反復(fù)有?！钪械姆幢壤?/h1>
2023-05-30 19:43:54陳熙嫄
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版 2023年1期
陳熙嫄
可以用反比例函數(shù)模型刻畫的生活現(xiàn)象常因現(xiàn)實(shí)問題中“非負(fù)數(shù)”的限制而導(dǎo)致相關(guān)問題對應(yīng)的都是雙曲線在第一象限的情形——因變量隨著自變量的增大而減小、隨著自變量的減小而增大，簡直就是“反復(fù)無?！?但只要掌握了反比例函數(shù)的性質(zhì)，“無?！弊儭坝谐！币彩且资拢旅嬉黄鹦蕾p3例.
一、表格“單打”
例1（2022·湖南）科技小組為了驗(yàn)證某電路的電壓U（V）、電流I（A）、電阻R（Ω）三者之間的關(guān)系：I=U/R，測得數(shù)據(jù)如下：
R/Ω 100 200 220 400
I/A 2.2 1.1 1 0.55
那么，當(dāng)電阻R=55Ω時(shí)，電流I=_____A.
解析：表格法呈現(xiàn)的函數(shù)關(guān)系對應(yīng)數(shù)值準(zhǔn)確明晰，但不利于計(jì)算表格內(nèi)尚未包含的自變量或因變量的值.因此，需要借助表格內(nèi)自變量與因變量的對應(yīng)關(guān)系求出函數(shù)解析式.把R=220，I=1代入I=U/R得：1= U/220，解得U=220，∴I=220/R，把R=55代入I=220/R得：I=220/55=4，故填4.
點(diǎn)評：函數(shù)關(guān)系有三種基本形式，要善于識(shí)別并因勢、因需靈活轉(zhuǎn)換才行.本題是一道簡單的反比例函數(shù)應(yīng)用題，題目給出的“I=U/R”即鎖定了I與R之間的反比例關(guān)系，由表格數(shù)據(jù)求出反比例函數(shù)的解析式，再代入求值即可. 小技巧：選取計(jì)算量小的一對自變量和因變量數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.
二、圖象“單打”
例2（2022·廣東）某燃?xì)夤居?jì)劃在地下修建一個(gè)容積為V（V為定值，單位：m3）的圓柱形天然氣儲(chǔ)存室，儲(chǔ)存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示.
（1）求儲(chǔ)存室的容積V的值；
（2）受地形條件限制，儲(chǔ)存室的深度d需要滿足16≤d≤25，求儲(chǔ)存室的底面積S的取值范圍.
解析：用圖象法表示函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是形象直觀，能夠清晰呈現(xiàn)函數(shù)的增減變化，不足之處是所畫出的圖象是近似的、局部的，觀察的變量值往往不夠準(zhǔn)確，而這恰恰是解析式可以清晰表示的.
（1）設(shè)解析式為S=V/d，只需借助“一點(diǎn)”（20，500）即可求出V的值為10000（m^3）；
（2）借助反比例函數(shù)的性質(zhì)因變量S隨著自變量d的增大而減小，并結(jié)合“界點(diǎn)”（16，S1）和（25，S2）就可以求出S的范圍為400≤S≤625.
點(diǎn)評：通過函數(shù)關(guān)系把三種表示方法結(jié)合起來，揚(yáng)長避短，優(yōu)勢互補(bǔ).解答本題的關(guān)鍵是確定反比例函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)解析式，計(jì)算“界點(diǎn)”，并結(jié)合反比例函數(shù)變量之間的增減變化解決相關(guān)問題.
三、圖表“混雙”
例3（2022·山東）為加強(qiáng)生態(tài)文明建設(shè)，某市環(huán)保局對一企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L.環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內(nèi)（含15天）排污達(dá)標(biāo).整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y（mg/L）與時(shí)間x（天）的變化規(guī)律如圖所示，其中線段AC表示前3天的變化規(guī)律，第3天時(shí)硫化物的濃度降為4.5mg/L.從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時(shí)間x滿足下面表格中的關(guān)系：
時(shí)間x/天 3 5 6 9 …
硫化物的濃度y/（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …
（1）在整改過程中，當(dāng)0≤x<3時(shí)，硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在整改過程中，當(dāng)x≥3時(shí)，硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；
（3）該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？
解析：函數(shù)的三種表示方法互相補(bǔ)充，相輔相成，一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的“嫁接”出現(xiàn)，體現(xiàn)了本題的綜合性.
（1）“線段AC”表明其對應(yīng)的是一次函數(shù)，由待定系數(shù)法易得y=-2.5x+12（0≤x<3）；
（2）由表格易知x?y=13.5為定值，對應(yīng)的是反比例函數(shù)，易得y=13.5/x（x≥3）；
（3）當(dāng)x=15時(shí)，自變量“進(jìn)入”反比例區(qū)間，易得y=0.9<1.0，且此區(qū)間y隨x的增大而減小，∴該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度可以在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0mg/L.
點(diǎn)評：本題的第一道“待越龍門”是從函數(shù)的圖象和表格中提取信息逆向判斷函數(shù)類型，進(jìn)而求函數(shù)解析式；第二道“待越龍門”是因自變量“分段”對應(yīng)不同的函數(shù)關(guān)系，需要判斷自變量所在區(qū)間，提高了綜合性；第三道“待越龍門”是反比例函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用.題目的綜合性塑造了作答者的“神勇無敵”！
利用反比例函數(shù)解決生活中實(shí)際問題的思路是識(shí)別并鎖定反比例函數(shù)模型，借助“一點(diǎn)”求出反比例函數(shù)解析式，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)借助“界點(diǎn)”做出解答.其實(shí)，這也是函數(shù)應(yīng)用題化“無?！睘椤坝谐！钡耐ㄓ谩皟?nèi)功心法”.
