文／彭秋月

教材中的例題是非常典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，背后蘊(yùn)含著豐厚的價(jià)值。其實(shí)，很多中考題都是由教材中的例題改編而來(lái)的，因此我們要足夠重視它們。

原題呈現(xiàn)（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第67 頁(yè)例3）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E。DE與AC有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

圖1

詳細(xì)解答過(guò)程見教材。

變式1如圖2，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，連接BD。若AE=4，ED=2，求⊙O的半徑。

圖2

【解析】求⊙O的半徑可轉(zhuǎn)化為求線段AB的長(zhǎng)度，利用勾股定理和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可以輕松解決問(wèn)題。

【點(diǎn)評(píng)】我們可以利用勾股定理或者相似三角形來(lái)解決求線段長(zhǎng)度的問(wèn)題。

變式2如圖3，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E。AE與⊙O交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)ED、AB交于點(diǎn)G，試探究AB、AF、EF三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

圖3

【解析】構(gòu)造垂徑定理基本圖形。如圖4，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AF于點(diǎn)H，易證四邊形ODEH為矩形，所以O(shè)D=EH。

圖4

【點(diǎn)評(píng)】本題是2017 年鹽城市中考題第25 題的第（3）小題。我們利用垂徑定理也能解決長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題。