呂 輝，姜 帥，魏政君，曹懿莎

（1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510641；2.廣西科技大學(xué)，廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，柳州 545006；3.中汽檢測技術(shù)有限公司，廣州 510530）

前言

隨著新能源汽車行業(yè)的迅速發(fā)展，電動(dòng)車成為國內(nèi)外汽車行業(yè)的研究熱點(diǎn)。為適應(yīng)汽車復(fù)雜的運(yùn)行工況，電動(dòng)車驅(qū)動(dòng)電機(jī)向著輕量化、高轉(zhuǎn)矩密度、高功率密度等方向發(fā)展，這使得驅(qū)動(dòng)電機(jī)的振動(dòng)噪聲問題日益突出，影響用戶的駕乘體驗(yàn)［1］。因此，在驅(qū)動(dòng)電機(jī)早期設(shè)計(jì)開發(fā)過程中，需要對驅(qū)動(dòng)電機(jī)進(jìn)行振動(dòng)特性分析，以抑制電機(jī)振動(dòng)噪聲，提高整車NVH性能。

電機(jī)振動(dòng)可以分為機(jī)械振動(dòng)和電磁振動(dòng)兩方面。機(jī)械振動(dòng)由軸承摩擦和轉(zhuǎn)子不平衡等因素引起，電磁振動(dòng)由作用在結(jié)構(gòu)上脈動(dòng)的電磁力波引起。相較于機(jī)械振動(dòng)，電磁振動(dòng)更加突出且不易消除和抑制，是電機(jī)振動(dòng)的主要來源［2］。電磁力波可分解為徑向電磁力波和切向電磁力波：脈動(dòng)的徑向電磁力波會引起驅(qū)動(dòng)電機(jī)沿徑向的振動(dòng)；而脈動(dòng)的切向電磁力波會引起電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，從而使電機(jī)和支架發(fā)生側(cè)向振動(dòng)。目前，針對徑向電磁力波的研究主要集中在分析徑向電磁力波與電磁振動(dòng)的關(guān)系、徑向電磁力波的求解計(jì)算等方面：呂長朋等［3］研究認(rèn)為空載時(shí)零階徑向電磁力引起的振動(dòng)是電機(jī)振動(dòng)的主因；左曙光等［4］建立了有限元模型計(jì)算電機(jī)的徑向電磁力波，并進(jìn)行了靈敏度分析；劉慧娟等［5］以徑向電磁力波為電磁激勵(lì)源，分析了電機(jī)的振動(dòng)噪聲特性；Fakam等［6］考慮永磁體磁導(dǎo)率和轉(zhuǎn)子形狀等因素，采用有限元法和解析法混合求解電機(jī)的氣隙磁場和徑向電磁力波。針對轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的研究主要有兩個(gè)方面：空載下的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)和負(fù)載下的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)［7］?？蛰d下轉(zhuǎn)矩波動(dòng)又稱為齒槽轉(zhuǎn)矩，而轉(zhuǎn)矩波動(dòng)通常指的是負(fù)載下的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，二者需要綜合考慮從而達(dá)到抑制電機(jī)振動(dòng)的目的。目前，針對轉(zhuǎn)矩波動(dòng)和齒槽轉(zhuǎn)矩的研究主要集中在分析切向電磁力波與齒槽轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的關(guān)系、電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩波動(dòng)優(yōu)化方法等方面：蘭華［8］研究認(rèn)為，只有零階切向電磁力波才能對齒槽轉(zhuǎn)矩或轉(zhuǎn)矩波動(dòng)產(chǎn)生貢獻(xiàn)；張立軍等［9］研究了由切向電磁力引起的定子齒部切向變形和轉(zhuǎn)矩波動(dòng)對電磁振動(dòng)的影響；羅玉濤等［10］以轉(zhuǎn)矩波動(dòng)等為優(yōu)化目標(biāo)對驅(qū)動(dòng)電機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。從上述分析可以看出，電機(jī)振動(dòng)特性分析主要是徑向電磁力波、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)和齒槽轉(zhuǎn)矩的分析。