（作者單位：沈撫育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校）
陳熙嫄
可以用反比例函數(shù)模型刻畫的生活現(xiàn)象常因現(xiàn)實(shí)問題中“非負(fù)數(shù)”的限制而導(dǎo)致相關(guān)問題對應(yīng)的都是雙曲線在第一象限的情形——因變量隨著自變量的增大而減小、隨著自變量的減小而增大，簡直就是“反復(fù)無?！?但只要掌握了反比例函數(shù)的性質(zhì)，“無?！弊儭坝谐！币彩且资拢旅嬉黄鹦蕾p3例.
一、表格“單打”
例1（2022·湖南）科技小組為了驗(yàn)證某電路的電壓U（V）、電流I（A）、電阻R（Ω）三者之間的關(guān)系：I=U/R，測得數(shù)據(jù)如下：
R/Ω 100 200 220 400
I/A 2.2 1.1 1 0.55
那么，當(dāng)電阻R=55Ω時(shí)，電流I=_____A.
解析：表格法呈現(xiàn)的函數(shù)關(guān)系對應(yīng)數(shù)值準(zhǔn)確明晰，但不利于計(jì)算表格內(nèi)尚未包含的自變量或因變量的值.因此，需要借助表格內(nèi)自變量與因變量的對應(yīng)關(guān)系求出函數(shù)解析式.把R=220，I=1代入I=U/R得：1= U/220，解得U=220，∴I=220/R，把R=55代入I=220/R得：I=220/55=4，故填4.
點(diǎn)評：函數(shù)關(guān)系有三種基本形式，要善于識(shí)別并因勢、因需靈活轉(zhuǎn)換才行.本題是一道簡單的反比例函數(shù)應(yīng)用題，題目給出的“I=U/R”即鎖定了I與R之間的反比例關(guān)系，由表格數(shù)據(jù)求出反比例函數(shù)的解析式，再代入求值即可. 小技巧：選取計(jì)算量小的一對自變量和因變量數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.
二、圖象“單打”
例2（2022·廣東）某燃?xì)夤居?jì)劃在地下修建一個(gè)容積為V（V為定值，單位：m3）的圓柱形天然氣儲(chǔ)存室，儲(chǔ)存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示.
（1）求儲(chǔ)存室的容積V的值；
（2）受地形條件限制，儲(chǔ)存室的深度d需要滿足16≤d≤25，求儲(chǔ)存室的底面積S的取值范圍.
解析：用圖象法表示函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是形象直觀，能夠清晰呈現(xiàn)函數(shù)的增減變化，不足之處是所畫出的圖象是近似的、局部的，觀察的變量值往往不夠準(zhǔn)確，而這恰恰是解析式可以清晰表示的.
（1）設(shè)解析式為S=V/d，只需借助“一點(diǎn)”（20，500）即可求出V的值為10000（m^3）；
（2）借助反比例函數(shù)的性質(zhì)因變量S隨著自變量d的增大而減小，并結(jié)合“界點(diǎn)”（16，S1）和（25，S2）就可以求出S的范圍為400≤S≤625.
點(diǎn)評：通過函數(shù)關(guān)系把三種表示方法結(jié)合起來，揚(yáng)長避短，優(yōu)勢互補(bǔ).解答本題的關(guān)鍵是確定反比例函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)解析式，計(jì)算“界點(diǎn)”，并結(jié)合反比例函數(shù)變量之間的增減變化解決相關(guān)問題.
三、圖表“混雙”
例3（2022·山東）為加強(qiáng)生態(tài)文明建設(shè)，某市環(huán)保局對一企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L.環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內(nèi)（含15天）排污達(dá)標(biāo).整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y（mg/L）與時(shí)間x（天）的變化規(guī)律如圖所示，其中線段AC表示前3天的變化規(guī)律，第3天時(shí)硫化物的濃度降為4.5mg/L.從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時(shí)間x滿足下面表格中的關(guān)系：
時(shí)間x/天 3 5 6 9 …
硫化物的濃度y/（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …
（1）在整改過程中，當(dāng)0≤x<3時(shí)，硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在整改過程中，當(dāng)x≥3時(shí)，硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；
（3）該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？
解析：函數(shù)的三種表示方法互相補(bǔ)充，相輔相成，一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的“嫁接”出現(xiàn)，體現(xiàn)了本題的綜合性.
（1）“線段AC”表明其對應(yīng)的是一次函數(shù)，由待定系數(shù)法易得y=-2.5x+12（0≤x<3）；
（2）由表格易知x?y=13.5為定值，對應(yīng)的是反比例函數(shù)，易得y=13.5/x（x≥3）；
（3）當(dāng)x=15時(shí)，自變量“進(jìn)入”反比例區(qū)間，易得y=0.9<1.0，且此區(qū)間y隨x的增大而減小，∴該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度可以在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0mg/L.
點(diǎn)評：本題的第一道“待越龍門”是從函數(shù)的圖象和表格中提取信息逆向判斷函數(shù)類型，進(jìn)而求函數(shù)解析式；第二道“待越龍門”是因自變量“分段”對應(yīng)不同的函數(shù)關(guān)系，需要判斷自變量所在區(qū)間，提高了綜合性；第三道“待越龍門”是反比例函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用.題目的綜合性塑造了作答者的“神勇無敵”！
利用反比例函數(shù)解決生活中實(shí)際問題的思路是識(shí)別并鎖定反比例函數(shù)模型，借助“一點(diǎn)”求出反比例函數(shù)解析式，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)借助“界點(diǎn)”做出解答.其實(shí)，這也是函數(shù)應(yīng)用題化“無?！睘椤坝谐！钡耐ㄓ谩皟?nèi)功心法”.
（作者單位：沈撫育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校）
