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        巧用數(shù)學(xué)思想 妙解圓類問題

        2023-05-25 01:09:16仇玉海
        初中生世界 2023年19期
        關(guān)鍵詞:未知量勾股定理矩形

        文/仇玉海

        數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓,是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略。在解決與圓有關(guān)的問題時(shí),我們常用的數(shù)學(xué)思想方法有:分類思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等。

        一、分類思想

        分類思想是研究解決數(shù)學(xué)問題的重要方法,它有利于培養(yǎng)同學(xué)們嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯思維能力。解題時(shí)如果考慮不嚴(yán)密,理解不透徹,形成思維定式,就會(huì)產(chǎn)生誤解。

        例1如圖1,將一塊三角板放置在圓O中,點(diǎn)A、B在圓上,邊AC經(jīng)過圓心O,∠C為直角,∠ABC=60°,P為圓上異于A、B的點(diǎn),則∠APB的度數(shù)為( )。

        圖1

        A.60° B.120°

        C.30°或150° D.60°或120

        解:連接OB,如圖2。

        圖2

        當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上時(shí),如圖2,連接AP、BP。

        ∵OB=OA,∴∠OBA=∠OAB=30°。

        ∴∠AOB=120°?!唷螾=

        當(dāng)點(diǎn)P'在劣弧AB上時(shí),連接AP'、BP',∠AP'B=180°-60°=120°。

        ∴∠APB的值為60°或120°。故選D。

        【點(diǎn)評(píng)】此題的點(diǎn)P有兩種可能,如果不注意點(diǎn)P所在的位置,就容易遺漏。本題旨在考查思考問題的邏輯性、周密性和全面性。

        二、方程思想

        方程思想是圓中重要的建模思想之一。抓住問題中的相等關(guān)系,我們能巧妙建立起已知量與未知量之間的關(guān)系,將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組)。

        例2如圖3,AB是圓O的直徑,OD垂直于弦AC于點(diǎn)D,DO的延長線交⊙O于點(diǎn)E。若AC=4,DE=4,則BC的長是( )。

        圖3

        解:∵AB是圓O的直徑,

        ∴∠C=90°。

        ∵OD⊥AC,

        ∴點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)。

        ∴OD是△ABC的中位線。

        ∴OD∥BC,且OD=

        設(shè)OD=x,則BC=2x。

        ∵DE=4,∴OE=4-x。

        ∴AB=2OE=8-2x。

        在Rt △ABC中,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2。

        ∴(8-2x)2=+(2x)2,解得x=1。

        ∴BC=2x=2。

        故選C。

        【點(diǎn)評(píng)】本題從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手,適當(dāng)設(shè)定未知數(shù),研究數(shù)學(xué)問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系,再根據(jù)勾股定理建立方程模型得解。方程思想的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)就是使問題簡(jiǎn)單化,方便我們解題。

        三、轉(zhuǎn)化思想

        轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)是把新問題盡可能轉(zhuǎn)化為能解決或較易解決的問題。轉(zhuǎn)化的基本功能是:化生疏為熟悉,化復(fù)雜為簡(jiǎn)單,化抽象為直觀,化含糊為明朗。

        例3如圖4,點(diǎn)M、G、D在半圓O上,四邊形OEDF、HMNO均為矩形,EF=b,NH=c,則b與c之間的大小關(guān)系是( )。

        圖4

        A.b>cB.b=c

        C.c>bD.b與c的大小不能確定

        解:連接OM、OD,如圖5。根據(jù)矩形的性質(zhì)即可作出判斷。

        圖5

        ∵OEDF是矩形。

        ∴b=EF=OD。同理,c=OM。

        ∵OM=OD,∴b=c。

        故選B。

        【分析】本題利用了圓的常用輔助線作法,即連接半徑。根據(jù)矩形對(duì)角線相等的性質(zhì),把兩條線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩條半徑的關(guān)系。轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想,也是一種最基本的思維策略,將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題,將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題。

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