上述關(guān)于驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)的分析，多為確定性分析，即其中的結(jié)構(gòu)和材料等參數(shù)均視為確定參數(shù)。實(shí)際上，受制造裝配誤差、工作溫度變化等因素的影響，汽車結(jié)構(gòu)的參數(shù)往往存在不確定性。例如制造誤差可能造成電機(jī)定轉(zhuǎn)子或永磁體的尺寸波動(dòng)，裝配誤差可能造成氣隙寬度的變化，高轉(zhuǎn)速工況下電機(jī)溫度升高可能導(dǎo)致永磁體磁性能的變化。這些不確定因素在數(shù)值上可能非常小，但多個(gè)不確定因素相互耦合就有可能導(dǎo)致電機(jī)振動(dòng)性能發(fā)生很大的變化［11］。采用傳統(tǒng)的確定性分析方法對驅(qū)動(dòng)電機(jī)的振動(dòng)特性進(jìn)行分析，可能會導(dǎo)致分析結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。近幾年，作者課題組已將參數(shù)不確定性模型應(yīng)用在汽車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)［12-13］、制動(dòng)器系統(tǒng)［14-15］的動(dòng)力學(xué)特性研究，并取得了一些成果，這些研究成果表明考慮汽車結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性能使系統(tǒng)響應(yīng)分析更加合理。因此，有必要對電機(jī)振動(dòng)特性進(jìn)行不確定性分析。

鑒于此，本文提出了一種考慮電機(jī)參數(shù)不確定性的振動(dòng)特性分析方法。首先，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型建立驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性的響應(yīng)模型；然后，結(jié)合泰勒級數(shù)展開和中心差分法，推導(dǎo)了一種求解驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性不確定響應(yīng)的高效分析方法；最后，通過算例驗(yàn)證方法的有效性。分析方法能為后續(xù)開展系統(tǒng)振動(dòng)特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。

1 驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性理論分析

以徑向電磁力密度峰值、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)和齒槽轉(zhuǎn)矩峰值來衡量驅(qū)動(dòng)電機(jī)的振動(dòng)性能。

1.1 徑向電磁力密度

根據(jù)電機(jī)學(xué)原理，忽略飽和作用時(shí)，空載氣隙磁場為

式中：f(θ，t)為永磁同步電機(jī)空載的氣隙磁動(dòng)勢；θ為空間機(jī)械角；t為時(shí)間；轉(zhuǎn)子磁場諧波次數(shù)μ=(2r+1)p，r=0，1，2，…；λ(θ，t)為氣隙磁導(dǎo)；Bμ為轉(zhuǎn)子磁場的μ次諧波磁密的幅值為平均氣隙比磁導(dǎo)為第k次諧波比磁導(dǎo)；ω1為基波旋轉(zhuǎn)角速度；p為極對數(shù)；Z1為定子槽數(shù)。

三相電流通過繞組的負(fù)載工況下，繞組電流產(chǎn)生的定子磁場為

式中：Bv為定子磁場的v次諧波磁密的幅值；定子磁場諧波次數(shù)v=(6s+1)p，s=0，± 1，± 2，…；φ為定子繞組電流的相位。

負(fù)載工況下氣隙磁場為空載氣隙磁場和繞組電流產(chǎn)生的定子磁場之和，即

根據(jù)麥克斯韋應(yīng)力張量理論，徑向氣隙電磁力密度為

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；br和bt分別為負(fù)載工況下的徑向和切向氣隙磁密。

1.2 轉(zhuǎn)矩波動(dòng)

在電機(jī)負(fù)載工況下，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)來源于齒槽轉(zhuǎn)矩、磁阻轉(zhuǎn)矩諧波分量和永磁轉(zhuǎn)矩諧波分量。氣隙中的切向電磁力可由麥克斯韋應(yīng)力張量法計(jì)算：

故輸出轉(zhuǎn)矩計(jì)算公式為

式中：C是氣隙中以轉(zhuǎn)子中心為圓心、半徑為R的任意圓；L是轉(zhuǎn)子的軸向長度。

轉(zhuǎn)矩波動(dòng)為

式中：Tmax、Tmin和Tavg分別是一個(gè)周期內(nèi)輸出轉(zhuǎn)矩的最大值、最小值和均值。

1.3 齒槽轉(zhuǎn)矩

齒槽轉(zhuǎn)矩是由定子齒和轉(zhuǎn)子永磁體相互作用的切向電磁力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，它疊加在輸出轉(zhuǎn)矩上，是轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的一部分［16］。電機(jī)空載工況下的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)完全來源于電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩。

與電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩計(jì)算類似，齒槽轉(zhuǎn)矩計(jì)算公式為

