錢(qián)德春 郯信祥 李光紅

【摘要】數(shù)學(xué)教師不只停留在解題、講題、命題，還應(yīng)以更廣闊的視野，更科學(xué)的精神對(duì)試題進(jìn)行深入的研究.文章通過(guò)對(duì)2022年泰州中考數(shù)學(xué)填空壓軸題的再探究過(guò)程，以新的視角挖掘試題的新內(nèi)涵，用新的觀點(diǎn)收獲試題的新價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】試題;推廣;探究;內(nèi)涵;價(jià)值

2022年泰州市學(xué)業(yè)水平考試試卷第16題（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“泰州卷第16題”）面世后，引來(lái)眾多數(shù)學(xué)教師的關(guān)注，認(rèn)為試題源于教材、高于教材、著眼素養(yǎng)，具有很高的研究?jī)r(jià)值.文[1]對(duì)試題的命題立意、素材來(lái)源、思路分析等進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，在用幾何直觀的方法得出結(jié)論后，分別用演繹推理和代數(shù)運(yùn)算的方法對(duì)試題進(jìn)行了理性研究，并將特定直角三角形中的結(jié)論在任意直角三角形、任意三角形中進(jìn)行了推廣.不少教師在文[1]的基礎(chǔ)上對(duì)試題開(kāi)展了更深入的研究與思考.本文結(jié)合相關(guān)信息，呈現(xiàn)對(duì)“泰州卷第16題”的試題新解，另類(lèi)推廣，類(lèi)比探究與歸納提煉的過(guò)程，以饗讀者.

1原題呈現(xiàn)

（泰州卷第16題）如圖1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O為內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別與AC，AB相交于D，E，若DE＝CD+BE，則CD的長(zhǎng)為.

2文[1]簡(jiǎn)述

文[1]首先利用幾何直觀得出結(jié)果.簡(jiǎn)要過(guò)程如下：

當(dāng)DE∥BC（如圖2①）時(shí)，由CO平分∠ACB，OB平分∠ABC有OD＝CD，OE＝BE，此時(shí)DE＝CD+BE，故有CD＝OD=2.

設(shè)DE關(guān)于AO的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)段為D′E′（如圖2②），易證D′E′＝DE＝CD+BE.由DE∥BC有△ADE∽△ACB，可得AE＝152＝AE′，故CE′＝AC－AE′＝8－152＝12，即原題所求CD的長(zhǎng)為12.

綜上所述：CD的長(zhǎng)為2或12.

這是用幾何直觀的方法得到“泰州卷第16題”的CD長(zhǎng)有兩解，是否存在其他情形，還應(yīng)進(jìn)行真正意義上的求解，即從條件出發(fā)探求結(jié)論.文[1]又分別用演繹推理與代數(shù)運(yùn)算的一般方法對(duì)“泰州卷第16題”進(jìn)行了研究，并將結(jié)論由特定的直角三角形在任意直角三角形和三角形中進(jìn)行了推廣.

3試題新解

“泰州卷第16題”還有其他方法嗎？如果我們跳出初中數(shù)學(xué)來(lái)研究，發(fā)現(xiàn)答案是肯定的，比如解析法、向量法為解決此類(lèi)幾何計(jì)算與證明問(wèn)題提供了重要的思路.

1．解析法

如圖3，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC邊所在直線(xiàn)為x軸，BC邊所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（8，0），B（0，6），O（2，2），直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式為：y=－34x+6.

當(dāng)直線(xiàn)DE∥BC時(shí)，易求得CD＝2.

當(dāng)直線(xiàn)DE與BC不平行時(shí)，設(shè)直線(xiàn)DE的表達(dá)式為y=kx+b，由于DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（2，2），故有b=－2k+2，所以y=kx－2k+2，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2k－2k，0）.

直線(xiàn)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，B時(shí)的k值分別為k＝1，k＝－2，所以k≤－2或k≥1.

