 33.

關(guān)鍵詞：得州拓?fù)鋵W(xué)派 穆爾教學(xué)法 ■