式中bmr和bmt分別是空載工況下的徑向和切向氣隙磁密。

2 考慮參數(shù)不確定性的振動(dòng)特性分析

工程實(shí)際中，汽車驅(qū)動(dòng)電機(jī)可能存在這樣的不確定情形：定子、永磁體等的結(jié)構(gòu)尺寸由于方便測量，可以獲得較為充足的樣本信息，適合采用隨機(jī)變量描述；電機(jī)氣隙寬度、永磁體材料磁性能等參數(shù)由于不易實(shí)際獲取，缺乏足夠的樣本數(shù)據(jù)，宜視為未知但有界的區(qū)間變量。

假設(shè)電機(jī)中存在m個(gè)隨機(jī)變量，組成隨機(jī)向量x=[x1，x2，…，xm]T；同時(shí)還存在n個(gè)區(qū)間變量，組成區(qū)間向量y=[y1，y2，…，yn]T。為便于分析，以F(x，y)、W(x，y)和T(x，y)分別表示隨機(jī)與區(qū)間混合不確定情形下汽車驅(qū)動(dòng)電機(jī)的徑向電磁力密度峰值、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)和齒槽轉(zhuǎn)矩峰值。

對于制造誤差等導(dǎo)致的隨機(jī)參數(shù)，其分布往往符合正態(tài)分布［17］。不妨設(shè)隨機(jī)變量xi(i=1，2，…，m)服從均值為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。對于隨機(jī)向量x，分別用xμ、xσ和V(x)表示其均值、標(biāo)準(zhǔn)差和方差。

輸入?yún)?shù)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量時(shí)，系統(tǒng)的輸出為概率統(tǒng)計(jì)參數(shù)確定的隨機(jī)響應(yīng)。而對于隨機(jī)與區(qū)間混合不確定情形，系統(tǒng)的輸出變?yōu)楦怕式y(tǒng)計(jì)參數(shù)在某一區(qū)間的隨機(jī)響應(yīng)。即要求解出驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性輸出均值和標(biāo)準(zhǔn)差的上下界，才能完全獲得混合不確定情形下的驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性響應(yīng)。

為求解F(x，y)、W(x，y)和T(x，y)的混合不確定響應(yīng)，以下提出了泰勒級數(shù)展開-中心差分法（Taylor series expansion-central difference method，TSE-CDM）和蒙特卡洛法（Monte Carlo method，MCM）兩種方法。

2.1 泰勒級數(shù)展開-中心差分法

以驅(qū)動(dòng)電機(jī)徑向電磁力密度峰值F(x，y)為例，TSE-CDM 求解F(x，y)混合不確定響應(yīng)的過程如下。

首先暫時(shí)忽略區(qū)間不確定性，僅考慮隨機(jī)變量的影響，對F(x，y)進(jìn)行隨機(jī)不確定分析。假設(shè)所有隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立，將F(x，y)在隨機(jī)變量的均值處進(jìn)行1階泰勒展開［18］，忽略余項(xiàng)，可得

進(jìn)而，F(xiàn)(x，y)的均值E(F)和方差V(F)為

重新考慮區(qū)間不確定性，則式（10）和式（11）所求得均值和方差是區(qū)間變量的函數(shù)。假設(shè)模型的所有區(qū)間變量之間相互獨(dú)立，將E(F)和V(F)在區(qū)間變量的中點(diǎn)處進(jìn)行1階泰勒展開，忽略余項(xiàng)，可得

由于F(x，y)為關(guān)于x、y的隱函數(shù)，可通過引入中心差分法計(jì)算上式中的偏導(dǎo)數(shù)值，得

將式（18）～式（20）3 個(gè)方程同時(shí)代入式（14）～式（17）中，即可求得混合隨機(jī)區(qū)間不確定模型下的徑向電磁力密度峰值F(x，y)的均值和方差的上界及下界，將方差的上界和下界分別開方就得到標(biāo)準(zhǔn)差的上界σ+(F)和下界σ-(F)。類似地，也可求得W(x，y)和T(x，y)的混合不確定響應(yīng)。