將y=－34x+6與y=kx－2k+2聯(lián)立求得點(diǎn)E（8k+164k+3，18k+64k+3），所以DE2=（8k+164k+3－2k－2k）2+（18k+64k+3）2＝（18k+64k+3）2（1k2+1），所以DE=18k+64k+31k2+1，由k≤－2或k≥1有：DE=（18k+64k+3）1k2+1，而B(niǎo)E2=（6－18k+64k+3）2+（8k+164k+3－0）2＝（k+24k+3）2·102，所以BE=10k+204k+3，由k≤－2或k≥1有BE=10k+204k+3.因?yàn)镈E＝CD+BE，所以（18k+64k+3）1k2+1＝10k+204k+3+2k－2k，整理得：12k3－7k2－12k=0，因?yàn)閗≠0，所以12k2－7k－12=0，解得：k1=43，k2=－34.

當(dāng)k＝－34時(shí)，DE∥AB，不符合題意，舍去，所以k＝43，從而求得CD＝2k－2k＝12.

綜上所述，CD的長(zhǎng)度共有2或12兩種情形.

2．向量法

如圖4，設(shè)D（m，0）（m>0），因?yàn)镈E＝CD+BE，所以DE=DC+CB+BE，（1）

|DE|=|DC|+|BE|，（2）

［（1）2－（2）2］÷2得：18+DC·BE+CB·BE=|DC|×|BE|，所以18+|BE|×|DC|×（－45）+|BE|×6×（－35）=|DC|×|BE|，故BE＝10|DC|+2=10m+2.

由于BE的起點(diǎn)為B（0，6），斜率為kBE=－34，故BE的終點(diǎn)E為（0+11+（－34）2·10m+2，6+－341+（－34）2·10m+2），即（8m+2，6m+6m+2），所以CE＝（8m+2，6m+6m+2）.

由C（0，0），D（m，0），有CD＝（m，0），因?yàn)镺為內(nèi)心，所以O(shè)（2，2），所以CO＝（2，2），因?yàn)辄c(diǎn)D，O，E共線(xiàn)，所以CO＝λCD+（1－λ）CE，即（2，2）＝λ（m，0）+（1－λ）（8m+2，6m+6m+2）＝（λm+（1－λ）·8m+2，（1－λ）·6m+6m+2），

所以λm+（1－λ）·8m+2=2，（3）

（1－λ）·6m+6m+2=2，（4）

由（4）得：λ=2m+13（m+1），（5）

將（5）代入（3）并整理得：2m2－5m+2=0，所以m1=2，m2=12，即CD的長(zhǎng)為2或12.

4另類(lèi)推廣

數(shù)學(xué)具有結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)美、統(tǒng)一美.文[1]對(duì)“泰州卷第16題”的圖形及結(jié)論在任意三角形中的推廣涉及3條信息：①DE＝CD+BE；②直線(xiàn)DE過(guò)△ABC的內(nèi)心；③△ADE與△ABC相似.如果將其中兩條信息作為條件，剩下的一條信息作為結(jié)論，可以得到如下3個(gè)命題：②③①；①③②；①②③.這3個(gè)命題都成立嗎？換言之，它們是否具有對(duì)稱(chēng)、統(tǒng)一的關(guān)系呢？本文分別加以研究.

命題一已知：△ABC中，O為內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交AC，AB邊于點(diǎn)D，E，且△ADE與△ABC相似.求證：DE＝CD+BE.

證明如圖5①，當(dāng)△ADE∽△ACB時(shí)，∠ADE＝∠ACB，所以DE∥BC，連接OC，OB，則∠BCO＝∠DOC.因?yàn)镺為△ABC的內(nèi)心，所以∠BCO＝∠DCO，所以∠DCO＝∠DOC，故DO＝DC.同理EO＝EB，所以DE＝DO+EO＝CD+BE.

如圖5②，當(dāng)△ADE∽△ABC時(shí)，∠ADE＝∠ABC，過(guò)點(diǎn)O作D1E1∥BC與AC，AB邊分別相交于點(diǎn)D1，E1.由前述證明可知∠AE1D1＝∠B，所以∠AE1D1＝∠ADE，連接OA，則∠OAD＝∠OAE1，所以△OAD≌△OAE1，故AE1＝AD，從而證得△ADE≌△AE1D1，所以AE＝AD1，故DD1＝EE1，所以DE＝D1E1＝CD1+BE1＝CD+DD1+BE－EE1＝CD+BE.