2.2 蒙特卡洛法（MCM）

以驅(qū)動(dòng)電機(jī)徑向電磁力密度峰值F(x，y)為例，基于蒙特卡洛抽樣求解F(x，y)混合不確定響應(yīng)的過程如下。

（1）按照已知的概率分布，對隨機(jī)向量x進(jìn)行p次抽樣，生成p組隨機(jī)向量樣本，記為X={x(1)，x(2)，…，x(p)}。對區(qū)間向量y在區(qū)間范圍內(nèi)進(jìn)行q次均勻抽樣，生成q組區(qū)間向量樣本，記為Y={y(1)，y(2)，…，y(q)}。

（2）取Y的第b組數(shù)據(jù)y(b)(b=1，2，…，q)，分別與X中每一組隨機(jī)向量x(a)(a=1，2，…，p)組合，形成p組輸入?yún)?shù)。分別將每組輸入?yún)?shù)代入F(x，y)中，共得到p個(gè)徑向電磁力密度峰值，計(jì)算這p個(gè)徑向電磁力密度峰值的均值E(b)(F)和標(biāo)準(zhǔn)差σ(b)(F)。

（3）重復(fù)步驟（2）q次，獲得q組E(1)(F)，…，E(q)(F)和q組σ(1)(F)，…，σ(q)(F)的值，進(jìn)而篩選出均值的上下界、標(biāo)準(zhǔn)差的上下界，分別記為E+(F)、E-(F)、σ+(F)和σ-(F)。

上述蒙特卡洛法分析過程如圖1所示。

圖1 蒙特卡洛法流程圖

同理，上述步驟也可求得W(x，y)和T(x，y)的混合不確定響應(yīng)。采用蒙特卡洛法求解振動(dòng)特性的混合不確定響應(yīng)，須進(jìn)行p×q次計(jì)算。當(dāng)抽取的樣本數(shù)目足夠多時(shí)，可以獲得非常精確的響應(yīng)結(jié)果。因此，蒙特卡洛法可以作為TSE-CDM 的參考，驗(yàn)證后者方法的有效性。

3 振動(dòng)特性響應(yīng)近似模型

驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性的不確定分析需要計(jì)算大量次數(shù)的振動(dòng)響應(yīng)，大規(guī)模地調(diào)用有限元模型將不可避免地導(dǎo)致分析計(jì)算效率低下。而代理模型技術(shù)運(yùn)用相對簡單的模型代替耗時(shí)的有限元模型，能大幅提高分析效率。常用的代理模型有響應(yīng)面模型、克里金模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對非線性模型擬合能力強(qiáng)，有良好的容錯(cuò)率、穩(wěn)定性、自組織和自適應(yīng)能力，能夠很好地?cái)M合電機(jī)振動(dòng)特性。因此本文引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建振動(dòng)特性的代理模型，進(jìn)而提高不確定性分析效率。

以具有兩個(gè)隱藏層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為例，模型輸入為驅(qū)動(dòng)電機(jī)中的不確定參數(shù)，模型輸出為驅(qū)動(dòng)電機(jī)的振動(dòng)特性，其結(jié)構(gòu)如圖2 所示。每個(gè)神經(jīng)元接受來自前一層神經(jīng)元不同權(quán)重的值，經(jīng)激活函數(shù)處理后向下一層傳遞。圖2 中x=[x1，x2，x3，x4]T為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)?shù)；第i(i=1，2，3)層中，w(i)為第i-1層到第i層的權(quán)重矩陣；b(i)為第i-1 層到第i層的偏置；z(i)為第i層的凈輸入；a(i)為第i層的輸出。

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

令a()0=x，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)信息傳遞公式［19］為

式中fi為第i層的激活函數(shù)。常用的激活函數(shù)有Sigmoid函數(shù)、Tanh函數(shù)、ReLU函數(shù)等。

損失函數(shù)表示模型預(yù)測值和真實(shí)值之間的差異，回歸問題中常采用均方誤差（mean squared error，MSE）作為損失函數(shù)，表達(dá)式為

式中：n為樣本總數(shù)為第k個(gè)樣本預(yù)測值；yk為第k個(gè)樣本真實(shí)值。

損失函數(shù)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)w(i)和b(i)的函數(shù)，因此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練是尋找使損失函數(shù)最小的w(i)和b(i)的過程。訓(xùn)練迭代的基礎(chǔ)方法為梯度下降法，使用反向傳播算法可高效地計(jì)算梯度，這里不再贅述。

4 算例分析

4.1 驅(qū)動(dòng)電機(jī)電磁有限元模型

使用ANSYS Electronics Desktop 電磁仿真軟件可求解驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性。以某內(nèi)置式永磁同步電機(jī)為例，其基本參數(shù)如表1 所示。在進(jìn)行有限元仿真計(jì)算時(shí)，電機(jī)模型通常會被簡化成2D 或3D 模型，網(wǎng)格劃分如圖3所示。

表1 電機(jī)的研究參數(shù)

圖3 網(wǎng)格剖分

分別進(jìn)行驅(qū)動(dòng)電機(jī)2D 有限元模型和3D 有限元模型額定工況下的電磁有限元仿真。在定子繞組上施加三相電流激勵(lì)，得到徑向電磁力密度在氣隙圓周上的空間分布，如圖4（a）所示，輸出轉(zhuǎn)矩一個(gè)周期內(nèi)的波動(dòng)如圖4（b）所示，齒槽轉(zhuǎn)矩如圖4（c）所示。

圖4 有限元仿真結(jié)果對比

從圖4可以看出，2D和3D模型的仿真結(jié)果具有較好的一致性。仿真結(jié)果存在差異的原因可能在于2D 模型中存在永磁體端部效應(yīng)等造成的計(jì)算誤差。而針對徑向電磁力密度峰值、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)和齒槽轉(zhuǎn)矩峰值的計(jì)算，2D 和3D 模型的相對差值在5%以內(nèi)。在計(jì)算效率方面，使用同一臺計(jì)算機(jī)，2D 模型的有限元仿真耗時(shí)在1 min 以內(nèi)，而3D 模型的仿真耗時(shí)長達(dá)數(shù)小時(shí)。

因此，使用驅(qū)動(dòng)電機(jī)2D 模型進(jìn)行有限元仿真求解振動(dòng)特性，在滿足計(jì)算精度的同時(shí)，計(jì)算效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于3D 模型，故后續(xù)采用2D 有限元模型構(gòu)建振動(dòng)特性代理模型。

4.2 驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性代理模型

為有效構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型作為代理模型，首先使用最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在參數(shù)研究范圍組成的空間內(nèi)采樣，研究參數(shù)及研究范圍如表2 所示。隨后，抽取1 000 組最優(yōu)拉丁超立方樣本點(diǎn)，分別代入到電機(jī)2D有限元模型，求解出對應(yīng)的徑向電磁力密度峰值F、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)W和齒槽轉(zhuǎn)矩峰值T。最后根據(jù)得到的1 000組結(jié)果數(shù)據(jù)構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，其中訓(xùn)練集、測試集和驗(yàn)證集分別占70%、15%和15%。

表2 參數(shù)初始值與抽樣范圍

為避免輸入變量數(shù)值差異性較大導(dǎo)致訓(xùn)練效果不佳，需在訓(xùn)練前進(jìn)行數(shù)據(jù)歸一化處理，將所有數(shù)據(jù)縮放到0 和1 之間。對隱藏層層數(shù)和隱藏層神經(jīng)元個(gè)數(shù)不同組合得到的不同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分別進(jìn)行訓(xùn)練，比較損失函數(shù)最終收斂值的大小，最終采用含一個(gè)隱藏層、隱藏層神經(jīng)元數(shù)目為12 的3 層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型作為振動(dòng)特性的代理模型。訓(xùn)練過程中的損失函數(shù)迭代如圖5 所示，訓(xùn)練完成后神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在測試集上的預(yù)測結(jié)果如圖6所示。

圖5 損失函數(shù)迭代圖

圖6 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測結(jié)果

從圖5 可以看出，經(jīng)過29 次迭代，訓(xùn)練集、測試集和驗(yàn)證集的均方誤差收斂到7×10-4。從圖6 可以看出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算的預(yù)測值相對誤差較小。其中徑向電磁力密度峰值的測試集平均相對誤差為0.09%，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的為0.6%，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值的為0.1%，滿足精度要求。因此，構(gòu)建的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測能力和泛化能力均較強(qiáng)，可用于電機(jī)振動(dòng)特性的不確定性分析。