命題一得證.

命題二已知：△ABC中，直線(xiàn)DE分別交AC，AB邊于點(diǎn)D，E，且DE＝CD+BE，△ADE與△ABC相似.求證：直線(xiàn)DE過(guò)△ABC的內(nèi)心.

證明如圖6，設(shè)∠A的平分線(xiàn)交DE于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O分別作AC，AB，BC的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，L，連接OB，OC，設(shè)AB＝c，BC＝a，CA＝b，AE＝n，AD＝m，DE＝d，OM＝ON＝r，OL＝h.

由△ADE與△ABC相似有：DEBC=C△ADEC△ABC，S△ADES△ABC＝（C△ADEC△ABC）2，即da=b+cb+c+a，所以b+c－db+c=b+cb+c+a，所以S△ADES△ABC＝（C△ADEC△ABC）2＝（b+cb+c+a）2＝b+cb+c+a·b+c－db+c＝b+c－db+c+a＝m+nb+c+a，而S△ADES△ABC＝S△AOE+S△AODS△COA+S△BOA+S△BOC＝12mr+12nr12br+12cr+12ah，所以m+nb+c+a＝（m+n）r（b+c）r+ah，解得h＝r.所以點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心.

命題二得證.

命題三已知：△ABC中，O為內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交AC，AB邊于點(diǎn)D，E，且DE＝CD+BE.求證：△ADE與△ABC相似.

文[1]給出了命題三正確性的說(shuō)明，下面從另一個(gè)角度來(lái)證明其正確性.

證明如圖7，設(shè)△ADE在DE外側(cè)的旁切圓I與各邊或延長(zhǎng)線(xiàn)相切于點(diǎn)F，G，H，連接IF，IC，IG，IH，IB，IA，則IF＝IG＝IH，DE＝DF+EH，點(diǎn)I，O，A共線(xiàn).

因?yàn)镈E＝CD+EB＝DF+EH，所以DF－CD＝EB－EH，即CF＝BH，所以△IFC≌△IHB，所以∠FIC＝∠HIB，故∠CIB+∠CAB＝180°，所以A，B，I，C四點(diǎn)共圓.因?yàn)辄c(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，所以IO＝IB＝IC，從而有△IFC≌△IHB≌△IGO.

因?yàn)橹本€(xiàn)DE過(guò)點(diǎn)O且與⊙I相切，所以，當(dāng)切點(diǎn)G在AI上方（如圖7①）時(shí)，∠ADE＝∠FIG，由A，C，I，B四點(diǎn)共圓有∠ACB＝∠AIB＝∠AIH+∠HIB＝∠AIF+∠GIO＝∠FIG，所以∠ADE＝∠ACB，所以DE∥BC，故△ADE∽△ACB.當(dāng)切點(diǎn)G在AI下方（如圖7②）時(shí)，∠ADE＝∠FIG＝∠CIA，由A，C，I，B四點(diǎn)共圓有∠CIA＝∠CBA，所以∠ADE＝∠ABC，所以△ADE∽△ABC.

命題三得證.

5類(lèi)比探究

我們知道：三角形的旁心與內(nèi)心具有許多特殊且相似的性質(zhì).那么將“泰州卷第16題”中“DE過(guò)內(nèi)心”改為“DE過(guò)旁心”，與上述3個(gè)命題類(lèi)似的結(jié)論是否成立呢？

命題四已知：I為△ABC在BC外側(cè)的旁心，過(guò)點(diǎn)I的直線(xiàn)分別交AC，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，E，且△ADE與△ABC相似.求證：DE＝CD+BE.

證明如圖8①，當(dāng)△ADE∽△ACB時(shí)，∠ADE＝∠ACB，所以DE∥BC，連接IC，IB，則∠BCI＝∠DIC.因?yàn)镮為△ABC的旁心，所以∠BCI＝∠DCI，即∠DCI＝∠DIC，所以DI＝DC.同理EI＝EB，所以DE＝DI+EI＝CD+BE.

如圖8②，當(dāng)△ADE∽△ABC時(shí)，∠ADE＝∠ABC，過(guò)點(diǎn)I作D1E1∥BC分別與直線(xiàn)AC，AB相交于點(diǎn)D1，E1，則∠AE1D1＝∠ABC，所以∠AE1D1＝∠ADE，連接IA，則∠IAD＝∠IAE1，所以△IAD≌△IAE1，則AE1＝AD，所以△ADE≌△AE1D1，故DE＝D1E1，AE＝AD1，所以DD1＝EE1，所以DE＝D1E1＝CD1+BE1＝CD－DD1+BE+EE1＝CD+BE.

命題四得證.

命題五已知：直線(xiàn)DE分別交AC，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，E，且DE＝CD+BE，△ADE與△ABC相似.求證：直線(xiàn)DE過(guò)△ABC在BC外側(cè)的旁心.

證明如圖9，設(shè)∠A的平分線(xiàn)交DE于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)I作三邊的垂線(xiàn)，垂足分別為L(zhǎng)，M，N，連接IB，IC，IA，設(shè)AB＝c，BC＝a，CA＝b，AE＝n，AD＝m，DE＝d，IM＝IN＝r，IL＝h.由△ADE與△ABC相似得：DEBC=C△ADEC△ABC，即da=b+c+2da+b+c=b+cb+c-a，所以da=b+cb+c－a=m+nb+c.

由△ADE與△ABC相似得：（da）2=（b+cb+c－a）2＝b+cb+c－a·m+nb+c＝m+nb+c－a，又因?yàn)镾△ADES△ABC＝S△AIE+S△AIDS△CIA+S△BIA－S△BIC＝12mr+12nr12br+12cr－12ah，所以m+nb+c－a＝（m+n）r（b+c）r－ah，解得h＝r.所以點(diǎn)I是△ABC的旁心.

命題五得證.

命題六已知：I為△ABC在BC外側(cè)的旁心，過(guò)點(diǎn)I的直線(xiàn)分別交AC，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，E，且DE＝CD+BE.求證：△ADE與△ABC相似.

證明如圖10，作△ADE的內(nèi)切圓O與各邊切于點(diǎn)F，G，H，易知OF＝OG＝OH，DE＝DH+EF，點(diǎn)I，O，A共線(xiàn).由DE＝DH+EF＝CD+BE有EF－BE＝CD－DH，即BF＝CH，所以△OFB≌△OHC，得∠FOB＝∠HOC，得∠COB+∠CAB＝180°，得A，B，O，C四點(diǎn)共圓，結(jié)合點(diǎn)I是△ABC的旁心易證OI＝OB＝OC，從而△OFB≌△OHC≌△OGI.

因?yàn)镈E過(guò)旁心I且與⊙O相切，當(dāng)切點(diǎn)G在AI上方時(shí)（如圖10），∠AED＝180°－∠FOG＝180°－∠BOI＝∠BOA＝∠BCA，所以△ADE∽△ABC.當(dāng)切點(diǎn)G在AI下方時(shí)易證DE∥BC，所以△ADE∽△ACB（過(guò)程略）.

命題六得證.

6歸納提煉

通過(guò)對(duì)“泰州卷第16題”的研究，得出下列一般性結(jié)論：

結(jié)論一命題的等價(jià)關(guān)系：無(wú)論點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心還是旁心，都能證得3條信息所組成的3個(gè)命題具有等價(jià)關(guān)系.

結(jié)論二CD長(zhǎng)度的確定性：當(dāng)12∠C＜∠B＜2∠C且∠B≠∠C時(shí)，CD的長(zhǎng)度有兩解；當(dāng)∠B＝∠C或∠B＞2∠C或∠B＜12∠C時(shí)，CD的長(zhǎng)度有唯一解.

結(jié)論三線(xiàn)段DE，CD，BE的數(shù)量關(guān)系：當(dāng)D，E兩點(diǎn)分別在線(xiàn)段AC，AB上時(shí)，DE＝CD+BE，當(dāng)D，E兩點(diǎn)中有一點(diǎn)不在線(xiàn)段AB或AC上時(shí)，DE＝|CD－BE|.

結(jié)論四三角形的旁心存在上述類(lèi)似結(jié)論.