4.3 不確定性情形下驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性分析

考慮參數(shù)的不確定性，將定子槽形參數(shù)和永磁體結(jié)構(gòu)參數(shù)視為服從截?cái)嗾龖B(tài)分布的隨機(jī)變量（即忽略掉概率極小的樣本），均值為各參數(shù)的初始值，標(biāo)準(zhǔn)差為相應(yīng)均值的0.83%，這樣使參數(shù)取值范圍為圍繞均值上下波動(dòng)±2.5%，即均值±3倍標(biāo)準(zhǔn)差；將氣隙寬度、永磁體相對磁導(dǎo)率和永磁體矯頑力視為區(qū)間變量，區(qū)間中點(diǎn)為各參數(shù)初始值，區(qū)間半徑為各區(qū)間中點(diǎn)的5%。不確定參數(shù)分布類型和取值如表3和表4所示。

表3 隨機(jī)變量均值及標(biāo)準(zhǔn)差 mm

表4 區(qū)間變量取值邊界

采用第2 節(jié)中提出的TSE-CDM 和MCM 對驅(qū)動(dòng)電機(jī)的振動(dòng)特性進(jìn)行混合不確定性分析。蒙特卡洛法在抽樣次數(shù)足夠多時(shí)能達(dá)到非常高的計(jì)算精度，故很多研究將其作為參考方法，用于驗(yàn)證其他數(shù)值方法的有效性［20］。使用MCM 求解時(shí)，對隨機(jī)變量和區(qū)間變量分別抽取104個(gè)樣本，即調(diào)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算108次，才能得到收斂的輸出響應(yīng)。兩種方法求解得到的混合不確定響應(yīng)如表5所示。

表5 不確定響應(yīng)結(jié)果對比

由表5 可知，對于驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性不確定響應(yīng)的求解，除轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差下界外，TSE-CDM的求解誤差均在5%以內(nèi)，而轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差下界的求解相對誤差在10%以內(nèi)，這說明TSE-CDM有著較高的求解精度，能滿足一般工程需求。轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差下界求解誤差較大，這說明轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差對混合不確定參數(shù)的變化更加敏感。計(jì)算效率方面，使用同一臺計(jì)算機(jī)，TSE-CDM 的求解時(shí)間為6 s，MCM 的求解時(shí)間為370 s，可以看出TSECDM的求解時(shí)間遠(yuǎn)小于MCM。

綜上所述，考慮參數(shù)不確定性對驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性進(jìn)行分析時(shí)，采用TSE-CDM 在保證計(jì)算精度的前提下有效提高了計(jì)算效率。因此，該方法可有效地應(yīng)用于后續(xù)研究中。

由于驅(qū)動(dòng)電機(jī)的振動(dòng)特性為概率統(tǒng)計(jì)參數(shù)在某一區(qū)間的隨機(jī)變量，故可基于“3σ”原則計(jì)算徑向電磁力密度峰值的最大值E+(F)+3σ+(F)、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的最大值E+(W)+3σ+(W)和齒槽轉(zhuǎn)矩峰值的最大值E+(T)+3σ+(T)。考慮參數(shù)不確定性振動(dòng)分析和確定性振動(dòng)分析的結(jié)果對比如表6所示。

表6 確定性和不確定性分析對比

由表6 可以看出，在不確定參數(shù)的影響下，系統(tǒng)振動(dòng)特性響應(yīng)的最大值要大于確定性分析的結(jié)果。隨機(jī)和區(qū)間不確定性均較小時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值的最大值超出確定性分析結(jié)果41.41%，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的最大值超出18.75%，徑向電磁力密度峰值的最大值超出2.93%?？梢?，混合不確定性對齒槽轉(zhuǎn)矩峰值影響最大，對轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的影響次之，對徑向電磁力密度峰值的影響最小。這點(diǎn)在工程中值得重點(diǎn)關(guān)注。

本文提出的考慮參數(shù)不確定性的驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性分析方法，能有效求得系統(tǒng)的不確定響應(yīng)，為后續(xù)開展系統(tǒng)振動(dòng)特性的優(yōu)化改進(jìn)奠定了必要基礎(chǔ)。

5 結(jié)論

（1）構(gòu)建的驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測能力和泛化能力均較強(qiáng)，徑向電磁力密度峰值的預(yù)測集平均相對誤差為0.09%，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的為0.6%，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值的為0.1%。

（2）泰勒級數(shù)展開-中心差分法能對含隨機(jī)和區(qū)間混合不確定性的驅(qū)動(dòng)電機(jī)振動(dòng)特性的混合不確定響應(yīng)進(jìn)行有效分析，在保證精度的前提下大大提高分析效率。該方法能為后續(xù)優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定必要基礎(chǔ)。