根據(jù)上述結(jié)論，還可將“泰州卷第16題”在任意三角形中的結(jié)論改編成如下問(wèn)題：

已知：△ABC中，O為內(nèi)心.

（1）如圖11，若12∠C＜∠B＜2∠C且∠B≠∠C時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)分別交AC，AB邊于點(diǎn)D，E，使DE＝CD+BE.

（2）過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)分別與直線(xiàn)AC，AB相交于點(diǎn)D，E，使∠DEA＝∠C.若CD＝2，BE＝6，求DE的長(zhǎng).

對(duì)于變式（1），根據(jù)前文分析，由∠C<2∠B可知：如果經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且分別與AC，AB邊相交于點(diǎn)D，E的直線(xiàn)滿(mǎn)足DE＝CD+BE，這樣的直線(xiàn)一定有兩種位置：一種是DE∥BC，另一種是∠D′E′A＝∠C.作圖方法如下：（如圖12①）

①過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線(xiàn)分別交邊AC，AB于點(diǎn)D，E；

②在AC邊上截取AD′＝AE，過(guò)點(diǎn)D′，O作直線(xiàn)交AB于點(diǎn)E′.

則線(xiàn)段DE，D′E′即為所求作.（作圖痕跡略）

另外，線(xiàn)段D′E′也可直接作出：如圖12②，在AB邊上任取一點(diǎn)P，以PA為一邊在△ABC內(nèi)作∠APQ＝∠C，PQ交AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)O作D′E′∥PQ，分別交AB，AC于點(diǎn)E′，D′即可.

對(duì)于變式（2），由前文分析可知：若點(diǎn)D，E分別在線(xiàn)段AC，AB上（如圖13①），則有DE＝CD+BE＝6+2＝8；若點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)D在線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上（如圖13②），則有DE＝BE－CD＝6－2＝4.

是否存在“點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上，點(diǎn)E在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上”的情形呢？如圖13③，此時(shí)DE＝CD－BE，則CD>BE，與條件CD＝2，BE＝6矛盾，此情形不存在.

故DE的長(zhǎng)為4或8.

7寫(xiě)在最后

作為中考試卷的填空壓軸題，具有一定的思維含量和適當(dāng)?shù)碾y度，真正起到區(qū)分的作用，有利于發(fā)揮試題的選拔功能.試題由教材習(xí)題改編而來(lái)，充分體現(xiàn)教材內(nèi)容在教學(xué)評(píng)價(jià)中的作用，旨在引導(dǎo)教師重視教材內(nèi)容的命題與教學(xué)價(jià)值.然而，數(shù)學(xué)解題不是數(shù)學(xué)教學(xué)的全部，數(shù)學(xué)教師應(yīng)以更廣闊的視野、更科學(xué)的精神對(duì)試題進(jìn)行深入的研究.我們可以嘗試從多個(gè)角度、向不同方向?qū)?wèn)題進(jìn)行深入的研究與思考，有些方法或許比較復(fù)雜，有些方法也許不一定適合初中教學(xué)，但通過(guò)深入的研究，可以充分挖掘看似普通的試題所蘊(yùn)涵的豐富內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新視角、新思路、新策略，收獲數(shù)學(xué)教學(xué)的高觀點(diǎn)、高立意、高價(jià)值，同時(shí)，我們還能享受到?jīng)]有經(jīng)歷這種研究過(guò)程無(wú)法體驗(yàn)到的愉悅與快樂(lè)！

參考文獻(xiàn)

[1]錢(qián)德春，徐曉劍．源于教材凸顯素養(yǎng)引導(dǎo)教學(xué)——以2022年泰州中考填空壓軸題為例[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（8）：63－66.

作者簡(jiǎn)介錢(qián)德春（1963—），男，江蘇泰州人，中學(xué)正高級(jí)教師;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、解題與教師發(fā)展研究.

郯信祥（1984—），男，江蘇興化人，中學(xué)一級(jí)教師;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)解題、命題研究.

李光紅（1974—），男，江蘇泰州人，中學(xué)高級(jí)教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)、命題和數(shù)學(xué)文化研究.